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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 22.1 综合法和分析法 综合法 提出问题 阅读下面证明过程，回答问题 求证：是函数f(x)sin 2x 4 的一个周期 证明：因为f(x )sin 2x 4 sin 2x2 4 sin 2x 4 f(x)，所以由周期 函数的定义可知，是函数f(x)sin 2x 4 的一个周期 问题 1：本题的条件和结论各是什么？ 提示：条件：f(x)sin 2x 4 ；结论：是f(x)的一个周期 问题 2：本题的证明顺序是什么？ 提示：从已知利用诱导公式到待证结论 导入新知 1综合法的定义 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等， 经过一系列的推理论证，最后推导
2、出所 要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 2综合法的框图表示 P?Q1Q1?Q2Q2?Q3Qn?Q (P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论) 化解疑难 综合法的特点 (1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条 件 (2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一 步一步完成命题的证明. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 分析法 提出问题 阅读下面证明过程，回答问题 求证：67225. 证明：要证原不等式成立，只需证(67)2(225)2，即证 242 240，该式 显然成立，因此原不等式
3、成立 问题 1：本题证明从哪里开始？ 提示：从结论开始 问题 2：证明思路是什么？ 提示：寻求每一步成立的充分条件 导入新知 1分析法的定义 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后， 把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析 法 2分析法的框图表示 Q?P1P1?P2P2?P3 得到一个明显 成立的条件 化解疑难 分析法的特点 (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知” ，其逐步推理实际上是寻 找使结论成立的充分条件 (2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公 理
4、、定理等 综合法的应用 例 1 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2c 2) b(c2a 2) c(a 2 b2)6abc. 证明 a，b，c是正数，b2c2 2bc， a(b2c2)2abc. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 同理，b(c2a 2)2abc ， c(a2b2)2abc. a，b，c不全相等， b2c22bc，c2a 22ca ，a 2b22ab三式中不能同时取到“” 式相加得 a(b2c2)b(c 2 a 2) c(a 2 b2)6abc. 类题通法 综合法的证明步骤 (1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； (2)
5、转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程 活学活用 已知a0，b0，且ab1，求证： 4 a 1 b9. 证明：a0，b0，ab1， 4 a 1 b 4ab a ab b 4 4b a a b1 5 4b a a b52 4b a a b54 9. 当且仅当 4b a a b， 即a 2b时“”成立. 分析法的应用 例 2 设a，b为实数，求证a 2 b2 2 2 (ab) 证明 当ab0 时，a 2 b20， a 2 b2 2 2 (ab)成立 当ab0 时， 用分析法证明如下： 要证a 2 b2 2 2 (ab)， 积一时
6、之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 只需证 (a 2b2)2 2 2 ab 2， 即证a2b2 1 2(a 2b22ab )，即证a 2 b22ab. a 2 b22ab对一切实数恒成立， a 2 b2 2 2 (ab)成立 综上所述，不等式得证 类题通法 分析法的证明过程及书写形式 (1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转 化，直到获得一个显而易见的命题即可 (2)书写形式：要证，只需证，即证，然后得到一个明显成立的条件，所 以结论成立 活学活用 在锐角ABC中，求证： tan Atan B1. 证明：要证tan Atan B 1，只需证 sin Asi
7、n B cos Acos B1. A，B均为锐角， cos A0，cos B0. 即证 sin Asin Bcos Acos B， 即 cos Acos Bsin Asin B0， 只需证 cos(AB)0. ABC为锐角三角形， 90AB180， cos(AB)0，因此 tan Atan B1. 综合法和分析法的综合应用 例 3 已知ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C 的对边，求证：(ab) 1(bc) 13(abc) 1. 证明 法一： (分析法 ) 要证 (ab)1(bc) 13(abc) 1， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即证 1 ab
8、1 bc 3 abc ， 只需证 abc ab abc bc 3， 化简，得 c ab a bc1， 即c(bc) (ab)a(ab)(bc)， 所以只需证c 2 a 2 b2ac. 因为ABC的三个内角A，B，C成等差数列， 所以B60， 所以 cos B a 2 c2b2 2ac 1 2， 即a 2c2b2ac成立 (ab)1(bc)13(abc) 1成立 法二： (综合法 ) 因为ABC的三内角A，B，C成等差数列， 所以B60. 由余弦定理，有b2c 2 a 22ac cos 60， 所以c2a2acb2， 两边加abbc，得 c(bc)a(ab) (ab)(bc)， 两边同时除以(a
9、b)(bc)，得 c ab a bc1， 所以 c ab1 a bc1 3， 即 1 ab 1 bc 3 abc， 所以 (ab)1(bc) 13(abc) 1. 类题通法 综合法与分析法的适用范围 (1)综合法适用的范围 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等； 已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型 (2)分析法适用的范围 分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题 活学活用 设a，b(0， )，且ab. 求证：a3b3a2bab 2. 证明：法一：(分析法 )
