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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.3.3-2.3.4 平面与平面垂直的性质 课时作业 A 组基础巩固 1如果直线a与平面不垂直，那么平面内与直线a垂直的直线有 ( ) A0 条B1 条C无数条D任意条 解析：可构造图形，若a，a?，且aa，则在平面内有无数条直线垂直于a， 故平面内有无数条直线垂直于直线a. 答案： C 2已知l，m、n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面与直线m垂直，则直线n与平面 的关系是 ( ) AnBn或n? Cn?或n与不平行Dn? 解析：l?，且l与n异面，n?， 又m，nm，n. 答案： A 3直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于A
2、D和BC，则l与m的位置 关系是 ( ) A相交B平行C异面D不确定 解析： 因为直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，所以直线l垂直于平面ABCD，而直 线m垂直于AD和BC，因为ADBC，所以直线m与平面ABCD位置关系不确定，所以l 与m的位置关系是不确定 答案： D 4已知直二面角-AB-，点C，点D，满足CABDAB45，ACAD，则 CAD的大小为 ( ) A30B 45C60D120 解析：如图过C作COAB，O为垂足，连接OD， ，AB，COAB， CO，COOD. 又CAODAO45， ACAD， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AOCAOD，AOODOC， A
3、CADCD，CAD60. 答案： C 5.如图，平面平面，A，B，AB与两平面，所成的角分别为 4 和 6，过点 A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A，B，则 ABAB等于 ( ) A21 B31 C32 D43 解析：连接AB，AB.设ABa，则AA 1 2 a，AB 2 2 a，AB 1 2a ， ABAB 21. 答案： A 6若直线n平面，直线m?，下列命题：?nm；?nm；nm? ；nm?.其中正确的是_(只填序号 ) 解析： n ? n m? nm，故正确； n mn ? m m? ?，故正确 答案： 7.如图，在棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中
4、点，则直线 DE与平面ABCD所成角的正切值为_ 解析：取BC的中点F，连接EF，DF(图略 )，易知EDF为直线DE与平面 ABCD所成的角， tanEDF 1 5 5 5 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： 5 5 8 线段AB在平面的同侧，A、B到的距离分别为3和 5， 则AB的中点到的距离为 _ 解析：如图设AB中点为M，分别过A、M、B向作垂线，垂足为A1、 M1、B1，则由线面垂直的性质可知 AA1MM1BB1， 四边形AA1B1B为直角梯形，AA13，BB15，MM1为其中位线，MM1 4. 答案： 4 9.如图，ABC为等边三角形，EC平面ABC，DB平面AB
5、C，CE CA2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN 平面ABC. 证明：因为M，N分别是EA，EC的中点，所以MNAC. 又因为AC? 平面ABC，MN? 平面ABC， 所以MN平面ABC. 因为DB平面ABC，EC平面ABC，所以DBEC. 所以四边形BDEC为直角梯形 因为N为EC的中点，EC2DB， 所以NC綊DB. 所以四边形BCND为矩形 所以DNBC. 又因为DN? 平面ABC，BC? 平面ABC， 所以DN平面ABC. 又因为MNDNN，且MN，DN? 平面DMN， 所以平面DMN平面ABC. B 组能力提升 1.如图，在 RtACB中，ACB90，直线l过点
6、A且垂直于平面ABC， 动点Pl，当点P逐渐远离点A时，PCB的大小 ( ) A变大 B变小 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C不变 D有时变大有时变小 解析：由于BCCA，l平面ABC，BCl，故BC平面ACP，BCCP，PCB 90，故选C. 答案： C 2给出下列四个说法： 垂直于同一平面的两条直线相互平行； 垂直于同一平面的两个平面相互平行； 若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面 其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 解析：正确，错误 答案： B 3.如图，空间四边形A
7、BCD中，平面ABD平面BCD，BAD90， BCD90，且ABAD，则AC与平面BCD所成的角是 _ 解析：如图，取BD的中点E，连接AE、CE.由ABAD得AEBD. 平面ABD平面BCD， 平面ABD平面BCDBD， AE? 平面ABD， AE平面BCD. EC为AC在平面BCD上的射影，ACE为AC与平面BCD所成的角 在 RtBCD中，E为BD的中点，CEBE. 又AEBE，在 RtACE中，AECE，ACE45. AC与平面BCD所成的角为45. 答案： 45 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4.如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G， 已知AED是AED绕
8、DE翻折过程中的一个图形，现给 出下列四个命题： 动点A在平面ABC上的射影在线段AF上； 恒有平面AGF平面BCED； 三棱锥A-FED的体积有最大值； 直线AE与BD不可能垂直 其中正确命题的序号是_ 解析：对于命题，由题意，知AGDE，FGDE，AGFGG，故DE平面A FG.又DE? 平面ABC，所以平面AFG平面ABC，故该命题正确；对于命题，由可 知正确；对于命题，当AG平面ABC时，三棱锥A-FED的体积有最大值，故命题 正确；对于命题，当AE在平面ABC上的射影与直线BD垂直时，易证AE与BD 垂直，故该命题不正确 答案： 5.如图，边长为2 的正方形ACDE所在的平面与平面A
9、BC垂直，AD与 CE的交点为M，ACBC，且ACBC. (1)求证：AM平面EBC； (2)求直线EC与平面ABE所成角正切值 解析： (1)证明： 平面ACDE平面ABC，平面ACDE平面ABCAC， BCAC， BC平面ACDE.又AM? 平面ACDE，BCAM. 四边形ACDE是正方形，AMCE. 又BCCEC，AM平面EBC. (2)取AB的中点F，连接CF，EF. EAAC，平面ACDE平面ABC，平面ACDE平面ABCAC， EA平面ABC，EACF. 又ACBC，CFAB. EAABA，CF平面AEB， CEF即为直线EC与平面ABE所成的角在RtCFE中，CF2，FE6， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 tanCEF 2 6 3 3 .