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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课时作业 A 组基础巩固 1如果一条直线垂直于一个平面内的三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径； 正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是( ) ABCD 解析：能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，中的两直线有可能平行 答案： A 2.如图，BC是 RtABC的斜边，过A作ABC所在平面的垂线AP， 连接PB、PC，过A作ADBC于D，连接PD，那么图中直角三角形 的个数是 ( ) A5 B6 C7 D8 解析：题图中直角三角形有ABC，ADC，ADB，PAD，PAC，PAB，PDC， PDB. 答案
2、： D 3.如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO平面ABCD， O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为( ) A75B60 C45D30 解析：SO平面ABCD，则SAC就是侧棱与底面所成的角，在RtSAO中，SA2，AO 2，SAO45. 答案： C 4空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是 ( ) A垂直且相交 B相交但不一定垂直 C垂直但不相交 D不垂直也不相交 解析：取BD中点O，连接AO，CO， 则BDAO，BDCO， BD面AOC， BDAC，又BD、AC异面，选C. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： C 5已知P是ABC所在平面
3、外的一点，点P与AB、AC、BC的距离相等， 且点P在ABC 上的射影O在ABC内，则O一定是ABC的( ) A内心B外心C重心D中心 解析：如图所示，过点P作PDAB，PEAC，PFBC，分别交AB、 AC、BC于点D、E、F.O是点P在平面ABC内的射影，连接OD、OE、 OF.因为点P到AB、AC、BC的距离相等，且PO平面ABC，所以PD PEPF，POPOPO，又因为PODPOEPOF90，所 以ODOEOF，因为POAB，PDAB，且PDPOP.所以AB平面POD，所以 ABOD.同理可证得OFBC，OEAC.又因为ODOEOF，所以点O到三角形三边的 距离相等，故点O为ABC的内
4、心，故选A. 答案： A 6在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OAOBOC，M是AB 的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值大小是_ 解析：画出三棱锥(图略 )，将OM与平面ABC所成的角放在直角三角形OMC中求解，易知 tanOMC OC OM 1 2 2 2. 答案：2 7已知a，b，c是三条直线，是平面若ca，cb，a?，b?，且 _(填上一个 条件即可 )，则有c. 解析：由直线与平面垂直的判定定理知，若c，需c垂直平面内的两条相交直线 答案：abA 8.如图所示，在正三棱锥A-BCD中，E，F分别为BD，AD的中点，EF CF，则直线BD与平面ACD所成的
5、角为 _ 解析：因为三棱锥A-BCD为正三棱锥，所以可证ABCD.又EFCF， 所以ABCF，所以AB平面ACD，故可知直线BD与平面ACD所成的 角为BDA45 . 答案： 45 9.如图，在ABC中，B90，SA平面ABC，点A在SB和SC上 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 的射影分别为N、M. 求证：MNSC. 证明：SA平面ABC，BC? 平面ABC，SABC. B90，即ABBC，ABSAA， BC平面SAB. AN? 平面SAB，BCAN. 又ANSB，SBBCB，AN平面SBC. SC? 平面SBC.ANSC. 又AMSC，AMANA，SC平面AMN. MN? 平面AM
6、N，SCMN. 10.如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面 圆周上一点，且ABBC2，CBD45. (1)求证：CD平面ABC； (2)求直线BD与平面ACD所成角的大小 解析： (1)证明：BD是底面圆的直径， CDBC.又AB平面BCD，CD? 平面BCD， ABCD.ABBCC，CD平面ABC. (2)取AC的中点E，连接DE(图略 )，由 (1)知BECD，又E是AC的中点，ABBC2， ABC90， BEAC，BE面ACD， 直线BD与面ACD所成的角为BDE. 而BE面ACD，则BEED， 即BED为直角三角形 又ABBC2，CBD45，则BD22，BE2，
7、 sinBDE BE BD 1 2， BDE 30. B 组能力提升 1.如图所示，在正四棱锥S-ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是 正方形ABCD的中心 )中，E是BC的中点，P点在侧面SCD内及 其边界上运动，并且总是保持PEAC.则动点P的轨迹与SCD组 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 成的相关图形最有可能是图中的( ) 解析：如图所示，连接BD与AC相交于点O，连接SO， 取SC的中点F，取CD的中点G，连接EF，EG，FG， 因为E，F分别是BC，SC的中点， 所以EFSB，EF? 平面SBD，SB? 平面SBD， 所以EF平面SBD，同理可证EG平面SBD. 又EF
8、EGE，所以平面EFG平面SBD， 由题意得SO平面ABCD，ACSO， 因为ACBD， 又SOBDO， 所以AC平面SBD， 所以AC平面EFG，所以ACGF，所以点P在直线GF上 答案： A 2如图所示，下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所 在棱的中点，能得出l平面MNP的图形的序号是_ (写出所有符合要求的图形的 序号 ) 解析： 按照线面垂直的判定定理判断，关键是在平面MNP内找到两条与l垂直的相交直线 答案： 3.如图所示，ACB90，平面ABC外有一点P，PC4 cm，PF，PE 垂直于BC，AC于点F，E，且PFPE23 cm，那么PC与平面ABC
9、 所成角的大小为_ 解析：过P作PO垂直于平面ABC于O，连接CO，则CO为ACB 的平分线连接OF，可证明CFO为直角三角形，CO22， RtPCO中， cosPCO 2 2 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 PCO45. 答案： 45 4.如图所示， 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形 已知AD2，PA 2，PD22，求证：AD平面PAB. 证明：在PAD中，由题设PA2，AD 2，PD22，可得PA2AD 2 PD2，于是ADPA.在矩形ABCD中，ADAB，又PAABA， 所以AD平面PAB. 5.如图所示，已知RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为 斜边AC上的中点 (1)求证：SD平面ABC. (2)若ABBC，求证：BD平面SAC. 证明： (1)因为SASC，D为AC的中点，所以SDAC. 连接BD，在 RtABC中，有ADDCDB， 所以SDBSDA，所以SDBSDA， 所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC. (2)因为ABBC，D是AC的中点，所以BDAC. 又由 (1)知SDBD，所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD平面SAC.