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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 23.2 空间两点间的距离 1了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程(重点 ) 2会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离(难点 ) 基础初探 教材整理 1 空间两点间的距离公式 阅读教材 P120P121，完成下列问题 1 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 两 点P1(x1，y1) ，P2(x2，y2) 间 的 距 离 为P1P2 x2x1 2 y2y1 2.特别地，点 A(x，y)到原点距离为OAx2y2. 2 空 间 两 点P1(x1，y1，z1) ，P2(x2，y2，z2) 的 距 离 公 式 是P1P2 x2x1 2 y2
2、y1 2 z2z1 2.特别地，点 A(x，y，z)到原点的距离公式为OA x2y2z2. 1点P(2， 1,1)到原点的距离为_ 【解析】PO2 2 1 212 6. 【答案】6 2点A(1,0,2) ，B( 3,4,0) ，则 |AB| _. 【解析】|AB| 13 2 04 2 20 2 366. 【答案】6 3给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2) 的距离为30，则该点 的坐标为 _ 【解析】设点P的坐标是 (x,0,0)， 由题意得，P0P30， 即x4 21222 30， (x4)225，解得x9 或x 1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 点P
3、的坐标为 (9,0,0)或(1,0,0) 【答案】(9,0,0)或(1,0,0) 教材整理 2 空间两点的中点坐标公式 阅读教材 P122，完成下列问题 连 结 空 间 两 点P1(x1，y1，z1) ，P2(x2，y2，z2)的 线 段P1P2的 中 点M的 坐 标 为 x1x2 2 ， y1y2 2 ， z1z2 2 . 1若O为原点，P点坐标为 (2，4， 6)，Q为OP中点，那么Q点的坐标为 _ 【解析】设Q(x，y，z)，则x 20 2 1，y 40 2 2，z 60 2 3， Q(1， 2， 3) 【答案】(1， 2， 3) 2如图 2310，在长方体OABCO1A1B1C1中，O
4、A2，AB3，AA1 2，M是OB1 与BO1的交点，则M点的坐标是 _ 图 2310 【解析】OA2，AB 3，AA12， O(0,0,0) ，B1(2,3,2) 又M为OB1的中点， M1， 3 2， 1 . 【答案】1， 3 2，1 小组合作型 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 空间中两点间距离的计算 如图 2311，已知正方体ABCDABCD的棱长为a，M为BD的 中点，点N在AC上，且AN3NC，试求MN的长 图 2311 【精彩点拨】解答本题关键是先建立适当坐标系，把M，N两点的坐标表示出来， 再利用公式求长度 【自主解答】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 因为正方
5、体的棱长为a，所以B(a，a,0)，A(a,0，a)，C(0，a，a)，D(0,0，a) 由于M为BD的中点，取AC的中点O， 所以M a 2， a 2， a 2 ，O a 2， a 2， a. 因为AN3NC，所以N为AC的四等分点，从而N为OC的中点，故 N a 4， 3a 4 ，a，根据空间两点距离公式，可得 MN a 2 a 4 2 a 2 3a 4 2 a 2a 2 6 4 a. 利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤： (1)建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标； (2)代入空间两点间的距离公式求值 再练一题 1已知ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4) ，C(
6、3,1,5) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)求ABC中最短边的边长； (2)求AC边上中线的长度 【解】(1)由空间两点间距离公式得 AB12 2 53 2 24 23， BC23 2 31 2 45 2 6， AC13 2 51 2 25 2 29， ABC中最短边是BC，其长度为6. (2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为2，3， 7 2 . AC边上中线的长度为 22 2 33 2 4 7 2 2 1 2. 探究共研型 空间两点间距离公式的应用 探究 1 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1， 3,1)，点M在y轴上，且M到 A与到B的距离相等，则M的坐
7、标是什么？ 【提示】设M(0，a,0)，由已知得MAMB，即12a222123a 212， 解得a 1，故M(0， 1,0) 探究 2 方程 (x1)2 (y2)2(z3)225 的几何意义是什么？ 【提示】依题意x1 2 y2 2 z3 25， 点 (x， y，z)是空间中到点 (1,2,3) 距离等于5 的点，即以点 (1,2,3)为球心，以5 为半径的球面 已知A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，求AB取最小值时A，B两点的坐标， 并求此时的AB的长度 【精彩点拨】解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB关于x的函数，由函数的 性质求x，再确定坐标 【自主解答】由空间两点间的距
8、离公式得AB 1x 2 x25x22x2x1214x232x19 14x 8 7 2 5 7， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当x 8 7时 ，AB 有最小值 5 7 35 7 ， 此时A 8 7， 27 7 ， 9 7 ，B1， 22 7 ， 6 7 . 解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未 知的关系，再结合已知条件确定点的坐标 再练一题 2.如图 2312 所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF 互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a2) 图 2312 (1)求MN的长； (2)当
9、a为何值时，MN的长最小 . 【解】以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系，如图所示 正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且CMBNa(0a2)， 易得点M，N的坐标分别为 M 2 2 a，0，1 2 2 a，N 2 2 a， 2 2 a，0. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当a 2 2 时，MN的长最小，且最小值为 2 2 . 1点M(4， 3,5)到原点的距离d1_，到z轴的距离d2 _. 【解析】d1423 252 5052 d24 0 2 30 2 5 5 25. 【答案】52 5 2已知ABC三个顶点的坐标分别为A(3,1,
10、2)，B(4， 2， 2)，C(0,5,1)，则BC边上 的中线长为 _. 【解析】B(4， 2， 2)，C(0,5,1)， BC的中点为2， 3 2， 1 2 ， BC边上的中线长为 【答案】 30 2 3已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且AB26，则实数x的值是 _ 【解析】由题意得x2 2 13 2 24 22 6，解得x 2或x 6. 【答案】 2或 6 4在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A(3，1,2)，其中心M的坐 标为 (0,1,2) ，则该正方体的棱长等于_ 【解析】AM30 2 11 2 22 2 13， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 正方体的体对角线长为213. 3a252(a为正方体的棱长)， a 239 3 . 【答案】 239 3 5已知A(1， 2,11)，B(4,2,3)，C(6， 1,4)为三角形的三个顶点，求证：三角形ABC 为直角三角形 【证明】由空间两点间的距离公式得 AB41 2 22 2 311 2 89， BC64 2 12 2 43 2 14， AC61 2 12 2 411 2 75，AB2BC2AC2， ABC为直角三角形，C为直角