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1、积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第二讲参数方程 测评 (时间 :120分钟满分 :150分) 一、选择题 (本大题共12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分) 1.若直线l的参数方程为(t为参数 ),则直线l的斜率等于 () A.3 B.-3 C.D.- 解析由参数方程可得直线l的斜率k=- . 答案 D 2.直线 3x-4y-9=0 与圆 :(为参数 )的位置关系是() A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 解析由圆的参数方程可知圆心为(0,0),半径为 2,圆心到直线3x-4y-9=0 的距离d= 0,由此可知t1,t2均小于零 ,则 |AP1|+|AP
2、2|=|t1|+|t2|=|t1+t2|= 4(2+). 答案 C 11.若曲线C的参数方程为(为参数 ),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l 的距离为的点的个数为() 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A.1 B.2 C.3 D.4 解析曲线C的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以 (2,-1)为圆心 ,半径为 3 的圆 ,其中圆心 (2,-1)到直线 x-3y+2=0 的距离d=,且 3-, 故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点. 答案 B 12.导学号 73574066过抛物线(t为参数 )的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的
3、倾斜角为 () A.B. C.D. 解析将抛物线的参数方程化成普通方程为y2= x,它的焦点坐标为.设弦所在直线的方程为 y=k,由消去y,得 64k2x2-48(k2+2)x+9k2=0.设弦的两个端点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则 |x1-x2|=,解得k=.故倾斜角为. 答案 B 二、填空题 (本大题共4 小题 ,每小题 5 分,共 20分 ) 13.在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:(s为参数 )和直线l2:(t为参数 )平行 ,则常 数a的值为. 解析l1的普通方程为x=2y+1,l2的普通方程为x=a,即x= y+, 因为l1l2,所以 2=,故a=4. 积一时之跬
4、步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案 4 14.设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=4 上的动点 ,记以射线Ox为始边、以射线OP为终边的最小正角为,则 以为参数的圆C的参数方程为. 解析圆C的圆心坐标为(2,0),半径为 2,如图 ,由圆的性质知以射线Cx为始边、以射线CP为终边的最 小正角为2,所以圆C的参数方程为(为参数 ). 答案(为参数 ) 15.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 cos =4 的直线与曲线(t为参数 )相交于A,B两点 ,则|AB|=. 解析将极坐标方程cos =4 化为直角坐标方程是x=4,而由曲线的
5、参数方程消参得x3=y2, 所以y2=43=64, 即y=8. 所以|AB|=|8-(-8)|=16. 答案 16 16.若直线(t为参数 )与圆(为参数 )相切 ,则此直线的倾斜角 =. 解析将直线的参数方程化为普通方程为y=xtan ,圆(x-4) 2+y2=4,如图所示 ,sin = ,则 =或 =. 答案 三、解答题 (本大题共6 小题 ,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10 分 )把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)(为参数 ); (2)(t为参数 ). 解 (1)因
6、为 所以 两边平方相加,得=cos 2 +sin2 =1, 故所求的普通方程为=1, 它表示焦点在x轴上 ,且长轴长为14,短轴长为 8,中心在原点的椭圆. (2)因为所以将t=代入x=1-5t,得x=1-5,即 7x+5y-7=0. 故所求的普通方程为7x+5y-7=0, 它表示过和(1,0)的一条直线. 18.(本小题满分12 分 )已知直线l1的方程为 (t为参数 ),直线l2的方程为x-y-2=0.求直 线l1和直线l2的交点P的坐标及点P与点Q(2,-5)间的距离. 解将代入x-y-2=0,得t=2, 点P的坐标为 (1+2,1). 又点Q为(2,-5), 积一时之跬步臻千里之遥程
7、马鸣风萧萧整理 |PQ|=. 19.(本小题满分12 分 )在平面直角坐标系xOy中 ,圆C的参数方程为(t为参数 ).在极坐 标系 (与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点 ,以x轴非负半轴为极轴)中,直线 l的方程为sin=m(m R). (1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程; (2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值. 解 (1)消去参数t,得圆C的普通方程为 (x-1)2+(y+2) 2=9. 由sin=m, 得sin -cos -m=0. 所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0. (2)依题意 ,圆心C到直线l的距离等于2, 即=2,解得m=-32.
8、20.(本小题满分12 分 )已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数 ). (1)以原点为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程 ; (2)若A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求ABM面积的最大值. 解 (1)因为圆C的参数方程为(为参数 ), 所以其普通方程为(x-3)2+(y+4) 2= 4. 将x=cos ,y=sin 代入 ,得(cos -3) 2+ (sin +4)2=4,化简得 2-6 cos +8sin +21=0.故圆C的极 坐标方程为 2-6 cos +8sin +21=0. (2)由题意知直线AB的方程为x-y+2
9、=0,点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0 的距离 d=, ABM的面积S=|AB| d=|2cos -2sin +9|=. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以ABM面积的最大值为9+2. 21.导学号 73574067( 本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(t 为参数 ,t 0),其中 0 .在以O为极点 ,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2: =2sin ,C3: =2cos . (1)求C2与C3交点的直角坐标; (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值. 解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C
10、3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0. 联立 解得 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和. (2)曲线C1的极坐标方程为 =( R,0),其中 0 .因此点A的极坐标为 (2sin ,),点B的极 坐标为 (2cos ,).所以|AB|=|2sin -2cos |=4. 当 =时 ,|AB|取得最大值 ,且最大值为4. 22.导学号 73574068( 本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程是(为参 数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是 =2.正方形ABCD 的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为. (1)求点A,B,C,D的直角坐标 ; (2)设P为C1上的任意一点 ,求|PA| 2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解 (1)由已知可得A,B,C,D的直角坐标分别为 A, B, C, D, 即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1). (2)设P(2cos ,3sin ),令S=|PA| 2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则S=16cos 2 + 36sin 2 + 16=32+20sin2 . 因为 0sin 2 1, 所以S的取值范围是32,52.