《高中数学第二章概率2超几何分布教学案北师大版选修2290.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章概率2超几何分布教学案北师大版选修2290.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2 超几何分布 对应学生用书P23 超几何分布 已知在 8 件产品中有3 件次品，现从这8 件产品中任取2 件，用X表示取得的次品数 问题 1：X可能取哪些值？ 提示： 0,1,2. 问题 2： “X1”表示的试验结果是什么？P(X 1)的值呢？ 提示：任取2件产品中恰有1件次品 P(X1) C13C15 C28 . 问题 3：如何求P(Xk)？ (k 0,1,2) 提示：P(Xk) Ck3C2 k 5 C28 . 超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件是次品从中任取n(nN)件产品，用X 表示取出的n件产品中次品的件数，那么 P(Xk
2、) CkMCn k NM CnN (其中k为非负整数 ) 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布 (1)超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(MN)件，从所 有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k 时的概率为P(Xk) Ck MC nk NM CnN (kl，l是n和M中较小的一个 ) (2)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概 率P，从而写出X的分布列 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对应学生用书P23 利用超几何分布公式求概率 例 1 高三 (1)班
3、的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10 个红球，20 个白球， 这些球除颜色外完全相同现一次从中摸出5 个球，若摸到 4 个红球 1 个白球的就中一等奖， 求中一等奖的概率 思路点拨 若以 30 个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N对应， 红球数 10 可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5 个球，即n 5，这 5 个球中红球的个 数X是一个离散型随机变量，X服从超几何分布 精解详析 若以 30 个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5 个球，X表 示取到的红球数，则X服从超几何分布 由公式得P(X4) C4 10C 54 20 C530 700 23751 0
4、.0295， 所以获一等奖的概率约为2.95%. 一点通 解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则 可直接利用公式求解，要注意M，N，n，k的取值 1 一批产品共10件， 次品率为20%， 从中任取2 件， 则正好取到1 件次品的概率是( ) A. 28 45 B. 16 45 C. 11 45 D. 17 45 解析：由题意10件产品中有2 件次品，故所求概率为P C12C18 C210 16 45. 答案： B 2设 10 件产品中，有3 件次品，现从中抽取5 件，用X表示抽得次品的件数，则X 服从参数为 _(即定义中的N，M，n)的超几何分布 答案： 10,3,
5、5 3从 6 名男同学和4 名女同学中随机选出3 名同学参加一项竞技测试试求出选3 名 同学中，至少有一名女同学的概率 解：设选出的女同学人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，且X服从参数为N 10，M 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4，n3 的超几何分布，于是选出的3 名同学中，至少有一名女同学的概率为：P(X1) P(X1)P(X2)P(X3) C14C26 C310 C24C16 C310 C34C06 C310 5 6或 P(X1)1P(X0) 1 C04C36 C310 5 6 . 超几何分布的分布列 例 2 (10 分)从 5 名男生和3 名女生中任选3人参加某运动
6、会火炬接力活动，若随机变 量X表示所选3 人中女生的人数，求X的分布列及P(X2) 思路点拨 可以将 8 人看作 8 件“产品”， 3 名女生看作3件“次品”，任选 3 人中女 生的人数可看作是任取3 件“产品”中所含的“次品”数 精解详析 由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布其中N 8，M3，n 3， (2 分) 所以P(X0) C35C03 C38 5 28，P(X1) C25C 1 3 C38 15 28，P (X2) C15C23 C38 15 56，P (X3) C 0 5C 3 3 C38 1 56. (8 分) 从而随机变量X的分布列为 Xk 0123 P(Xk) 5 28
7、15 28 15 56 1 56 所以P(X2)P(X0)P(X 1) 5 28 15 28 5 7. (10 分) 一点通 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超 几何分布的条件， 则直接利用超几何分布概率公式来解当然，本例也可通过古典概型解决 4(重庆高考改编 )一盒中装有9 张各写有一个数字的卡片，其中4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是2,2 张卡片上的数字是3.从盒中任取3 张卡片 (1)求所取 3张卡片上的数字完全相同的概率； (2)X表示所取3 张卡片上的数字的中位数，求X的分布列 (注：若三个数a，b，c满 足abc，则称b为这三个数的中位
8、数) 解： (1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p C34C33 C39 5 84 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)X的所有可能值为1,2,3， 且P(X1) C24C15C34 C3 9 17 42 ，P(X2) C13C14C12 C23C16C33 C 3 9 43 84， P(X3) C22C17 C39 1 12， 故X的分布列为 X 123 P 17 42 43 84 1 12 5某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备 了两种不同的饮料共8 杯，其颜色完全相同，并且其中4 杯为A饮料，另外4 杯为B饮料， 公司要求其员工一
9、一品尝后，从8 杯饮料中选出4 杯A饮料若4 杯都选对，则月工资定 为 3 500元；若 4 杯选对 3杯， 则月工资定为2 800 元；否则月工资定为2 100元令X表示 此人选对A饮料的杯数假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力 (1)求X的分布列； (2)用Y表示新录用员工的月工资，求Y的分布列 解： (1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4. P(Xk) Ck4C4k 4 C48 (k0,1,2,3,4) 则X的分布列为 Xk 01234 P(Xk) 1 70 16 70 36 70 16 70 1 70 (2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100,2 800,3
10、 500. 则P(Y3 500)P(X4) 1 70， P(Y2 800)P(X3) 8 35， P(Y2 100)P(X2) 53 70， 则Y的分布列为 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 Yk 2 1002 8003 500 P(Yk) 53 70 8 35 1 70 1超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品有较 明显的两部分组成 2在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出随机变量X取k时的 概率P(Xk)，从而列出随机变量X的分布列 对应课时跟踪训练十 1一个小组有6 人，任选2 名代表，求其中甲当选的概率是( ) A. 1 2 B.
