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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.1正弦定理 课后篇 巩固探究 A 组 1.在ABC中 ,若,则B的值为 () A.30B.45C.60D.90 解析 :因为,所以, 所以 cos B=sin B,从而 tan B=1, 又 01,所以无解 ; 对于 C,sin B=sin A=a,所以B=或B=. 答案 : 8.导学号 33194034在ABC中,若 sin A=2sin Bcos C,sin 2A= sin 2B+sin2C,则 ABC 的形状是. 解析 :由 sin 2A= sin2B+sin2C,利用正弦定理 , 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 得a2=b 2+
2、c2,故 ABC是直角三角形 ,且A=90, 所以B+C=90,B=90-C,所以 sin B=cos C. 由 sin A=2sin Bcos C,可得 1=2sin2B, 所以 sin2B=,sin B=,所以B=45,C=45. 所以ABC为等腰直角三角形. 答案 :等腰直角三角形 9.在ABC中 ,sin(C-A)=1,sin B= . (1)求 sin A的值 ; (2)设AC=,求ABC的面积. 解(1)由 sin(C-A)=1,-2 B.x2 C.2x2D.2x2 解析 :由题设条件可知解得 2x2. 答案 :C 2.在ABC中 ,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若 3a
3、=2b,则的值为 () A.B.C.1 D. 解析 :因为 3a=2b,所以b= a. 由正弦定理可知. 答案 :D 3.在ABC中 ,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+,则C=() A.B.C.D. 解析 :由 1+,从而 cos A=,所以A=,由正弦定理得,解得 sin C=,又C(0, ),所以C=或C=(舍去 ),选 B. 答案 :B 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4.设a,b,c三边分别是ABC中三个内角A,B,C所对应的边,则直线xsin(-A)+ay+c=0 与 bx-ycos+sin C=0 的位置关系是() A.平行B.重合 C.垂直
4、D.相交但不垂直 解析 :由已知得k1=-,k2=,因为,所以k1k2=-=-=-1,所以两直线 垂直 ,故选 C. 答案 :C 5.导学号 33194036已知在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C, 则 的取值范围是. 解析 :在锐角三角形ABC中,A,B,C均小于 90, 所以所以 30B45. 由正弦定理得=2cos B (), 故 的取值范围是 (). 答案 :() 6.在ABC中 ,已知 sin Bsin C=cos 2 ,A=120,a=12,则ABC的面积为. 解析 :因为 sin Bsin C=cos2,所以 sin Bsin C=,所以 2sin
5、 Bsin C=cos A+1. 又因为A+B+C= ,所以 cos A=cos(-B-C)=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C, 所以 2sin Bsin C=-cos Bcos C+sin Bsin C+1, 所以 cos Bcos C+sin Bsin C=cos(B-C)=1. 因为B,C为ABC的内角 ,所以B=C. 因为A=120,所以B=C=30. 由正弦定理得 ,b=4, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以SABC= absin C= 124=12. 答案 :12 7.导学号33194037 ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b
6、,c,若a2=b(b+c),求 证:A=2B. 证明由已知及正弦定理得,sin 2A= sin2B+sin Bsin C, 因为A+B+C= ,所以 sin C=sin(A+B), 所以 sin2A=sin2B+sin Bsin(A+B), 所以 sin2A-sin2B=sin Bsin(A+B). 因为 sin2A-sin2B=sin2A(sin 2B+cos2B)-sin2B(sin2A+ cos 2A)= sin 2Acos2B-cos2Asin2B =(sin Acos B+cos Asin B)(sin Acos B-cos Asin B) =sin(A+B)sin(A-B), 所以
7、 sin(A+B)sin(A-B)=sin Bsin(A+B). 因为A,B,C为ABC的三个内角 ,所以 sin(A+B)0, 所以 sin(A-B)=sin B,所以只能有A-B=B,即A=2B. 8.导学号 33194038在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边 ,已知 cos B=, (1)判断ABC的形状 ; (2)若 sin B=,b=3,求ABC的面积. 解(1)因为 cos B=, 所以 cos B=,所以 sin A=2cos Bsin C. 又 sin A=sin -(B+C) =sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 所以 sin Bcos C+cos Bsin C=2cos Bsin C. 所以 sin Bcos C-cos Bsin C=sin(B-C)=0. 所以在ABC中,B=C,所以ABC为等腰三角形. (2)因为C=B,所以 0B,c=b=3. 因为 sin B=,所以 cos B=. 所以 sin A=sin -(B+C)=sin(B+C) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 =sin 2B=2sin Bcos B=, 所以SABC= bcsin A= 33=3.