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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 2 节 综合法与分析法创新应用 核心必知 1综合法 一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证 而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法 2分析法 证明命题时， 我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需 条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要 证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法 问题思考 1如何理解分析法寻找的是充分条件？ 提示：用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证A只需证B”表示
2、，说明只要B 成立，就一定有A成立，所以B必须是A的充分条件才行，当然B是A的充要条件也可 2用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？ 提示：综合法：A?B1?B2? ?Bn?B(逐步推演不等式成立的必要条件)， 即由条件出发推导出所要证明的不等式成立 分析法：B?B1?B2? ?Bn?A(步步寻求不等式成立的充分条件)， 总之，综合法与分析法是对立统一的两种方法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 已知a，b，cR，且互不相等，又abc 1. 求证：abcab.求证：cc2ab0，y0，求证： (x2y2) 1 2( x3y3) 1 3. 证明：要证明(x2y 2) 1 2( x3
3、y3) 1 3， 只需证 (x2y2)3(x3y3)2， 即证x63x4y2 3x2y4y6x62x3y3y6， 即证 3x4y 2 3x2y42x3y3. x0，y0，x2y20， 即证 3x23y22xy. 3x23y2x2y22xy， 3x23y22xy成立， (x2y2) 1 2( x3y 3) 1 3. 已知a，b，c为不全相等的正实数，且b2ac.求证：a 4 b 4 c 4(a2 b 2 c 2)2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 精讲详析 本题考查综合法与分析法的综合应用解答本题可先采用分析法将所要证 明的不等式转化为较易证明的不等式，然后再用综合法证明 欲证原不等
4、式成立， 只需证a4b4c4a4b4c42a 2b2 2a2c22b2c2， 即证a2b 2 b2c 2a2c20， b2ac，故只需证 (a 2c2)ac a 2c20. a、c0，故只需证a 2 c2ac0， 又a 2c22ac ， a 2 c 2 ac0 显然成立 原不等式成立 (1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原 不等式易于证明(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或 称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析与综合之间互为前提，互相渗透，相互 转化的辩证统一关系 3若a，b，c是不全相等的正数，求证lg ab 2
5、 lgb c 2 lgc a 2 lg alg b lg c. 证明：要证lg ab 2 lg bc 2 lg ca 2 lgalgblgc， 只需证 lg ab 2 bc 2 ca 2 lg(abc)， 即证 ab 2 bc 2 ca 2 abc. 又a，b，c是不全相等的正数， 由基本不等式得： ab 2 ab0， bc 2 bc0， ca 2 ac0， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 以上三式中由于a，b，c不全相等， 故等号不同时成立 ab 2 bc 2 ca 2 abc. lg ab 2 lgb c 2 lgc a 2 lgalgblgc. 数学证明是数学高考的核心问题，有
6、时单独考查， 有时以解答题的一问出现，综合法是 解决数学证明问题的基本方法，而分析法又为综合法的使用提供了思路，因此， 综合法与分 析法是解决数学证明问题的重要工具 考题印证 设a，b为非负实数，求证：a 3 b3ab(a 2 b2) 命题立意 本题考查综合法的应用，考查学生分类讨论的思想和转化化归思想的应用 证明 由a，b是非负实数，作差得 a 3 b3ab(a2b2) a 2 a(ab)b 2 b(ba)(ab)(a) 5( b) 5) 当ab时，ab， 从而 (a)5 (b)5， 得(ab)(a)5(b)5)0； 当a0. 所以a3b3ab(a 2 b2) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣
7、风萧萧整理 一、选择题 1设a，bR，Aab，Bab，则A、B的大小关系是 ( ) AABBAB CABDAB 解析：选 C 用综合法 (ab)2a2abb， 所以A 2 B2 0. 又A0，B 0， AB. 2已知a，b，c满足cacBc(ba)0 解析：选 A ac0， cc，abac，故 A 正确 ba0， 故 B 错误 由b20，可验证 C 不正确， 而ac0， ac(ac)PDPS2P 解析：选 D a 2 b22ab，b 2 c22bc，c2a22ca， a 2 b2c2abbcca， 即SP. 又三角形中 |ab| c，a 2 b2 2abc2， 同理b22bcc 2 a 2，c
8、22ac a2b2， a 2 b2c22，xR，Ma 1 a 2， N 1 2 x22 ，则M，N的大小关系是 _ 解析：a2， Ma 1 a2(a 2) 1 a22224. x22 2， N 1 2 x22 1 2 2 4， MN. 答案：MN 6设a，b，c都是正实数，且abc1，若M 1 a1 1 b1 1 c 1 ，则 M的 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 取值范围是 _ 解析：abc1， M 1 a1 1 b1 1 c1 abc a 1 abc b 1 abc c 1 b a c a a b c b a c b c 2 bc a22 ac b22 ab c2 8. 即M的取
9、值范围是 8， ) 答案： 8， ) 7已知a0，b0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项， 1 R是 1 a， 1 b的 等差中项，则P、Q、R按从大到小的排列顺序为_ 解析：由已知P ab 2 ，Qab， 1 R 1 a 1 b 2 ab 2ab ， 即R 2ab ab，显然 PQ， 又 2ab ab 2ab 2ab ab， QR.PQR. 答案：PQR 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 8若不等式 1 ab 1 bc ca0 在条件 abc时恒成立，则的取值范围是 _ 解析：不等式可化为 1 ab 1 bc ac . abc，ab0，bc0，ac0， b0，求证：
10、（ab） 2 8a b0，所以 a b1， b a 1， 故 b a1, a b1 成立， 所以有 （ab） 2 8a ab 2 ab （ab） 2 8b 成立 11已知实数a、b、c满足cba，abc1，a2b2c21.求证： 1ab 4 3. 证明：abc1，欲证结论等价于 11c 4 3，即 1 3 c0. 又a 2b2c21，则有 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ab （ab） 2（ a 2 b2） 2 （1c） 2（ 1 c 2） 2 c2c. 又ab1c.由得a、b是方程x2(1c)xc2c0 的两个不等 实根，从而(1c)2 4(c2c)0，解得 1 3 c1. cba， (ca)(cb)c2c(ab)ab c2c(1c)c2c0，解得c 0或c 2 3(舍 ) 1 3 c0，即 1ab 4 3.