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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 21.2 演绎推理 演绎推理 看下面两个问题： (1)一切奇数都不能被2 整除， (2 2 0171)是奇数，所以 (22 0171)不能被 2 整除； (2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是 其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面 问题 1：这两个问题中的第一句都说的什么？ 提示：都说的一般原理 问题 2：第二句又都说的什么？ 提示：都说的特殊示例 问题 3：第三句呢？ 提示：由一般原理对特殊示例做出判断 1演绎推理的概念 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理 2三段论 “
2、三段论”是演绎推理的一般模式，包括： (1)大前提已知的一般原理； (2)小前提所研究的特殊情况； (3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断 “三段论”可以表示为： 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结论：S是P. 演绎推理的三个特点 (1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特 殊事实，结论完全蕴含于前提之中 (2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式 是正确的，那么结论也必定是正确的因而演绎推理是数学中严格证明的工具 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)演绎推理是由一般到特殊的推理 把演绎推理写成三段论
3、的形式 将下列演绎推理写成三段论的形式 (1)一切奇数都不能被2 整除， 75 不能被 2整除，所以75 是奇数 (2)三角形的内角和为180， RtABC的内角和为180. (3)菱形对角线互相平分 (4)通项公式为an3n2(n2)的数列 an为等差数列 (1)一切奇数都不能被2 整除 (大前提 ) 75 不能被 2整除 (小前提 ) 75 是奇数 (结论 ) (2)三角形的内角和为180.(大前提 ) RtABC是三角形 (小前提 ) RtABC的内角和为180.(结论 ) (3)平行四边形对角线互相平分(大前提 ) 菱形是平行四边形(小前提 ) 菱形对角线互相平分(结论 ) (4)数列
4、 an 中，如果当n2 时，anan1为常数，则 an为等差数列 (大前提 ) 通项公式an3n2，n2 时， anan1 3n2 3(常数 )(小前提 ) 通项公式为an 3n2(n2)的数列 an 为等差数列 (结论 ) 三段论的推理形式 三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b?c，a?b，则a?c” 其中， b?c为大前提，提供了已知的一般性原理；a?b为小前提，提供了一个特殊情况；a?c为 大前提和小前提联合产生的逻辑结果 把下列推断写成三段论的形式： (1)ysin x(x R)是周期函数 (2)若两个角是对顶角，则这两个角相等， 所以若 1 和 2 是对顶角， 则 1
5、和 2 相等 解： (1)三角函数是周期函数，大前提 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ysin x(xR)是三角函数，小前提 ysin x(xR)是周期函数结论 (2)两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提 1 和 2 是对顶角，小前提 1 和 2 相等结论 三段论在证明几何问题中的应用 用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提如右图，在锐 角ABC中，AD，BE是高，D，E为垂足，M为AB的中点 求证：MEMD. 有一个内角为直角的三角形为直角三角形，大前提 在ABD中，ADCB，ADB90，小前提 ABD为直角三角形结论 同理ABE也为直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的
6、一半，大前提 M是直角ABD斜边AB上的中点，DM为中线，小前提 DM 1 2 AB. 结论 同理EM 1 2AB. 和同一条线段相等的两条线段相等，大前提 DM 1 2 AB，EM 1 2 AB，小前提 MEMD.结论 三段论在几何问题中的应用 (1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的 证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提 (2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将 一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论 如图，已知在梯形ABCD中， ，ABCDAD，AC和BD是梯形的对角线，求证
7、：AC 平分BCD，DB平分CBA. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明：等腰三角形两底角相等，大前提 DAC是等腰三角形，1和 2 是两个底角，小前提 1 2.结论 两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提 1 和 3 是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提 1 3.结论 等于同一个角的两个角相等，大前提 2 1， 3 1，小前提 2 3，即AC平分BCD. 结 论 同理可证DB平分CBA. 演绎推理在代数中的应用 已知函数f(x)ax x2 x1(a 1)，求证：函数f(x)在(1， )上为增函数 如 果 在 ( 1 ， ) 上f (x)0 ， 那 么 函 数f(x
