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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 22.2 反证法 反证法 提出问题 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边 的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子， 独有王戎没动等到小朋友们摘了 李子一尝，原来是苦的他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子 不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的” 问题 1：王戎的论述运用了什么推理思想？ 提示：运用了反证法的思想 问题 2：反证法解题的实质是什么？ 提示：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确 导入新知 1反证法 假设原命题不成立(即在原命题的条件下，
2、结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛 盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法 2反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设 矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等 化解疑难 1反证法实质 用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用以下框图表示： 肯定条件p， 否定结论q 导致逻 辑矛盾 “p且綈q” 为假 “若p，则 q”为真 2反证法与逆否命题证明的区别 反证法的理论依据是p与綈p真假性相反， 通过证明綈p为假命题说明p为真命题， 证 明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p?q”与“綈q? 綈p
3、”是等价命题， 通过证明命题“綈q? 綈p”为真命题来说明命题“p?q”为真命题，证明过程不出现矛盾 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 用反证法证明否定性命题 例 1 设函数f(x)ax 2 bxc(a0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数 求证：f(x)0 无整数根 证明 假设f(x)0 有整数根n，则an 2 bnc0(nZ)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，ab为偶数，则an 2bn c为奇数，即n(anb)为奇数， n，anb均为奇数又ab为偶数， ana为奇数，即a(n1)为奇数， n1 为奇数，这与n为奇数矛盾 f(x)0 无整数根 类题通法
4、1用反证法证明否定性命题的适用类型 一般地， 当题目中含有 “不可能”“都不” “没有” 等否定性词语时，宜采用反证法证明 2反证法的一般步骤 用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到 新的否定 (即肯定原命题)的过程这个过程包括下面三个步骤： (1)反设假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真； (2)归谬由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾； (3)存真由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立 即反证法的证明过程可以概括为：反设归谬存真 活学活用 设a，b，c，dR，且adbc1. 求证：a2b2c2d2abcd1. 证明：假设a 2
5、b2 c2d2abcd1. 因为adbc 1， 所以a2b2c2d2abcdbcad0， 即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20， 所以ab 0，cd 0，ad 0，bc 0， 则abcd0，这与已知条件adbc1 矛盾 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故假设不成立， 所以a2b2c2d2abcd 1. 用反证法证明唯一性命题 例 2 已知a 0，求证关于x的方程axb有且只有一个实根 证明 由于a0， 因此方程axb至少有一个实根x b a. 如果方程不只有一个实根，不妨假设x1，x2是它的不同的两个根， 从而有ax1b，ax2b， 两式作差得a(x1x2)0. 因为x1x2
6、，从而a0， 这与已知条件a0 矛盾，从而假设不成立，原命题成立 即当a0 时，关于x的方程axb有且只有一个实根 类题通法 用反证法证明唯一性命题的适用类型 (1)当证明结论是“有且只有”“只有一个” “唯一”等形式的命题时，由于反设结论易 于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单 (2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两 个方面 活学活用 用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行 证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行 假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行，即bbA，ba. 因为ba，由平行公
7、理知bb.这与假设bbA矛盾， 所以假设错误，原命题成立. 用反证法证明“至少” “至多”等存在性命题 例 3 已知a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25. 证明 假设a1，a2，a3，a4均不大于25， 即a125，a225，a325，a425， 则a1a2a3a425252525100， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 这与已知a1a2a3a4100矛盾， 故假设错误 所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25. 类题通法 常见“结论词”与“反设词” 结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个 反设词 一个也没有 (不存 在) 至少有