10、 要证a3b3a 2bab2 成立， 即需证 (ab)(a2abb2)ab(ab)成立 又因ab 0， 故只需证a 2 abb2ab成立， 即需证a22abb20 成立， 即需证 (ab)20 成立 而依题设ab， 则(ab)20 显然成立 由此命题得证 法二： (综合法 ) ab?ab0? (ab) 20? a 22abb20 ?a 2 abb2ab. a0，b0，ab0， (ab)(a 2 abb2)ab(ab) a 3 b3a 2b ab 2. 2.综合法、分析法的综合应用 典例 (12 分)设f(x)ax 2 bxc(a 0)，若函数yf(x1)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称 积
11、一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 求证：f x 1 2 为偶函数 解题流程 规范解答 法一：要证f x 1 2 为偶函数，只需证明其对称轴为直线x 0，(2 分 ) 即只需证 b 2a 1 20，只需证 ab，(4 分) 由已知，抛物线f(x1)的对称轴x b 2a1 与 f(x)的对称轴x b 2a关于 y轴对称， (8 分) b 2a 1 b 2a ， ab，(10 分) f x 1 2 为偶函数 (12 分) 法二：要证f x 1 2 为偶函数， 只需证 f x 1 2 fx 1 2 .(2 分) 令x 1 2 t，则xt 1 2， 只需证f(t)f(t1)，(6 分 ) 即证f(
12、x)f(x1) 因为函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称， 所以函数yf(x)上任一点 (x，f(x)， 关于y轴的对称点 (x，f(x)在yf(x1)上， 即f(x 1)f(x)，(10 分) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以f x 1 2 为偶函数 (12分) 名师批注 用分析法证明，将问题转化为证明ab.此处易找错对称轴而导致解题错误 利用综合法， 将函数图象的对称问题转化为两条轴关于y轴对称 此处易出现找不到此 关系式而导致问题无法证明的情况 由偶函数的定义可知，若 f x 1 2 为偶函数， 则有fx 1 2 f x 1 2 成立 此处易误认 为fx 1 2 f
13、x 1 2 成立而导致错误 以上是用分析法证明的 以下是用综合法证明的 此处易发生不会利用f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称这一条件，而造成问题无法证明 活学活用 已知a 1 2， b 1 2，a b 1，求证：2a12b1 22. 证明：要证2a 12b122， 只需证 2(ab)2 22a12b18. 因为ab 1，即证2a12b 12. 因为a 1 2， b 1 2， 所以 2a10,2b10， 所以2a12b1 2a12b1 2 2ab1 2 2， 即2a12b1 2 成立， 因此原不等式成立 随堂即时演练 1 “a，b，c是不全相等的正数” ，给出下列判断： 积一时之跬步臻千里之
14、遥程 马鸣风萧萧整理 (ab)2(bc)2(ca)20； ab与aB是 sin Asin B的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 C 若AB，则ab， 又 a sin A b sin B， sin Asin B； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 若 sin Asin B，则由正弦定理得ab，AB. 5已知f(x)a x 1,0a1，若 x1，x2R，且x1x2，则 ( ) A.f x1fx2 2 f x1x2 2 B. fx1fx2 2 f x1x2 2 C.f x1fx2 2 f x1x2 2 D. fx1fx2 2 f x1x
15、2 2 解析：选 D 因为x1x2， 所以 fx1fx2 2 ax11ax21 2 ax11ax21 a x1x2 2 1f x1x2 2 ， 所以 fx1fx2 2 f x1x2 2 . 二、填空题 6命题“函数f(x)xxln x在区间 (0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)xxln x取导得f(x) ln x，当x(0,1)时，f(x) ln x0，故函数f(x)在区间 (0,1)上是增函数” 应用了 _的证明方法 解析：该证明过程符合综合法的特点 答案：综合法 7如果a abbabba，则实数a，b应满足的条件是_ 解析：aabbabba ?a aa bbabb ?a(ab)
16、b(ab) ? (ab)(ab)0 ? (ab)(ab)20， 故只需ab且a，b都不小于零即可 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案：a0，b0 且ab 8已知 sin cos 1 5且 2 3 4 ，则 cos 2_. 解析：因为sin cos 1 5 ， 所以 1sin 2 1 25， 所以 sin 2 24 25 . 因为 2 3 4 ， 所以2 3 2 . 所以 cos 21sin22 7 25. 答案： 7 25 三、解答题 9求证： 2cos() sin2 sin sin sin . 证明：要证原等式成立，只需证： 2cos()sin sin(2)sin ， 左边 2c
17、os()sin sin() 2cos()sin sin()cos cos()sin cos()sin sin()cos sin 右边 所以原等式成立 10(天津高考 )已知 an是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nN *，b n是 an和an1的等比中项 (1)设cnb2n1b2n，nN *，求证：数列 cn是等差数列； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)设a1d，Tn k1 2n (1)kb2 k，nN *，求证： k1 n 1 Tk 1 2d2. 证明： (1)由题意得b2 nanan 1， cnb2n 1b2nan1an2anan 1 2dan 1. 因此cn 1cn2d(an 2an 1)2d2， 所以 cn是等差数列 (2)Tn(b 2 1b 2 2)(b 2 3b 2 4) (b 2 2n 1b 2 2n) 2d(a2a4a2n) 2d na2a2n 2 2d2n(n1) 所以 k 1 n 1 Tk 1 2d2 k1 n 1 kk1 1 2d2 k1 n 1 k 1 k1 1 2d2 1 1 n1 1 2d2.