8、) 在 ( 1， ) 上 是 增 函 数， 大前提 a1，f(x)a xln a 3 x1 20，小前 提 函数f(x)在( 1， )上为增函数结论 使用三段论应注意的问题 (1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提 )，根据需要引入相 关的适用的定理和性质(大前提 )，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确 的结论 (2)证明中常见的错误： 条件分析错误(小前提错 ) 定理引入和应用错误(大前提错 ) 推理过程错误等 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 已知a，b，m均为正实数，ba，用三段论形式证明 b a bm am. 证明：因为不等式两边同乘一个
9、正数，不等号不改变方向，大前提 ba，m0，小前提 所以mbma. 结论 因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，大前提 mbma，小前提 所以mbabmaab，即b(am)a(bm)结论 因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，大前提 b(am)a(bm)，a(am)0，小前提 所以 bam aam abm aam ，即 b a bm am.结论 6混淆三段论的大、小前提而致误 定义在实数集R 上的函数f(x)，对任意x，yR，有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0) 0，求证：f(x)是偶函数 证明：令xy0， 则有f(0)f(0)2f(0)f(0) 又因为f(0
10、)0，所以f(0)1. 令x0， 则有f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)， 所以f(y)f(y)， 因此，f(x)是偶函数 以 上 证 明 结 论 “f(x)是 偶 函 数 ” 运 用 了 演 绎 推 理 的 “ 三 段 论 ” ， 其 中 大 前 提 是 _ 通过两次赋值先求得 “f(0)1” ， 再证得“f(y)f(y)” ， 从而得到结论 “f(x)是偶函数” 所 以这个三段论推理的小前提是“f(y)f(y)” ，结论是“f(x)是偶函数”，显然大前提是“若对 于定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数” 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 若对于定义
11、域内任意一个x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提小前提结论，其中大前提是一 个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据因此结合f(x)是偶函数的定义和证明过 程容易确定本题答案本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误 所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人下列各项中揭示了 上述推理是明显错误的是_(填序号 ) 我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好 所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪 小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖 所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树
12、上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡 解析： 根据中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的不 符合三段论的形式 答案： 1 “四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等” ，补充该推理的大前提是 ( ) A正方形的对角线相等 B矩形的对角线相等 C等腰梯形的对角线相等 D矩形的对边平行且相等 解析：选 B 得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等” 2 “因为对数函数ylogax是增函数 (大前提 )，而ylog 1 3x 是对数函数 (小前提 )，所以y log 1 3x 是增函数 (结论 ) ”上述推理错误的原因是( ) A大前提错导致结论错 B
13、小前提错导致结论错 C推理形式错导致结论错 D大前提和小前提都错导致结论错 解析：选 A 大前提是错误的，因为对数函数ylogax(0a1)是减函数 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3求函数ylog2x2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义，即a0，小前 提是log2x2有意义，结论是_ 解析：由三段论的形式可知，结论是log2x20. 答案： log2x20 4用三段论证明函数f(x)x 1 x在(1， )上为增函数的过程如下，试将证明过程补 充完整： _ _ _( 大前提 ) _ _ _(小 前提 ) _ _(结 论) 答案：如果函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个
