《高中数学第二章概率3条件概率与独立事件教学案北师大版选修2292.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章概率3条件概率与独立事件教学案北师大版选修2292.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 条件概率与独立事件 对应学生用书P24 条件概率 100件产品中有93 件产品的长度合格，90 件产品的质量合格，85 件产品的长度、质量 都合格 令A 产品的长度合格，B产品的质量合格 ，AB 产品的长度、 质量都合格 问题 1：试求P(A)，P(B)，P(AB) 提示：P(A) 93 100， P(B) 90 100， P(AB) 85 100. 问题 2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生 )，求它的长度 (即A发生 )也合格概 率 提示：若用A|B表示上述事件，则A|B发生相当于从90件产品中任取1 件长度合格， 其概率为P(A|B)
2、 85 90 . 问题 3：如何理解问题2? 提示：在质量合格的情况下，长度又合格，即事件B发生的条件下事件A发生 问题 4：试探求P(B)，P(AB)，P(A|B)间的关系 提示：P(A|B) PAB PB . 条件概率 (1)概念 事件B发生的条件下，A发生的概率， 称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B) (2)公式 P(A|B) PAB PB (其中，AB也可记成AB) (3)当P(A)0 时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A) PAB PA . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 独立事件 有这样一项活动：甲箱里装有3 个白球， 2 个黑球，乙箱里装有2 个白球， 2
3、 个黑球， 从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A 从甲箱里摸出白球，B从乙箱里摸出白球 问题 1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？ 提示：不影响 问题 2：试求P(A)，P(B)，P(AB) 提示：P(A) 3 5， P(B) 1 2， P(AB) 32 54 3 10. 问题 3：P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？ 提示：P(AB)P(A)P(B) 3 5 1 2 3 10. 问题 4：P(B|A)与P(B)相等吗？ 提示：相等，由P(B|A)P AB PA 1 2，可得 P(B|A)P(B) 独立事件 (1)概念：对两个事件A，B，如果P(AB)P(A)P(B)，则称A，B相
4、互独立 (2)推广：若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立 (3)拓展：若A1，A2，An相互独立，则有 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 1由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另外，在事件A发生的前提下， 事件B发生的概率为P(B|A)，其值不一定等于P(B) 2事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生 不影响事件A发生的概率 对应学生用书P25 条件概率 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例 1 盒中装有5 个产品，其中3 个一等品， 2个二等品，不放回地从中取产品，每次 取 1 个 求： (1)取两次
5、，两次都取得一等品的概率， (2)取两次，第二次取得一等品的概率； (3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率 思路点拨 由于是不放回地从中取产品，所以第二次抽取受到第一次的影响，因而是 条件概率，应用条件概率中的乘法公式求解 精解详析 记Ai为第i次取到一等品，其中i1,2. (1)取两次，两次都取得一等品的概率， P(A1A2)P(A1)P(A2|A1) 3 5 2 4 3 10. (2)取两次，第二次取得一等品，则第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品， 则P(A2)P(A1A2)P(A1A2) 2 5 3 4 3 5 2 4 3 5. (3)取两次，已知第
6、二次取得一等品， 则第一次取得二等品的概率为P(A1|A2) PA1A2 PA2 2 5 3 4 3 5 1 2. 一点通 求条件概率一般有两种方法： 一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A) nAB nA ， 其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数 二是直接根据定义计算，P(B|A) PAB PA ，特别要注意P(AB)的求法 1抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为1,2,3,4,5,6，记事件A 2,3,5 ，B1,2,4,5,6，则P(A|B) ( ) A. 1 2 B. 1 5 积一时之跬步臻千里
7、之遥程 马鸣风萧萧整理 C. 2 5 D. 3 5 解析：P(B) 5 6， P(AB) 1 3 ，P(A|B) PAB PB 1 3 5 6 2 5. 答案： C 2已知P(A|B) 1 2， P(B) 1 3，则 P(AB)_. 解析：P(A|B) PAB PB ， P(AB)P(A|B)P(B) 1 2 1 3 1 6. 答案： 1 6 3甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨 天所占的比例分别为20%和 18%，两地同时下雨的比例为12%，问： (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ 解：设“甲地为雨
8、天”为事件A， “乙地为雨天”为事件B，由题意，得P(A)0.20， P(B)0.18，P(AB)0.12. (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P(A|B) PAB PB 0.12 0.180.67. (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P(B|A) PAB PA 0.12 0.2 0.60. 独立事件的判断 例 2 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A 一个家庭 中既有男孩又有女孩，B 一个家庭中最多有一个女孩，对下述两种情形，讨论A与B 的独立性： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩 思路点拨 先写出家
