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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一 圆周角定理 对应学生用书P18 1圆周角定理 文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 图形语言 符号语言 在O中， ? BC所对的圆周角和圆心角分别是BAC，BOC，则有BAC 1 2 BOC 作用确定圆中两个角的大小关系 2圆心角定理 文字语言圆心角的度数等于它所对弧的度数 图形语言 符号语言 A，B是O上两点，则弧 ? AB的度数等于AOB的度数 作用确定圆弧或圆心角的度数 3圆周角定理的推论 (1)推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相 等 (2)推论 2：半圆 (或直径 )所对的圆周角
2、是直角；90的圆周角所对的弦是直径 说明 (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的 弧” ； (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中” 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对应学生用书P18 与圆周角定理相关的证明 例 1 如图，已知：ABC内接于O，D、E在BC边上，且BD CE， 1 2，求证：ABAC. 思路点拨 证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由 圆周角定理及其推论证明 证明 如图，延长AD、AE分别交O于F、G，连接BF、CG， 1 2， ? BF ? CG， BFCG， ? BG ? CF， FBDGCE.
3、 又BDCE， BFDCGE，FG， ? AB ? AC，ABAC. (1)有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化 为证明它们所对的弧相等；要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中 线段相等的常见策略 (2)若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题 1.如图，OA是O的半径，以OA为直径的C与O的弦AB相 交于点D. 求证：D是AB的中点 证明：连接OD、BE. 因为ADOABE90， 所以OD和BE平行 又因为O是AE的中点， 所以D是AB的中点 2已知AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆的直径 积一时之跬步
4、臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 求证：BAEDAC. 证明：连接BE， 因为AE为直径， 所以ABE90. 因为AD是ABC的高， 所以ADC 90. 所以ADCABE. 因为EC， 所以BAE90E， DAC90C. 所以BAEDAC. 3已知O中，ABAC，D是BC延长线上一点，AD交O于E. 求证：AB 2 ADAE. 证明：如图， ABAC， ? AB ? AC. ABDAEB. 在ABE与ADB中， BAEDAB， AEBABD， ABEADB. AB AD AE AB，即 AB2ADAE. 利用圆周角进行计算 例 2 如图，已知BC为半O的直径，ADBC，垂足为D，BF 交AD于E，
5、且AEBE. (1)求证： ? AB ? AF； (2)如果 sin FBC 3 5， AB45，求AD的长 思路点拨 BC为半O的直径，连接AC，构造 RtABC. 解 (1)证明：如图， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 连接AC. BC是半O的直径， BAC90， 又ADBC，垂足为D， 1 3. 在AEB中，AEBE， 1 2. 2 3，即A BA F. (2)设DE3x， ADBC，sinFBC 3 5， BE5x，BD4x. AEBE， AE5x，AD8x. 在 RtADB中，ADB90，AB45， (8x)2(4x)2(45)2， 解得x1， AD 8. 与圆周角定理有关
6、的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角 的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算 4如图，ABC内接于O，ODBC于D，A50，则OCD的度数是 ( ) A 40B25 C50D60 解析：连接OB.因为A 50，所以弦BC所对的圆心角BOC 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 100，COD 1 2BOC50， OCD90COD 40. 答案： A 5.如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明：ABEADC； (2)若ABC的面积S 1 2AD AE， 求BAC的大小 解： (1)证明：由已知条件可得BAECAD
7、. 因为AEB与ACB是同弧上的圆周角， 所以AEBACD. 故ABEADC. (2)因为ABEADC， 所以 AB AE AD AC，即 ABACADAE. 又S 1 2AB AC sin BAC，且S 1 2AD AE， 所以ABACsin BACADAE. 则 sin BAC1. 又BAC为三角形内角， 所以BAC90 . 对应学生用书P20 一、选择题 1如图，在O中，BOC50，则A的大小为 ( ) A 25B50 C75D100 解析：由圆周角定理得A 1 2 BOC25. 答案： A 2.如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣
8、风萧萧整理 ( ) A 1对B2 对 C3 对D4 对 解析：由推论1 知： ADBACB，ABDACD， BACBDC，CADCBD， AEBDEC，AEDBEC. 答案： B 3RtABC中，C90，A30，AC23，则此三角形外接圆半径为( ) A.3 B2 C23 D4 解析：由推论2 知AB为 RtABC的外接圆的直径，又AB 23 cos 304，故外接圆半 径r 1 2AB2. 答案： B 4.如图， 已知AB是半圆O的直径， 弦AD，BC相交于P，若CD 3， AB 4，则 tan BPD等于 ( ) A. 3 4 B. 4 3 C.5 3 D. 7 3 解析：连接BD，则BD
9、P90. CPDAPB， CD AB PD PB 3 4. 在 RtBPD中， cos BPD PD PB 3 4， tan BPD 7 3 . 答案： D 二、填空题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5在O中，已知ACBCDB60，AC3，则ABC的周长 是_ 解析：由圆周角定理， 得ADACB 60. ABBC. ABC为等边三角形 周长等于9. 答案： 9 6如图，AB为半圆O的直径，OCAB，OD平分BOC，交半圆于点D，AD交 OC于点E，则AEO的度数是 _ 解析：因为OD平分BOC， 且BOC90， 所以BOD 1 2BOC45， 所以OAD 1 2BOD 22.5.
10、在 RtAEO中，AOE90， 则AEO90OAE67.5. 答案： 67.5 7如图所示， 已知O为ABC的外接圆，ABAC6，弦AE交BC 于D，若AD4，则AE_. 解析：连接CE，则AECABC， 又ABC中，ABAC， ABCACB， AECACB， ADCACE， AD AC AC AE， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AE AC2 AD 9. 答案： 9 三、解答题 8.(2012江苏高考 )如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于 AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结AC，AE， DE. 求证：EC. 解：连结OD，因为BDDC，O为AB的中点，
11、 所以ODAC，于是ODBC. 因为OBOD，所以ODBB.于是BC. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异 侧的两点，所以E和B为同弧所对的圆周角，故EB.所以E C. 9如图，已知ABC内接于圆，D为 ? BC中点，连接AD交BC于 E. 求证： (1)AE EC BE ED ； (2)ABACAE 2 EBEC. 证明： (1)连接CD. 1 3， 4 5， ABECDE. AE EC BE ED . (2)连接BD. AE EC BE DE ， AEDEBEEC. AE2BEECAE 2AE DE AE(AEDE)AEAD. 在ABD与AEC中，D为 ? BC的中
12、点， 1 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又ACEACBADB， ABDAEC. AB AE AD AC， 即ABACADAE 由知：ABACAE 2 EBEC. 10如图，已知A，B，C，D，E均在O上，且AC为O的直 径 (1)求ABCDE的值； (2)若O的半径为 3 2 ，AD与EC交于点M，且E，D为弧AC的三等分点，求MD的 长 解： (1)连接OB，OD，OE，则ABCDE 1 2( CODDOEEOAAOBBOC) 1 2 360 180. (2)连接OM和CD，因为AC为O的直径， 所以ADC 90，又E，D为 ? AC的 三等分点， 所以AECA 1 2EOA 1 2 1 3180 30， 所以OMAC.因为O的半径为 3 2 ，即OA 3 2 ， 所以AM OA cosA OA cos 30 1. 在 RtADC中，ADAC cosA2 3 2 3 2 3 2. 则MDADAM 1 2 .