14、值x1，x2，若x1x2，则 f(x1)f(x2)，那么函数f(x)在给定区间内是增函数 任取x1，x2(1， )，x1x2，则f(x1)f(x2) x1x2x1x21 x1x2 ，由于1x1 x2，故x1x20，x1x21，即x1x210，所以f(x1)f(x2) 函数f(x)x 1 x在(1， )上为增函数 5将下列推理写成“三段论”的形式 (1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等； (3)0.332 是有理数 解： (1)向量是既有大小又有方向的量大前提 零向量是向量小前提 零向量也有大小和方向结论 积一时之
15、跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)每一个矩形的对角线相等大前提 正方形是矩形小前提 正方形的对角线相等结论 (3)所有的循环小数都是有理数大前提 0332 是循环小数小前提 0332 是有理数结论 一、选择题 1给出下面一段演绎推理： 有理数是真分数，大前提 整数是有理数，小前提 整数是真分数结论 结论显然是错误的，是因为( ) A大前提错误B小前提错误 C推理形式错误D非以上错误 解析：选 A 推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误举反例，如2是有 理数，但不是真分数 2 “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( ) A演绎推理B类比推理 C合情推理D归纳
16、推理 解析：选 A 是由一般到特殊的推理，故是演绎推理 3下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，则 AB180 B某校高三 (1)班有 55 人， (2)班有 54 人， (3)班有 52 人，由此得高三所有班人数超过 50 人 C由三角形的性质，推测四面体的性质 D在数列 an 中，a11，an 1 2 an1 1 an1 (n2)，由此归纳出an的通项公式 解析：选 A B 项是归纳推理，C 项是类比推理，D 项是归纳推理 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4 “四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等 ”补
17、充以上推理的大前提 ( ) A正方形都是对角线相等的四边形 B矩形都是对角线相等的四边形 C等腰梯形都是对角线相等的四边形 D矩形都是对边平行且相等的四边形 解析：选 B 推理的大前提应该是矩形的对角线相等，表达此含义的选项为B. 5有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知 直线b? 平面，直线a? 平面，直线b平面，则直线b直线a.结论显然是错误的，这 是因为 ( ) A大前提错误B小前提错误 C推理形式错误D非以上错误 解析：选 A 大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还 有异面直线的情况 二、填空题 6若有一段演绎推理： “大前提
18、：整数是自然数小前提：3 是整数结论：3 是 自然数”这个推理显然错误，则推理错误的是_(填“大前提” “小前提” 或“结论” ) 解析：整数不全是自然数，还有零与负整数，故大前提错误 答案：大前提 7已知推理：“因为ABC的三边长依次为3,4,5，所以ABC是直角三角形” 若将其 恢复成完整的三段论，则大前提是_ 解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提： ABC的三边长依次为3,4,5，满足 324252； 结论：ABC是直角三角形 答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形 8若不等式ax 2 2ax 20 的解集为空集，则实数a的取
19、值范围为_ 解析：a0 时，有 20，显然此不等式解集为? . a0 时需有 a0， 0， ? a0， 4a 28a 0， ? 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 a0， 0a2， 所以 0a2. 综上可知，实数a的取值范围是 答案： 三、解答题 9如下图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B， D1D，DA的中点求证： (1)平面AD1E平面BGF； (2)D1EAC. 证明： (1)E，F分别是B1B和D1D的中点， D1F綊BE， 四边形BED1F是平行四边形，D1EBF. 又D1E? 平面BGF，BF? 平面BGF， D1E平面BGF.
20、F，G分别是D1D和DA的中点， FG是DAD1的中位线，FGAD1. 又AD1? 平面BGF，FG? 平面BGF， AD1平面BGF. 又AD1D1ED1， 平面AD1E平面BGF. (2) 如右图，连接BD，B1D1， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 底面ABCD是正方形， ACBD. D1DAC，BDD1DD， AC平面BDD1B1. D1E? 平面BDD1B1，D1EAC. 10在数列 an 中，a12，an 1 4an3n1，nN *. (1)证明数列ann是等比数列 (2)求数列 an 的前n项和Sn. (3)证明不等式Sn14Sn，对任意nN *皆成立 解： (1)证明：因为an 14an 3n1， 所以an 1(n1)4(ann)，nN *. 又因为a111， 所以数列 ann 是首项为1， 公比为 4 的等比数列 (2)由(1)可知ann4n 1， 于是数列 an 的通项公式为 an4n1n， 所以数列 an 的前n项和Sn 4 n1 3 nn1 2 . (3)证明：对任意的nN *， Sn14Sn 4n11 3 n1n2 2 4 4n1 3 nn1 2 1 2(3n 2 n4)0， 所以不等式Sn 14Sn，对任意n N *皆成立