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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 三 反证法与放缩法 对应学生用书P24 1反证法 (1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，从此为出发点，结合已知条件， 应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、 性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立 (2)反证法证明不等式的一般步骤：假设命题不成立；依据假设推理论证；推出 矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立 2放缩法 (1)放缩法证明的定义： 证明不等式时， 通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式， 从而达到证 明的目的 (2)放缩法的理论依据有：
2、 不等式的传递性； 等量加不等量为不等量； 同分子 (分母 )异分母 (分子 )的两个分式大小的比较 对应学生用书P24 利用反证法证明不等式 例 1 已知f(x)x2pxq. 求证： (1)f(1)f(3)2f(2)2； (2)|f(1)| ，f|(2)| ， |f(3)| 中至少有一个不小于 1 2. 思路点拨 “不小于”的反面是“小于”， “至少有一个”的反面是“一个也没有” 证明 (1)f(1)f(3)2f(2) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1pq)(9 3pq)2(42pq)2. (2)假设 |f(1)| ，|f(2)| ，|f(3)| 都小于 1 2， 则|f(1)
3、| 2|f(2)| |f(3)|b. 当ab时，ab则有f(a)f(b)，f(a)f(b)，于是f(a)f(b)f(b)f(a)与已 知矛盾 当ab时，af(b)，f(b)f(a)， 于是有f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾故假设不成立 a 3 2 (xyz) 思路点拨 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明 证明 x2xyy2 x y 2 2 3 4y 2 x y 2 2 |x y 2| x y 2 . 同理可得：y2yzz2y z 2， z2zxx2z x 2， 由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得： x2xyy2y 2 yzz 2 z
4、2zxx2x y 2 y z 2 z x 2 3 2 (xyz) (1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式 )，审慎地 采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败 (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉 式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母， 或者把和式中各项或某项换以 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的 4设n是正整数，求证： 1 2 1 n1 1 n 2 1 2n1. 证明：由 2nnkn(k1,2，n)， 得 1 2n 1 nk 1 n
5、. 当k1 时， 1 2n 1 n1 1 n； 当k2 时， 1 2n 1 n2 1 n； 当kn时， 1 2n 1 nn 1 n， 将以上n个不等式相加得： 1 2 n 2n 1 n1 1 n2 1 2n n n1. 5设f(x)x2x13，a，b 0,1，求证： |f(a)f(b)|b与ab与a1，求证：a，b，c，d中至少有一 个是负数 证明：假设a，b，c，d都是非负数 由abcd1 知：a，b，c，d0,1 从而acac ac 2 ，bdbd bd 2 . acbdac bd 2 1.即acbd1.与已知acbd1 矛盾，a，b，c，d中至少有 一个是负数 9求证： 1 12 1 2
6、2 1 3 2 1 n 22. 证明：因为 1 n2 1 nn 1 1 n1 1 n， 所以 1 1 2 1 22 1 3 2 1 n21 1 12 1 2 3 1 n 1n 1(1 1 2) ( 1 2 1 3) ( 1 n1 1 n) 2 1 n2. 10证明抛物线xy2上，不存在关于直线xy10 对称的两点 证明：假设抛物线xy2上存在两点A(a 2， a)B(b2，b)(ab)关于直线xy 10 对称 由kAB 1，且A、B的中点 a 2 b2 2 ， ab 2 在直线xy10 上 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即 ab a 2 b21， a 2b2 2 ab 2 10. 由得ab1，代入得 a 2 b2 2 3 2 0. 此方程无解，说明假设不成立 抛物线xy2上不存在关于直线xy1 0对称的两点