《高中数学第二章数列2.2等差数列新人教A版必修4.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章数列2.2等差数列新人教A版必修4.pdf（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.2 等差数列 第一课时等差数列的概念及通项公式 (1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？ (2)等差数列的通项公式是什么？ (3)等差中项的定义是什么？ 新知初探 1等差数列的定义 如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 点睛 (1)“从第 2 项起” 是指第 1 项前面没有项， 无法与后续条件中“与前一项的差” 相吻合 (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： 作差的顺序；这两项必须相邻
2、 (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数 列不能称为等差数列 2等差中项 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项这三个数满足的关 系式是A ab 2 . 3等差数列的通项公式 已知等差数列an的首项为a1，公差为d. 递推公式通项公式 anan 1d(n2)ana1 (n1)d(nN *) 点睛 由等差数列的通项公式ana1(n 1)d可得andn(a1d)，如果设pd，q a1d，那么anpnq，其中p，q是常数当p0 时，an是关于n的一次函数；当p0 时，anq，等差数列为常数列 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“”
3、，错误的打“”) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)若一个数列从第2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( ) (2)等差数列 an的单调性与公差d有关 ( ) (3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数a，b，c满足 2bac，则a，b，c一定是等差数列( ) 解析： (1)错误若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等， 则这个数列就不是等差数列 (2)正确当d0 时为递增数列；d0 时为常数列；d1)，记 bn 1 an2 .求证： 数列 bn是等差 数列 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证
4、明： 法一定义法 bn1 1 an12 1 4 4 an 2 an 2an 2 ， bn1bn an 2an 2 1 an2 an 2 2an2 1 2，为常数 (nN *) 又b1 1 a12 1 2 ， 数列 bn是首项为 1 2，公差为 1 2 的等差数列 法二等差中项法 bn 1 an2 ， bn1 1 an12 1 4 4 an 2 an 2an 2 . bn2 an 1 2an1 2 4 4 an 2 4 4 an2 an1 an2. bnbn 22bn 1 1 an2 an1 an22 an 2an2 0. bnbn 22bn 1(n N *)， 数列 bn是等差数列 等差数列判
5、定的常用的2 种方法 (1)定义法：an 1and(常数 )(nN *)? an为等差数列 (2)等差中项法： 2an 1anan 2(nN *)? an为等差数列 活学活用 已知 1 a ， 1 b， 1 c成等差数列，并且 ac，ac，ac2b均为正数，求证：lg(ac)，lg(a c)，lg(ac2b)也成等差数列 解： 1 a， 1 b， 1 c成等差数列， 2 b 1 a 1 c， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2 b ac ac ，即 2acb(ac) (ac)(ac2b) (ac)22b(ac)(ac)222aca 2c22ac 4ac(ac)2. ac，ac2b，a
6、c均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg(ac)(ac 2b) lg(ac)2，即 lg(ac)lg(ac2b) 2lg(ac)， lg(ac)，lg(ac)，lg(ac2b)成等差数列 层级一学业水平达标 1已知等差数列an的通项公式为an32n，则它的公差为( ) A 2 B3 C 2 D 3 解析：选 C an32n1(n1)(2)，d 2，故选 C. 2若等差数列an 中，已知a1 1 3，a 2a54，an35，则n( ) A 50 B51 C52 D 53 解析：选 D 依题意，a2a5a1da1 4d4，代入a1 1 3，得 d 2 3. 所以ana1(n1)d 1 3(n 1
7、) 2 3 2 3n 1 3，令 an 35，解得n53. 3设x是a与b的等差中项，x2是a2与b2的等差中项，则a，b的关系是 ( ) AabBa3b Cab或a3bDab0 解析：选 C 由等差中项的定义知：xa b 2 ， x2 a 2b2 2 ， a 2 b2 2 ab 2 2，即 a 22ab 3b20. 故ab或a3b. 4数列 an中，a12,2an 12an 1，则a2 015的值是 ( ) A 1 006 B1 007 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C1 008 D 1 009 解析：选D 由 2an 12an1，得an1an 1 2，所以 an是等差数列，首项
8、a12，公 差d 1 2， 所以an2 1 2(n1) n3 2 ， 所以a2 015 2 0153 2 1 009. 5等差数列 an 的首项为70，公差为 9，则这个数列中绝对值最小的一项为( ) Aa8Ba9 Ca10Da11 解析：选 B |an| |70 (n1)(9)| |79 9n| 9 8 7 9 n，n9 时， |an| 最小 6在等差数列an 中，a37，a5a26，则a6_. 解析：设等差数列an 的公差为d， 由题意，得 a12d7， a14da1d6. 解得 a13， d2. ana1(n1)d3(n1)22n1. a626113. 答案： 13 7已知 an为等差数