8、两个至多有 (n1)个 至少有 (n1) 个 结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立 反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立 结论词都是一定是p或q p且q 反设词不都是不一定是綈p且綈q 綈p或綈q 活学活用 已知函数yf(x)在区间 (a，b)上是增函数求证：函数yf(x)在区间 (a，b)上至多有一 个零点 证明：假设函数yf(x)在区间 (a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1x2)为函数yf(x) 在区间 (a，b)上的两个零点，且x1x2，则f(x1)f(x2) 0. 因为函数yf(x)在区间 (a，b)上为增函数， x1，x2 (a，b)且x1x2， f(x
9、1)f(x2)，与f(x1)f(x2)0 矛盾， 假设不成立，故原命题正确 3反证法的应用 典例 (12分 )如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为 AB，DF的中点 用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解题流程 规范解答 假设ME与BN共面，则AB? 平面MBEN， 且平面MBEN与平面DCEF交于EN. 由已知两正方形不共面，故AB? 平面DCEF.(4 分) 又因为ABCD，所以AB平面DCEF， 而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以ABEN.(8 分) 又因为ABCDEF， 所以ENEF，这与EN
10、EFE矛盾， 故假设不成立，所以ME与BN不共面， 它们是异面直线(12分 ) 名师批注 利用反证法证明问题，必须从假设出发，即本题必须以ME与BN共面为条件证明此 处极易忽视，造成解题错误 极易忽视此条件，直接由AB平面DCEF得出ABEN而失分 必须由矛盾否定假设，而肯定原命题正确 活学活用 在同一平面内，设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k22 0， 证明l1与l2相交 证明：假设直线l1与l2不相交，则l1与l2平行，由直线l1与l2的方程可知实数k1，k2分 别为两直线的斜率，则有k1k2，代入k1k22 0，消去k1，得k2 220，k2无实数解，
11、这 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 与已知k2为实数矛盾，所以k1k2，即l1与l2相交 随堂即时演练 1应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( ) 结论的反设；已知条件；定义、公理、定理等；原结论 AB CD 解析：选 C 除原结论不能作为推理条件外其余均可 2用反证法证明命题“a，bN ，如果ab可被 5 整除，那么a，b至少有 1 个能被 5 整 除” ，则假设的内容是( ) Aa，b都能被 5 整除 Ba，b都不能被5 整除 Ca不能被 5 整除 Da，b有 1个不能被5 整除 解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有1 个”的反面是“1 个也没有
12、”， 故 B 正确 3下列命题适合用反证法证明的是_(填序号 ) 已知函数f(x)ax x2 x1 (a1)，证明：方程f(x)0 没有负实数根； 若x，yR，x0，y0，且xy2，求证： 1x y 和 1y x 中至少有一个小于2； 关于x的方程axb(a 0)的解是唯一的； 同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交 解析：是“否定”型命题；是“至少”型命题；是“唯一”型命题，且题中条件 较少；中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明 答案： 4已知平面平面直线a，直线b?，直线c?，baA，ca，求证：b与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设_ 解析：空间中
13、两直线的位置关系有3 种：异面、平行、相交，应假设b与c平行或 相交 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案：b与c平行或相交 5若下列三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa 20，x22ax 2a0 中至少有 一个方程有实根，试求实数a的取值范围 解：若三个方程均无实根， 则 1 4a 24 4a3 0， 2 a1 24a20， 32a 24 2a0 ? 3 2 a 1 2， a 1或a 1 3， 2a 0 ? 3 2 a 1. 设Aa 3 2 a 1，则 ?RAa a 3 2或 a 1， 故所求实数a的取值范围是 a a 3 2或a 1 . 课时达标检测 一、选择题 1 用
14、反证法证明命题 “三角形的内角中至少有一个不大于60” 时， 假设正确的是 ( ) A假设三内角都不大于60 B假设三内角都大于60 C假设三内角至少有一个大于60 D假设三内角至多有两个大于60 解析：选 B “至少有一个”即“全部中最少有一个” 2用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( ) Aa，b，c都是偶数 Ba，b，c都是奇数 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 Ca，b，c中至少有两个偶数 Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数 解析：选D 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3 个都是奇数， 1 个偶数 2 个奇 数， 2 个偶数 1 个奇数，
15、3 个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时， 正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数” 3用反证法证明命题“如果ab，那么 3 a 3 b”时，假设的内容应是( ) A. 3 a 3 b成立 B.3a 3 b成立 C.3a 3 b或 3 a 3 b成立 D. 3 a 3 b且 3 a 3 b成立 解析：选 C “大于”的否定为“小于或等于” 4.“已知：ABC中，ABAC，求证：B180，这与三角形内角和定理相矛盾； (2)所以B0，且xy2.求证： 1x y ， 1y x 中至少有一个小于2. 证明：假设 1x y ， 1y x 都不小于2， 即 1x y 2， 1y x 2. x0，y0， 1x2y,1y2x， 2xy2(xy)， 即xy2，与已知xy2 矛盾， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1x y ， 1y x 中至少有一个小于2. 10已知f(x)ax x2 x1 (a1)，证明方程f(x)0 没有负数根 证明：假设x0是f(x)0 的负数根， 则x00 且x0 1 且ax0 x02 x01， 由 0ax01? 0 x02 x011， 解得 1 2 x0 2，这与x00 矛盾， 所以假设不成立， 故方程f(x)0 没有负数根