11、1 3 C. 1 4 D. 1 5 解析：设X表示 2 名代表中有甲的个数，X的可能取值为0,1， 由题意知X服从超几何分布，其中参数为N6，M 1，n2， 则P(X1) C11C15 C26 1 3. 答案： B 2在一个口袋中装有5 个白球和3 个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3 个 球，至少摸到2 个黑球的概率等于( ) A. 2 7 B. 3 8 C. 3 7 D. 9 28 解析：黑球的个数X服从超几何分布，则至少摸到2 个黑球的概率P(X2)P(X2) P(X3) C23C15 C38 C33C05 C38 2 7. 答案： A 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3
12、某 12 人的兴趣小组中，有5 名“三好生” ，现从中任意选6 人参加竞赛，用X表示 这 6 人中“三好生”的人数，则 C35C37 C612 是表示的概率是( ) AP(X2) BP(X3) CP(X2) D P(X3) 解析： 6 人中“三好生”的人数X服从超几何分布，其中参数为N12，M5，n 6， 所以P(X3) C35C 3 7 C612 . 答案： B 4 从一副不含大、 小王的 52 张扑克牌中任意抽出5 张，则至少有3 张 A 的概率为 ( ) A. C34C248 C552 B. C348C24 C552 C1 C148C44 C552 D. C34C248 C 4 4C 1
13、 48 C552 解析：设X为抽出的 5 张扑克牌中含A 的张数 则P(X3)P(X3)P(X4) C34C248 C552 C44C148 C552 . 答案： D 5某小组共有10 名学生，其中女生3 名，现选举2 名代表，至少有1 名女生当选的概 率为 _ 解析：至少有1 名女生当选包括1 男 1 女， 2 女两种情况，概率为 C13C17C23 C2 10 8 15. 答案： 8 15 6知识竞答，共有10 个不同的题目，其中选择题6 个，判断题4个，小张抽4 题，则 小张抽到选择题至少2 道的概率为 _ 解析：由题意知小张抽到选择题数X服从超几何分布(N 10，M6，n4)， 小张抽
14、到选择题至少2 道的概率为： P(X2)P(X2)P(X3)P(X4) C2 6C 2 4 C410 C3 6C 1 4 C410 C4 6C 0 4 C410 37 42 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： 37 42 7一盒中有12 个乒乓球，其中9 个新的， 3 个旧的，从盒中任取3 个球来用，用完后 装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的分布列 解：由题意知，旧球个数X的所有可能取值为3,4,5,6. 则P(X3) C33 C312 1 220，P(X 4) C 2 3C 1 9 C312 27 220， P(X5) C29C13 C312 108 220
15、 27 55，P (X6) C39 C312 84 220 21 55. 所以X的分布列为 Xi 3456 P(Xi) 1 220 27 220 27 55 21 55 8在一次购物抽奖活动中，假设10 张奖券中有一等奖奖券1 张，可获价值50 元的奖 品，有二等奖奖券3 张，每张可获价值10 元的奖品，其余6 张没有奖品 (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1 张，求中奖次数X的分布列 (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2 张 求顾客乙中奖的概率； 设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列 解： (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0 和 1两种情况 P(X1) C14
16、C110 4 10 2 5， 则P(X0)1P(X 1) 1 2 5 3 5. 因此X的分布列为 Xk 01 P(Xk) 3 5 2 5 (2)顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2 张奖券中有1 张中奖或 2 张都中奖 故所求概率P C1 4C 1 6C 2 4C 0 6 C210 30 45 2 3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 Y的所有可能取值为0,10,20,50,60 ，且 P(Y0) C04C26 C210 15 45 1 3， P(Y10) C13C16 C210 18 45 2 5， P(Y20) C23C06 C2 10 3 45 1 15， P(Y50) C11C16 C2 10 6 45 2 15， P(Y60) C11C13 C210 3 45 1 15. 因此随机变量Y的分布列为 Yk 010205060 P(Yk) 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15