9、庭中有两个小孩的所有可能情形，需注意基本事件(男，女)，(女， 男)是不同的，然后分别求出A，B所含的基本事件数，由于生男生女具有等可能性，故可 借助古典概型来求P(A)，P(B)及P(AB)的概率，最后分析P(AB)是否等于P(A)P(B) 精解详析 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男 )，(男，女 )， (女，男 )， (女，女 )， 它有 4 个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率都为 1 4. A (男，女 )，(女，男 )， B(男，男 )，(男，女 )， (女，男 )， AB(男，女 )，(女，男 )， P(A) 1 2，P (B) 3 4， P(AB) 1
10、 2. P(A)P(B) 3 8 P(AB) 事件A，B不相互独立 (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男 )，(男， 男，女 )，(男，女，男 )，(女，男，男 )，(男，女，女 )，(女，男，女 )，(女，女，男 )，(女， 女，女 )，由等可能性知这8 个基本事件的概率均为 1 8，这时 A中含有 6 个基本事件，B中 含有 4 个基本事件，AB中含有 3 个基本事件 于是P(A) 6 8 3 4，P (B) 4 8 1 2 ，P(AB) 3 8， 显然有P(AB) 3 8 P(A)P(B)成立， 从而事件A与B是相互独立的 一点通 (1)利用相互独立事件的
11、定义(即P(AB)P(A)P(B)可以准确地判定两个事件 是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握 (2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 件的发生对另一个事件的发生是否有影响没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互 独立事件 4若A与B相互独立，则下面不是相互独立事件的是( ) AA与ABA与B C.A与BD.A与B 解析：当A，B相互独立时，A与B，A与B以及A与B都是相互独立的，而A与 A是对立事件，不相互独立 答案： A 5从一副扑克牌(52 张)中任抽一张，设A“抽得老K” ，B“抽
12、得红牌” ，判断事件 A与B是否相互独立 解：抽到老 K 的概率为P(A) 4 52 1 13， 抽到红牌的概率 P(B) 26 52 1 2， 故 P(A)P(B) 1 13 1 2 1 26， 事件 AB即为“既抽得老K 又抽得红牌”， 亦即“抽得红桃老K 或方块老K” ， 故P(AB) 2 52 1 26，从而有 P(A)P(B)P(AB)，因此A与B互为独立事件. 独立事件的概率 例 3 (10 分)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲，乙，丙三人100 m 跑(互不影响 )的成绩在13 s内(称为合格 )的概率分别为 2 5， 3 4， 1 3，若对这三名短跑运动员的 1
13、00 m 跑的成绩进行一次检测，则 (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大？ 思路点拨 若用A，B，C表示甲，乙，丙三人100米跑的成绩合格，则事件A，B， C相互独立 精解详析 记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A，B，C相互独立， 则P(A) 2 5， P(B) 3 4， P(C) 1 3. (3 分) 设恰有k人合格的概率为Pk(k0,1,2,3) (1)三人都合格的概率： P3P(ABC)P(A)P(B)P(C) 2 5 3 4 1 3 1 10. (5 分) (2
14、)三人都不合格的概率： P0P(A B C )P(A )P(B )P(C ) 3 5 1 4 2 3 1 10. (7 分) (3)恰有两人合格的概率： P2P(ABC )P(A B C )P(A BC) 2 5 3 4 2 3 2 5 1 4 1 3 3 5 3 4 1 3 23 60. 恰有一人合格的概率： P11P0P2P31 1 10 23 60 1 10 25 60 5 12. 结合 (1)(2)可知P1最大 所以出现恰有1 人合格的概率最大(10 分) 一点通 (1)公式P(AB)P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，An相 互独立，那么这n个事件同时发生的概率等
15、于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An) P(A1)P(A2)P(An) (2)求相互独立事件同时发生的概率的程序：首先确定各事件之间是相互独立的； 确定这些事件可以同时发生；求出每个事件发生的概率，再求其积 6先后抛掷一枚骰子两次，则两次都出现奇数点的概率为_ 答案： 1 4 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 7(北京高考改编)李明在10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独 立)： 场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数 主场 12212客场 1188 主场 21512客场 21312 主场 3128客场 3217 主场 4238客场 41815 主场 524
16、20客场 52512 (1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6 的概率； (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一 场不超过0.6 的概率； 解： (1)根据投篮统计数据，在10 场比赛中，李明投篮命中率超过0.6 的场次有5 场， 分别是主场2，主场 3，主场 5，客场 2，客场 4. 所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6 的概率是0.5. (2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6” ， 事件B为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6” ， 事件C为“在随机
17、选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一 场不超过0.6” 则CA BA B，A，B独立 根据投篮统计数据，P(A) 3 5，P (B) 2 5. P(C)(A B)P(A B) 3 5 3 5 2 5 2 5 13 25. 所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超 过 0.6的概率为 13 25. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 8一个袋子中有3 个白球， 2 个红球，每次从中任取2 个球，取出后再放回，求： (1)第一次取出的2 个球都是白球，第二次取出的2 个球都是红球的概率； (2)第一次取出的2 个球 1个是白球、
