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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一 圆周角定理 1圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 应当注意的是， 圆周角与圆心角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数量 关系 2圆心角定理 (1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的 两个圆中，相同度数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来，弧的度数相等，它们所 对的圆心角的度数也相等 (2)圆心角 (AOB)与它所对的弧 ( ? AB )的度数相等， 不能写成AOB ? AB ，正确写法是 AOB的度数 ? AB 的度数 3圆周角定理的推论 (1)推论 1：同弧或等弧所对的
2、圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相 等 (1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立 (2)相等的弧与相同度数的弧含义是不同的只有弧的度数和弧的长度都相等的两条弧 才是等弧，即等弧一定有相同的度数，而有相同度数的弧不一定是等弧 (3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”，应用推论时要 时刻记住这一点 (2)推论 2：半圆 (或直径 )所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径 与圆周角定理相关的证明 已知：如图，ABC内接于O，D，E在BC边上，且BDCE， 1 2. 求证：ABAC. 证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件， 再由圆
3、周角定理及 其推论证明 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 如图，延长AD，AE分别交O于F，G两点，连接BF，CG， 1 2， ? BF ? CG ， BFCG， ? BG ? CF ， FBDGCE. 又BDCE， BFDCGE， FG， ? AB ? AC ，ABAC. 利用圆周角定理证明等量关系时，主要是分析圆周角、圆心角、 弧、弦之间的等量关系， 有时需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件 1已知AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆的直径 求证：BAEDAC. 证明：连接BE， 因为AE为直径， 所以ABE90. 因为AD是ABC的高， 所以ADC 90. 所以ADCABE.
4、 因为EC， BAE90E， DAC90C. 所以BAEDAC. 2已知O中，ABAC，D是BC延长线上一点，AD交O于点E. 求证：AB 2AD AE. 证明：如图，ABAC， ? AB ? AC . ABDAEB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 在ABE与ADB中， BAEDAB， AEBABD， ABEADB. AB AD AE AB，即 AB2ADAE. 利用圆周角进行计算 如图，已知BC为半O的直径，ADBC，垂足为D，BF交AD 于点E，且AEBE. (1)求证： ? AB ? AF ； (2)如果 sin FBC 3 5， AB45，求AD的长 BC为半O的直径，连接
5、AC，构造 RtABC. (1)证明：如图，连接AC. BC是O的直径， BAC90， 又ADBC，垂足为D， BADACB. 在AEB中，AEBE， ABEBAE. ABFACB，即 ? AB ? AF . (2)设DE3x， ADBC，sinFBC 3 5， BE5x，BD4x. AEBE，AE5x，AD8x. 在 RtADB中，ADB90，AB45， (8x)2(4x)2(45)2， 解得x1，AD8. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的 度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算
6、 3.如图， 直径为 10 的A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧 A弧上一点，则cosOBC的值为 ( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 3 5 D. 4 5 解析：选 B 法一：设A与x轴另一个交点为D， 连接CD，如图所示 因为COD90， 所以CD为A的直径 又因为CBO与CDO为圆弧CO所对的圆周角， 所以CBOCDO. 又因为C(0,5)， 所以OC5. 在 RtCDO中，CD10，CO5， 根据勾股定理得 ODCD2OC253. 所以 cosOBCcosCDO OD CD 53 10 3 2 ，故选 B. 法二：连接AO，AC，因为OC5，ACAO 5， 所以A
7、CO为等边三角形， CAO60， CBO 1 2 CAO30， 所以 cosCBOcos 30 3 2 . 4.已知，如图， ABC内接于O， ? AB ? AC ，点D是 ? BC 上任意一 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 点，AD与BC交于点E，AD6 cm，BD5 cm，CD3 cm，求DE的长 解： ? AB ? AC ， ADBCDE. 又 ? BD ? BD ，BADECD. ABDCED. AD CD BD ED ， 即 6 3 5 ED . ED 2.5 (cm) 5.如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明：ABEADC； (2)若ABC的
