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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2三角形中的几何计算 课后篇 巩固探究 1.在ABC中 ,若A=105,B=30,BC=,则角B的平分线的长是() A.B.2C.1 D. 解析 :设角B的平分线与AC交于点D,则在BCD中,BDC=120,BCD=45,BC=,由正 弦定理可知BD=1. 答案 :C 2.在ABC中 ,若AC=,BC=2,B=60,则BC边上的高等于() A.B. C.D. 解析 :如图 ,在ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB 2+BC2-2AB BCcos B, 即 7=AB 2+4-22AB . 整理得AB2-2AB-3=0. 解得AB=3 或AB=-1(舍
2、去 ). 故BC边上的高AD=ABsin B=3sin 60=. 答案 :B 3.若ABC的周长等于20,面积是10,A=60,则BC边的长是 () A.5 B.6 C.7 D.8 解析 :在ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S= bcsin A,得 10bc 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 sin 60 ,即bc=40. 又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a. 由余弦定理 ,得a 2=b2+c2-2bc cos A=b 2+c2-2bccos 60 =b 2+c2-bc=(b+c)2-3bc, 所以a 2= (20-a)2-120,
3、解得a=7. 答案 :C 4.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csin A=acos C.当sin A-cos取最大 值时 ,A的大小为 () A.B. C.D. 解析 :由正弦定理得sin Csin A=sin Acos C. 因为 00, 从而 sin C=cos C. 又 cos C0,所以 tan C=1,则C=, 所以B=-A. 于是sin A-cossin A-cos(-A) =sin A+cos A=2sin. 因为 0A,所以A+,所以当A+, 即A=时,2sin取最大值 2. 答案 :A 5.导学号33194042在ABC中 ,若C=60,c=2,周长为
4、 2(1+),则A为 () A.30B.45 C.45或 75D.60 解析 :根据正弦定理,得 2R= 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 = =,所以sin A+sin B+sin 60=,所以sin A+sin B=,即 sin A+sin(A+C)=? sin(A+60)+sin A=sin(A+30)=? sin(A+30)=, 所以A+30=75或A+30=105,所以A=45或A=75. 答案 :C 6.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60 ,另两边之比为32,则这个三角形的面积 是. 解析 :设另两边分别为3x,2x,则 cos 60=,解得x=, 故两边长为3和
5、 2, 所以S= 32sin 60=. 答案 : 7.已知在ABC中,AC=2,AB=3,BAC=60,AD是ABC的角平分线 ,则AD=. 解析 :如图 ,SABC=SABD+SACD, 所以32sin 60= 3ADsin 30+ 2ADsin 30,所以AD=. 答案 : 8.在ABC中 ,若AB=a,AC=b,BCD为等边三角形,则当四边形ABDC的面积最大时, BAC=. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解 析 : 设 BAC= , 则BC 2=a2+b2-2ab cos .S 四边 形ABDC=SABC+SBCD= absin +BC 2= (a 2+b2)+absin(
6、 -60),即当 BAC= =150时 ,S四边形 ABDC取得最大值 . 答案 :150 9.已知ABC的一个内角为120,并且三边长构成公差为4 的等差数列,则ABC的面积 为. 解析 :设三角形的三边依次为a-4,a,a+4,可得a+4 的边所对的角为120. 由余弦定理得 (a+4) 2=a2+(a- 4)2-2a(a-4)cos 120 ,则a=10,所以三边长为6,10,14, SABC= 610sin 120=15. 答案 :15 10.已知ABC的重心为G,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 2a+3c=0,则 sin A sin Bsin C=. 解 析 :因 为G是
7、ABC的 重 心 ,所 以=0,又2a+3c=0,所 以 2a-3c()=0,即 (2a-3c)+(b-3c)=0,则所以abc=3 22,由正弦定理 ,得 sin Asin Bsin C=322. 答案 :322 11.导学号 33194043(2017全国 2 高考 )ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 已知 sin(A+C)=8sin2. (1)求 cos B; (2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b. 解(1)由题设及A+B+C= ,得 sin B=8sin 2 , 故 sin B=4(1-cos B). 上式两边平方 ,整理得 17cos 2B-32cos B+15=
8、0, 解得 cos B=1(舍去 ),cos B=. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)由 cos B=得 sin B=, 故SABC= acsin B=ac. 又SABC=2,则ac=. 由余弦定理及a+c=6 得 b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac(1+cos B) =36-2 =4. 所以b=2. 12.导学号 33194044(2017全国 3 高考 )ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 已知 sin A+cos A=0,a=2,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点 ,且ADAC,求ABD的面积. 解(1)由已知可得tan A=-,所以A=. 在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos, 即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去 ),c=4. (2)由题设可得CAD=, 所以BAD=BAC-CAD= .故ABD面积与ACD面积的比值为=1. 又ABC的面积为42sinBAC=2,所以ABD的面积为.