18、 1 个是红球，第二次取出的2 个球都是白球的概率 解：记“第一次取出的2 个球都是白球”事件为A， “第二次取出的2 个球都是红球” 为事件B， “第一次取出的2 个球 1 个是白球、 1 个是红球”为事件C，很明显，由于每次取 出后再放回，A，B，C都是相互独立事件 (1)P(AB)P(A)P(B) C2 3 C25 C2 2 C25 3 10 1 10 3 100 . 故第一次取出的2 个球都是白球，第二次取出的2 个球都是红球的概率是 3 100. (2)P(CA)P(C)P(A) C13C12 C25 C23 C25 6 10 3 10 9 50. 故第一次取出的2 个球 1 个是白
19、球、 1 个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率 是 9 50. 1计算条件概率要明确： (1)准确理解条件概率的概念：条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条 件的概率的制约； (2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚 “事件A发生” “事件A发生并且事件B也发 生” “事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系 2互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系 名称 区别 联系 定义事件个数 互斥事件 在一次试验中不能同时 发生的事件 两个或两个 以上 两事件互斥，但 不一定对立；反之 一定成立； 两事件独立，则 不一定互斥 (或对 对立事件 在一次试验中不能同时 发生但必
20、有一个发生的 事件 两个 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 独立事件 一个事件的发生与否对 另一个事件发生的概率 没有影响 两个或两个 以上 立)； 两事件互斥(或对 立)，则不相互独立 对应课时跟踪训练十一 1抛掷一颗骰子一次，A表示事件：“出现偶数点” ，B表示事件：“出现 3 点或 6点” ， 则事件A与B的关系是 ( ) A相互互斥事件 B相互独立事件 C既相互互斥又相互独立事件 D既不互斥又不独立事件 解析：A2,4,6 ，B3,6 ，AB 6 ，所以P(A) 1 2， P(B) 1 3 ，P(AB) 1 6 1 2 1 3， 所以A与B是相互独立事件 答案： B 2设A，B
21、为两个事件， 若事件A和B同时发生的概率为 3 10，在事件 A发生的条件下， 事件B发生的概率为 1 2，则事件 A发生的概率为( ) A. 2 5 B. 3 5 C. 4 5 D. 3 10 解析：由题意知：P(AB) 3 10， P(B|A) 1 2， P(A) PAB PB|A 3 10 1 2 3 5. 答案： B 3某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长 为幼苗的概率为( ) A 0.02 B0.08 C0.18 D 0
22、.72 解析：设“这粒水稻种子发芽”为事件A， “这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件 AB， “这粒种子能成长为幼苗”为事件B|A，则P(A) 0.8，P(B|A) 0.9，由条件概率公式， 得 P(AB)P(B|A)P(A)0.90.80.72. 答案： D 4从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为 1 5，身体关节构造合格 的概率为 1 4 ，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合 格与否相互之间没有影响)( ) A. 13 20 B. 1 5 C. 1 4 D. 2 5 解析： 设“儿童体型合格”为事件A， “身体关节构造合格”为事件B，
23、则P(A) 1 5，P (B) 1 4.又 A，B相互独立，则A，B也相互独立，则P(A B)P(A)P(B)4 5 3 4 3 5，故 至少有一项合格的概率为P1P(A B)2 5. 答案： D 5有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是 1 2，乙能解决的概率是 1 3 ，两人试 图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为_，问题得到解决的概率为 _ 解析：甲、乙两人都未能解决为 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 1 2 1 1 3 1 2 2 3 1 3 ， 问题得到解决就是至少有1 人能解决问题 P 1 1 3 2 3 . 答案： 1 3 2 3 6从编号为1,2
24、， 10 的 10 个大小相同的球中任取4个，已知选出4 号球的条件下， 选出球的最大号码为6 的概率为 _ 解析：令事件A选出的 4 个球中含4号球 ， B选出的 4 个球中最大号码为6，依题意可知 n(A)C3984，n(AB)C246， P(B|A) nAB nA 6 84 1 14. 答案： 1 14 71 号箱中有 2 个白球和4个红球， 2 号箱中有5 个白球和3 个红球，现随机地从1 号 箱中取出一球放入2 号箱，然后从2 号箱中随机取出一球，问： (1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从 2 号箱取出红球的概率是多少？ 解： “最后从2
25、 号箱中取出的是红球”为事件A， “从 1 号箱中取出的是红球”为事件 B. P(B) 4 24 2 3， P(B) 1P(B) 1 3， (1)P(A|B) 31 81 4 9 ， (2)P(A|B) 3 81 1 3， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 P(A)P(AB)P(AB)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B) 4 9 2 3 1 3 1 3 11 27. 8一张储蓄卡的密码共有6 位数字，每位数字都可从09 中任选一个，某人在银行自 动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字求： (1)任意按最后一位数字，不超过2 次就按对密码的概率； (2)如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过2 次就按对密码的概率 解： (1)设“第i次按对密码”为事件Ai(i1,2)，则事件AA1(A 1A2)表示不超过 2 次就按对密码 因为事件A1与A 1A2互斥，由概率加法公式，得 P(A)P(A1)P(A 1A2) 1 10 91 109 1 5. (2)用B表示“最后一位数字是偶数”这个事件， 则A|BA1|B(A1A2)|B. P(A|B)P(A1|B)P(A 1A2)|B) 1 5 41 54 2 5.