9、列，且a72a4 1，a30，则公差d_. 解析：根据题意得： a7 2a4a16d2(a13d)a1 1， a11. 又a3a12d12d0， d 1 2. 答案： 1 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 8已知数列 an 满足：a 2 n 1a 2 n4，且a11，an0，则 an _. 解析：根据已知条件a 2 n 1a2n4，即a2n1a 2 n4. 数列 a 2 n 是公差为 4 的等差数列， 则a 2 na 2 1(n1)44n3. an0，an4n3. 答案：4n3 9已知数列 an 满足a12，an1 2an an2，则数列 1 an 是否为等差数列？说明理由 解：数
10、列 1 an 是等差数列，理由如下： 因为a12，an1 2an an2 ， 所以 1 an1 an2 2an 1 2 1 an， 所以 1 an1 1 an 1 2(常数 ) 所以 1 an 是以 1 a1 1 2 为首项，公差为 1 2的等差数列 10若 1 bc， 1 ac ， 1 ab是等差数列，求证： a2，b2，c2成等差数列 证明：由已知得 1 bc 1 ab 2 ac ，通分有 2bac bcab 2 ac. 进一步变形有2(bc)(ab)(2bac)(ac)，整理，得a 2 c22b2， 所以a2，b2，c2成等差数列 层级二应试能力达标 1若数列 an 为等差数列，apq，
11、aqp(pq)，则apq为( ) ApqB0 C (pq) D. pq 2 解析：选 B apa1(p1)d，aqa1(q1)d， a1p1dq， a1q1dp. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ，得 (pq)dqp. pq，d 1. 代入，有a1(p 1)(1)q，a1pq1. apqa1(pq1)dpq 1(pq1)(1) 0. 2已知xy，且两个数列x，a1，a2，am，y与x，b1，b2，bn，y各自都成等差 数列，则 a2a1 b2b1等于 ( ) A.m n B.m 1 n1 C. n m D. n1 m1 解析：选 D 设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2a1d
12、1，b2b1d2.第一个数 列共 (m2)项，d1 yx m1；第二个数列共 (n2)项，d2 yx n1.这样可求出 a2a1 b2b1 d1 d2 n1 m1. 3已知数列 an ，对任意的nN *，点 Pn(n，an)都在直线y2x1 上，则 an为 ( ) A公差为2 的等差数列B公差为1 的等差数列 C公差为 2 的等差数列D非等差数列 解析：选 A 由题意知an2n 1，an 1an2，应选 A. 4如果a1，a2，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d0，则 ( ) Aa3a6a4a5Ba3a6a4a5Da3a6a4a5 解析：选B 由通项公式，得a3a12d，a6a15d，那么
13、a3a62a1 7d，a3a6 (a1 2d)(a15d)a 2 17a1d10d2，同理a4a52a17d，a4a5a217a1d12d2，显然a3a6a4a5 2d211， 即从第 12 年起，该公司经销此产品将亏损 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息若一组数 按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中， 一定要分清首项、项 数等关键的问题 活学活用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 某市出租车的计价标准为1.2 元/km ，起步价为10 元，即最初的4 km(不含 4 km)计费 10
14、元如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需 要支付车费 _元 解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km，乘客需要支 付 1.2元所以可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示 4 km 处的车费， 公差d1.2，那么当出租车行至14 km 处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(111) 1.223.2(元) 答案： 23.2 层级一学业水平达标 1在等差数列an 中，已知a4a816，则a2a10 ( ) A 12 B16 C20 D 24 解析：选 B 因为数列 an 是等差数列，所以a2a10a4a
15、816. 2在等差数列an 中，a1a910，则a5的值为 ( ) A 5 B6 C8 D 10 解析：选 A 由等差数列的性质，得a1a92a5， 又a1a910，即 2a510， a55. 3下列说法中正确的是( ) A若a，b，c成等差数列，则a 2， b2，c2成等差数列 B若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列 D若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列 解析：选 C 因为a，b，c成等差数列，则2bac， 所以 2b4ac4， 即 2(b 2)(a 2) (c 2)， 所以a2，b2
16、，c 2 成等差数列 4在等差数列an 中，a12，a3a510，则a7( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A 5 B8 C10 D 14 解析：选 B 由等差数列的性质可得a1a7a3a510，又a12，所以a78. 5等差数列 an 中，a2a5a89，那么方程x2(a4a6)x100 的根的情况 ( ) A没有实根B两个相等实根 C两个不等实根D无法判断 解析：选 A 由a2a5a89 得a53，a4a66，方程转化为x26x 100.因为 1，则a1a2m 1_. 解析： 因为数列 an为等差数列， 则am 1am 12am，则am 1am 1a 2 m10 可化为 2a
17、ma 2 m10，解得am1，所以a1a2m12am2. 答案： 2 9在等差数列 an中，若a1a2a530，a6a7a1080，求a11a12a15. 解：法一：由等差数列的性质得 a1a112a6，a2a122a7，a5a15 2a10. (a1a2a5) (a11a12a15)2(a6a7a10) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 a11a12a152(a6a7a10) (a1a2a5)28030130. 法二：数列an是等差数列，a1a2a5，a6a7a10，a11a12a15也 成等差数列，即30,80，a11a12a15成等差数列30(a11a12a15) 280， a1
