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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 四 弦切角的性质 对应学生用书P28 弦切角定理 (1)文字语言叙述： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 (2)图形语言叙述： 如图，AB与O切于A点，则BACD. 说明 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数 的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数 对应学生用书P29 弦切角定理 例 1 (2010新课标全国卷)如图，已知圆上的弧 ? AC ? BD，过 C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)ACEBCD； (2)BC 2 BECD. 思路点拨 利用弦切角定理 证明 (1)因为 ? AC ? BD， 所以
2、BCDABC. 又因为EC与圆相切于点C， 故ACEABC， 所以ACEBCD. (2)因为ECBCDB，EBCBCD， 所以BDCECB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故 BC BE CD BC， 即BC 2 BECD. 利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆 的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切 角 1 如图，AB为O的直径，直线EF切O于C， 若BAC56， 则ECA_. 解析：连接BC， AB为O的直径，ACB90. B90BAC 90 56 34. 又EF与O相切于点C，由弦切角定理，有EC
3、AB34. 答案： 34 2.如图，AB是O的弦，CD是经过O上的点M的切线，求证： (1)如果ABCD，那么AMMB； (2)如果AMBM，那么ABCD. 证明： (1)CD切O于M点， DMBA，CMAB. ABCD，CMAA. AB，故AMMB. (2)AMBM，AB. CD切O于M点，CMAB， CMAA.ABCD. 3如图，已知AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，AC平 分DAB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)求证：ADCD； (2)若AD2，AC5，求AB的长 解： (1)证明：如图，连接BC. 直线CD与O相切于点C， DCAB. AC平分DAB， DAC
4、CAB. ADCACB. AB为O的直径，ACB90. ADC90，即ADCD. (2)DCAB，DACCAB， ADCACB. AD AC AC AB， AC2ADAB. AD 2，AC5，AB 5 2. 运用弦切角定理证明比例式或乘积式 例 2 如图，PA，PB是O的切线，点C在 ? AB上，CDAB，CEPA，CFPB， 垂足分别为D，E，F. 求证：CD 2 CECF. 思路点拨 连接CA、CB，CAPCBA、 CBPCAB RtCAE RtCBD RtCBFRtCAD CE CD CD CF 结论 证明 连接CA、CB. PA、PB是O的切线， CAPCBA， CBPCAB. 又CD
5、AB，CEPA，CFPB， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 RtCAERtCBD， RtCBFRtCAD， CA CB CE CD， CB CA CF CD， CE CD CD CF，即 CD2CECF. 证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形 相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件 4如图，已知MN是O的切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦 AB交CD于E.求证：AC2AEAB. 证明：连接BC. MNCD? MACACD MN切O于A? MACB ? ACDB CAECAB ? ACEABC ? AC AB AE AC? AC 2 ABAE.
6、 5如图，AD是ABC的角平分线，经过点A、D的O和 BC切于D，且AB、AC与O相交于点E、F，连接DF，EF. (1)求证：EFBC； (2)求证：DF 2 AFBE. 证明： (1)O切BC于D， CADCDF. AD是ABC的角平分线， BADCAD. 又BADEFD， EFDCDF. EFBC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)连接DE， O切BC于D， BADBDE. 由(1)可得BDEFAD， 又O内接四边形AEDF， BEDDFA. BEDDFA. DE AF BE DF. 又BADCAD， DEDF.DF 2 AFBE. 对应学生用书P30 一、选择题 1P在
7、O外，PM切O于C，PAB交O于A、B，则 ( ) AMCBBBPACP CPCABDPACBCA 解析：由弦切角定理知PCAB. 答案： C 2如图，ABC内接于O，EC切O于点C.若BOC76，则BCE等于 ( ) A 14B38 C52D76 解析：EC为O的切线， BCEBAC 1 2BOC38. 答案： B 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3如图，AB是O的直径，EF切O于C，ADEF于D，AD2，AB6，则AC 的长为 ( ) A 2 B3 C23 D4 解析：连接BC，则ACB90， 又ADEF， ADC90， 即ADCACB， 又ACDABC， ABCACD， AC2
8、ADAB12， 即AC23. 答案： C 4如图，AB是O直径，P在AB的延长线上，PD切O于C 点，连接AC，若ACPC，PB1，则O的半径为 ( ) A 1 B2 C3 D4 解析：连接BC. ACPC，AP. BCPA，BCPP. BCBP1. 由BCPCAP得 PC 2PB PA， 即AC2PBPA. 而AC2AB2BC 2， 设O半径为r， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则 4r2121(12r)， 解得r1. 答案： A 二、填空题 5.如图，已知AB与O相切于点M， 且 ? MC ? MD， 且 ? MC，?MD 为 1 4 圆周长，则AMC _ ，BM C _ _，
9、MDC _，MOC_. 解析：弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半 答案： 451354590 6如图，AB是O的直径，PB，PE分别切O于B，C，若 ACE40，则P_. 解析：连接BC， AB是O的直径， ACB90. 又ACE40， PCBPBC50.P80. 答案： 80 7.如图， 点P在圆O直径AB的延长线上， 且PBOB 2， PC切圆O于C点，CDAB于D点，则CD_. 解析：连接OC， PC切O于C点， OCPC. PBOB2，OC2. PC23. OCPCOPCD， CD 223 4 3. 答案：3 三、解答题 8.如图所示，O1与O2交于A、B两点
10、，过O1上一点P作直 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 线PA、PB分别交O2于点C和点D，EF切O1于点P. 求证：EFCD. 证明：如图，连接AB， EF是O切线， FPAPBA. 又在O2中，ABCD为O内接四边形， CABP.FPAC. EFCD. 9.如图所示，ABC内接于O，ABAC，直线XY切O于点 C，弦BDXY，AC、BD相交于E. (1)求证：ABEACD； (2)若AB6 cm，BC4 cm， 求AE的长 解： (1)证明：因为XY是O的切线， 所以 1 2. 因为BDXY，所以 1 3，所以 2 3. 因为 3 4，所以 2 4. 因为ABDACD，又因为ABA
11、C， 所以ABEACD. (2)因为 3 2，ABCACB， 所以BCEACB， BC AC CE CB， ACCEBC 2. 因为ABAC6 cm，BC4 cm， 所以 6(6AE)16. 所以AE 10 3 cm. 10.如图，ABC内接于圆O，AD平分BAC交圆O于点D， 过点B作圆O的切线交直线AD于点E. (1)求证：EBDCBD； (2)求证：ABBEAEDC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明： (1)BE为圆O的切线， EBDBAD， 又AD平分BAC，BADCAD， EBDCAD， 又CBDCAD， EBDCBD. (2)在EBD和EAB中， EE，EBDEAB， EBDEAB， BE AE BD AB ， ABBEAEBD， 又AD平分BAC, BDDC， 故ABBEAEDC.