8、面积S 1 2AD AE， 求BAC的大小 解： (1)证明：由已知条件可得BAECAD. 因为AEB与ACB是同弧上的圆周角， 所以AEBACD. 故ABEADC. (2)因为ABEADC， 所以 AB AE AD AC，即 ABACADAE. 又S 1 2 ABAC sin BAC，且S 1 2AD AE， 所以ABACsin BACADAE. 则 sin BAC1. 又BAC为三角形内角， 所以BAC90 . 课时跟踪检测(六) 一、选择题 1如图，ABC内接于O，ODBC于D，A 50，则OCD 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 的度数是 ( ) A 40B25C50D60 解
9、析： 选 A 连接OB.因为A50，所以BC弦所对的圆心角 BOC100，COD 1 2BOC50， OCD90COD90 50 40.所以OCD40 . 2如图，CD是O的直径，弦ABCD于点E，BCD25， 则下列结论错误的是( ) AAEBEBOEDECAOD50D D是 ? AB 的中点 解析：选 B 因为CD是O的直径，弦ABCD， 所以 ? AD ? BD ，AEBE. 因为BCD 25， 所以AOD2BCD50， 故 A、C、D 项结论正确，选B. 3RtABC中，C90，A30，AC23，则此三角形外接圆的半径为( ) A.3 B2 C23 D4 解析：选 B 由推论 2 知A
10、B为 RtABC的外接圆的直径，又AB 23 cos 30 4，故外 接圆半径r 1 2 AB2. 4如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若 CD3，AB4，则 tan BPD等于 ( ) A. 3 4 B. 4 3 C. 5 3 D. 7 3 解析：选 D 连接BD，则BDP90. CPDAPB， CD AB PD PB 3 4. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 在 RtBPD中， cos BPD PD PB 3 4， tan BPD 7 3 . 二、填空题 5如图，ABC为O的内接三角形，AB为O的直径，点D在O 上，ADC68，则BAC_. 解析：AB是O的直
11、径，所以弧ACB的度数为180 ，它所对的圆周角 为 90，所以BAC90ABC90ADC90 68 22. 答案： 22 6如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，ADBC， 垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为 _ 解析：如图，连接AB，AC， 由A，E为半圆周上的三等分点， 得FBD30，ABD60， ACB30. 由BC 4， 得AB 2，AD3，BD 1， 则DF 3 3 ，故AF 23 3 . 答案： 23 3 7如图所示，已知O为ABC的外接圆，ABAC 6，弦AE交BC 于点D，若AD4，则AE_. 解析：连接CE，则AECABC. 又ABC中，ABAC， A
12、BCACB， AECACB， ADCACE， AD AC AC AE， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AE AC2 AD 9. 答案： 9 三、解答题 8如图，AB是O的直径，弦CDAB于点N，点M在O上， 1C. (1)求证：CBMD； (2)若BC4， sin M 2 3，求 O的直径 解： (1)证明：因为C与M是同一弧所对的圆周角， 所以CM. 又 1C，所以 1M， 所以CBMD(内错角相等，两直线平行) (2)由 sin M 2 3知， sin C 2 3， 所以 BN BC 2 3，BN 2 34 8 3. 由射影定理得：BC 2 BNAB，则AB6. 所以O的直径为
13、6. 9.如图，已知ABC内接于圆，D为 ? BC 的中点，连接AD交BC于点 E. 求证： (1) AE EC BE ED ； (2)ABACAE 2 EBEC. 证明： (1)连接CD. 1 3， 4 5， ABECDE. AE EC BE ED . (2)连接BD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AE EC BE DE ， AEDEBEEC. AE2BEECAE 2AE DE AE(AEDE)AEAD. 在ABD与AEC中，D为 ? BC 的中点， 1 2. 又ACEACBADB， ABDAEC. AB AE AD AC， 即ABACADAE 由知：ABACAE 2 EBEC
14、. 10.如图所示，O是ABC的外接圆，BAC与ABC的平分线相交 于点I，延长AI交O于点D，连接BD，DC. (1)求证：BDDCDI； (2)若O的半径为10 cm，BAC120，求BCD的面积 解： (1)证明：因为AI平分BAC， 所以BADDAC， 所以 ? BD ? DC ，所以BDDC. 因为BI平分ABC，所以ABICBI， 因为BADDAC，DBCDAC， 所以BADDBC. 又因为DBIDBCCBI， DIBABIBAD， 所以DBIDIB，所以BDI为等腰三角形， 所以BDID，所以BDDCDI. (2)当BAC120时， ABC为钝角三角形， 所以圆心O在ABC外 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 连接OB，OD，OC， 则DOCBOD2BAD 120， 所以DBCDCB60， 所以BDC为正三角形 所以OB是DBC的平分线 延长CO交BD于点E，则OEBD， 所以BE 1 2BD . 又因为OB10， 所以BCBD 2OBcos 30 210 3 2 103， 所以CEBCsin 60 103 3 2 15， 所以SBCD 1 2BDCE 1 210 315 753. 所以BCD的面积为753.