18、1a12a15130. 10有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售甲商场用 如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则 所买各台单价均再减少20 元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75% 销售某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少 解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成 等差数列设该数列为an an780(n1)(20)80020n， 解不等式an440，即 80020n440，得n18. 当购买台数小于等于18 台时，每台售价为(80020n)元，当台数大
19、于18 台时，每台售 价为 440元 到乙商场购买，每台售价为80075% 600元 作差： (80020n)n600n20n(10n)， 当n18 时， 440n600n. 即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买 10 台时到两商场购买花费相同，当购 买多于 10 台时到甲商场购买花费较少 层级二应试能力达标 1已知等差数列an：1,0， 1， 2，；等差数列bn ：0,20,40,60 ，则数列an bn是( ) A公差为 1 的等差数列B公差为20 的等差数列 C公差为 20 的等差数列D公差为19 的等差数列 解析：选 D (a2b2)(a1b1)(a2a1)(b2b1) 120
20、19. 2已知数列 an 为等差数列且a1a7a134，则tan(a2a12)的值为 ( ) A.3 B3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C 3 3 D3 解析：选 D 由等差数列的性质得a1a7a133a74，a7 4 3 . tan(a2a12)tan(2a7)tan 8 3 tan 2 3 3. 3若方程 (x22xm)(x22xn)0 的四个根组成一个首项为 1 4的等差数列，则 |mn| ( ) A 1 B. 3 4 C. 1 2 D. 3 8 解析：选 C 设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1a4a2a32， 再设此等差数列的公差为d，则 2a13
21、d2， a1 1 4 ，d 1 2， a2 1 4 1 2 3 4， a3 1 4 1 5 4， a4 1 4 3 2 7 4， |mn| |a1a4a2a3| 1 4 7 4 3 4 5 4 1 2. 4 九章算术 “竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数 列，上面4 节的容积共3 升，下面3 节的容积共4升，则第5 节的容积为 ( ) A 1升B. 67 66升 C. 47 44 升D. 37 33升 解析： 选 B 设所构成的等差数列an 的首项为a1， 公差为d， 则有 a1a2a3a43， a7a8a94， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即 4a1
22、6d3， 3a121d4. 解得 a1 13 22 ， d 7 66 ， 则a5a14d 67 66， 故第 5 节的容积为 67 66 升 5已知 an为等差数列，且a64，则a4a7的最大值为 _ 解析：设等差数列的公差为d，则a4a7(a62d)(a6d)(42d)(4d) 2(d1)218， 即a4a7的最大值为18. 答案： 18 6已知数列 an 满足a11，若点 an n ， an 1 n 1 在直线xy 10 上，则an_. 解析：由题设可得 an n an1 n110，即 an1 n1 an n 1，所以数列 an n 是以 1 为公差的等差 数列，且首项为1，故通项公式 a
23、n n n，所以ann2. 答案：n2 7数列 an 为等差数列，bn 1 2 an，又已知b1b2b3 21 8 ，b1b2b3 1 8，求数列 an 的 通项公式 解：b1b2b3 1 2 a1 1 2 a2 1 2 a3 21 8 ，b1b2b3 1 2 a1a2a3 1 8， a1a2a33. a1，a2，a3成等差数列，a2 1，故可设a11d，a31d， 由 1 2 1d1 2 1 2 1d 21 8 ， 得 2d2d 17 4 ，解得d2 或d 2. 当d2 时，a11d 1，an 12(n1)2n3； 当d 2 时，a11d3，an32(n1) 2n5. 8下表是一个“等差数阵
24、”： 47( )( )( )a1j 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 712( )( )( )a2j ( )( )( )( )( )a3j ( )( )( )( )( )a4j ai1ai2ai3ai4ai5aij 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数 (1)写出a45的值； (2)写出aij的计算公式，以及2 017 这个数在“等差数阵”中所在的一个位置 解：通过每行、每列都是等差数列求解 (1)a45表示数阵中第4 行第 5列的数 先看第 1 行，由题意4,7，a15，成等差数列， 公差d743，则a154(51)316. 再看第 2 行，同理可得a2527.
25、 最后看第 5 列，由题意a15，a25，a45成等差数列， 所以a45a153d163(2716)49. (2)该“等差数阵“的第1 行是首项为4，公差为3的等差数列a1j 43(j 1)； 第 2 行是首项为7，公差为5 的等差数列a2j75(j1)； 第i行是首项为43(i 1)，公差为2i1 的等差数列， aij43(i 1)(2i1)(j 1) 2ijiji(2j1)j. 要求 2 017在该“等差数阵” 中的位置， 也就是要找正整数i，j，使得i(2j1)j2 017， j 2 017i 2i1 .又jN *，当 i1 时，得j672. 2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1 行第 672列