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1、积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 四渐开线与摆线 课后篇 巩固探究 A 组 1.下列说法正确的是() 圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程; 圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数 方程研究圆的渐开线问题; 圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点. 其中正确的说法有() A.B.C.D. 答案 B 2.下列各点中 ,在圆的摆线(为参数 )上的是 () A.( ,0) B.( ,1) C.(2 ,2) D.(2 ,0) 解析依次将点代入验证即可. 答案 D 3.当 =2时 ,圆的渐开线(为参数 )上对应的点是 () A.(6,0) B
2、.(6,6 ) C.(6,-12 ) D.(- ,12 ) 解析当 =2时 ,将其代入圆的渐开线的参数方程,得 即所求的坐标为(6,-12 ). 答案 C 4.当 =时,圆的摆线(为参数 )上对应的点的坐标是. 答案 (6+4,4) 5.如果半径为3 的圆的摆线上某点对应的参数 =,那么该点的坐标为. 解析因为r=3, 所以圆的摆线的参数方程为(为参数 ). 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 把 =代入得x=-,y=3-. 故该点的坐标为. 答案 6.已知一个圆的摆线方程是(为参数 ),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程. 解根据摆线的参数方程可知圆的半径为4, 所以面积是16
3、,该圆对应的渐开线的参数方程是(为参数 ). 7.已知圆C的参数方程是(为参数 ),直线l的普通方程是x-y-6=0. (1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系? (2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程. 解 (1)圆C平移后的圆心为O(0,0),它到直线x-y-6=0 的距离为d=6,恰好等于圆的半径,所以直 线和圆是相切的. (2)由于圆的半径是6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是(为参数 ). 8.导学号 73574057当 =,时 ,求出渐开线(为参数 )上的对应点A,B, 并求出A,B两点间的距离. 解将 =代入 得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
4、 所以A. 将 =代入 得所以B(-1, ).故A,B两点间的距离为 |AB|=. 9.已知圆的半径为r,圆沿x轴正向滚动 ,开始时圆与x轴相切于原点O,圆上点M从起始处 (点O处) 沿顺时针已偏转角.试求点M的轨迹的参数方程. 解由题意知xM=r -rcos=r( -sin ),yM=r+rsin=r(1-cos ).故点M的轨迹的参数方程为 (为参数 ). B 组 1.我们知道图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线(为参数 )关于直 线y=x对称的曲线的参数方程为() A.(为参数 ) B.(为参数 ) C.(为参数 ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 D.(为参
5、数 ) 解析图象关于直线y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要 写出摆线关于直线y=x对称的曲线方程,只需把其中的x与y互换. 答案 B 2.已知一个圆的参数方程为(为参数 ),则圆的摆线的参数方程中与 =对应的点A与点 B之间的距离为() A.-1 B. C.D. 解析根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为(为参数 ),把 =代 入参数方程中可得即A, 所以|AB|=. 答案 C 3.导学号 73574058如图 ,ABCD是边长为1 的正方形 ,曲线AEFGH叫做“正方形的 渐开线” ,其中,的圆心依次按B,C,D,A循环 ,则曲线段
6、AEFGH的长是 () A.3B.4C.5D.6 解析根据渐开线的定义可知,是半径为 1 的 圆周长 ,长度为是半径为2 的 圆周长 ,长度为; 是半径为3 的 圆周长 ,长度为是半径为 4 的 圆周长 ,长度为 2.所以曲线段AEFGH的长是 5. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案 C 4.已知渐开线(为参数 )的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变 ),则得到的曲线的焦点坐标为. 解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r=7,其方程为x2+y2=49,把基圆的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变 ),得到的曲线方程为+y2=49,整理可得=1,这是一
7、个焦点在x轴上的椭 圆.c=7. 故焦点坐标为(7,0)和(-7,0). 答案 (7,0)和(-7,0) 5.导学号 73574059已知一个圆的摆线经过定点(2,0),请写出该圆半径最大时对应的摆 线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程. 解令y=0,可得r(1-cos )=0,由于r0,即得 cos =1,所以 =2k (kZ).将其代入x=r( -sin ), 得x=r(2k-sin 2k )(kZ).又因为x=2,所以r(2k-sin 2k )=2,即得r=(kZ).又由实际可知 r0,所以r=(kN *).易知 ,当 k=1 时,r取最大值.故所求圆的摆线的参数方程为 (为参数 );所求圆的渐开线的参数方程为 (为参数 ). 6.设圆的半径为4,圆沿x轴正向滚动 ,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动 而改变位置 ,写出圆滚动一周时点M的轨迹方程 ,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y的最大值. 解依题意可知点M的轨迹是摆线,其参数方程为(为参数 ,且 02 ). 其曲线是摆线的第一拱(02 ),如图所示. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 易知 ,当x=4时 ,y有最大值8,故该曲线上纵坐标y的最大值为8.