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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 1 节 比较法创新应用 核心必知 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种 作差比较法作商比较法 定义 要证明ab，只要证明ab0 要证明ab0，只要证明 a b1 要证明ba0，只要证明 b a1 步骤 作差因式分解(或配方 )判断符号 得出结论 作商恒等变形判断与1 的大小 得出结论 问题思考 1作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？ 提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明 实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子 )与 0的大小关系 . 2作商比较法主要适用类型是什么？实质是什么？ 提示：作商
2、比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明 实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子 )与 1的大小关系 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 求证： (1)a 2 b22(ab1)； (2)若abc，则bc2ca 2 ab 2bc，ba0，求证： 2a 3b32ab2 a 2b. 证明： 2a 3 b3 (2ab 2 a 2b)2a(a2 b2)b(a 2b2) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (a 2 b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab) 因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0， 从而 (ab)(ab)(2ab)0 ，即 2a 3 b32ab
3、 2a2b. 已知a2，求证： loga(a1)log(a 1)a. 精讲详析 本题考查作商比较法的应用，解答本题需要先判断不等式两侧代数式的符 号，然后再用作商法比较左右两侧的大小 a2，a11. loga(a1)0，log(a1)a0， 由于 loga（a1） log（a 1）a loga(a1)loga(a1) 1? ab是不正确的， 这与a、b的符号有关，比如若b0，由 a b1， 可得ab，但若b1 得出的反而是 a0，b0，求证：a abb(ab ) ab 2. 证明：aabb0，(ab) ab 2 0， a abb （ab） ab 2 a ab 2 b ba 2 a b ab 2
4、 . 当ab时，显然有 a b ab 2 1. 当ab0 时， a b1， ab 2 0. 当ba0 时， 0 a b 0 . 即 a b ab 21. 综上可知，对任意实数a、b，都有aabb(ab) ab 2 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行 走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走如果 mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ 精讲详析 本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定 地点的路程s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t1、t2，然后利用作差
5、法比较t1，t2 的大小即可 设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1、 t2，依题意有： t1 2m t1 2ns， s 2m s 2nt 2. t1 2s m n，t 2 s（mn） 2mn . t1 t2 2s mn s（mn） 2mn s4mn（ mn） 2 2mn（mn） s（mn） 2 2mn（mn） . 其中 s，m，n 都是正数，且mn， t1 t20，即 t1t2. 从而知甲比乙先到达指定地点 应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解 决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解解答不等
6、式问题， 一般可分为如下步骤：阅读理解材料；建立数学模型；讨论不等式关系；作出问题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 结论 3证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面，下同)的周长相等， 那么在相同时间里截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大 证明：设截面的周长为L.依题意，截面是圆的水管的截面面积为 L 2 2，截面是正方形 的水管的截面面积为 L 4 2 . L 2 2 L 4 2 L 2 4 L2 16 L2（4） 16 0， L 2 2 L 4 2 ， 原结论得证 作差比较法在高考中单独考查的可能性不大，一般是在比较数与式的大小时作为解决问 题的工具使用 考题
7、印证 (安徽高考 )(1)设 x1，y1，证明 xy 1 xy 1 x 1 y xy； (2)设 11 D. 1 2 a 2 1 2 b2 解析：选 B ab0， ab0. (a) 2(b)20. 即 a 2b20. b2 a 21. 又lgb2lga 2 lg b2 a2 lg10. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 lgb 2 lga 2. 2已知 P 1 a 2 a1，Qa 2a1，那么 P、 Q 的大小关系是 ( ) APQ BPp Bmn p Cnmp Dnmp 解析：选 A 由已知，知m a b b a ，nab，得 ab0时 mn，可否定 B、 C.比较 A、D 项，不必
8、论证与p 的关系取特值a4， b1，则 m4 1 2 9 2 ，n21 3， mn，可排除D. 4设 mn，nN，a(lg x)m(lg x)m，b(lg x)n(lg x) n，x1，则 a与b的大小关 系为 ( ) AabBab C与x值有关，大小不定D以上都不正确 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：选 A 要比较a与b的大小，通常采用比较法，根据a与b均为对数表达式，只 有作差，a与b两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a与b的大小 ablgmxlgmx lgnxlg nx (lgmxlgnx) 1 lg nx 1 lgmx (lgmxlgnx) lgmxlgn
9、x lgmxlgnx (lgmxlgnx) 1 1 lgmxlgnx (lgmxlgnx) 1 1 lgmnx . x1， lgx0. 当 0lgx1 时，ab； 当 lgx1 时，ab； 当 lgx1 时，ab. 应选 A. 二、填空题 5若xy0，M(x2y 2)(x y)，N(x2y2)(xy)，则M，N的大小关系为_ 解析：MN(x2y2)(xy) (x2y 2)(x y) (xy)(x2y2)(xy)2 2xy(xy) x0， MN0，即MN. 答案：MN 6设Pa 2b25，Q2ab a 24a ，若PQ，则实数a，b满足的条件为_ 解析：PQa 2b25(2ab a 24a )
10、积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 a 2b2 52ab a 24a a 2b2 2ab 14a 24a (ab1)2 (a 2) 2， PQ， PQ0， 即(ab1)2 (a 2) 20， ab1 或a 2. 答案：ab1 或a 2 7若 1 1 b， a 2b2， 故只需比较 1 b与 b2的大小 因为b20， 1 bb0，求证： a 2 b2 a 2 b2 ab ab. 证明：法一： a 2b2 a 2b2 ab ab （ab）（ab） 2（ a 2b2） （a 2 b2）（ab） 2ab（ab） （a 2 b2）（ab）0， 所以原不等式成立 法二：ab0，故a 2 b20.故左
11、边 0，右边 0. 左边 右边 （ab） 2 a 2b2 1 2ab a 2 b 21. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 原不等式成立 11已知函数f(x)log2(xm)，且f(0)、f(2)、f(6)成等差数列 (1)求f(30)的值； (2)若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f(a)f(c)与 2f(b) 的大小关系，并证明你的结论 解： (1)由f(0)、f(2)、f(6)成等差数列，得 2log2(2m)log2mlog2(6m)， 即(m2)2m(m6)(m0) m2，f(30)log2(302)5. (2)f(a)f(c)2f(b) 证明如下： 2f(b)2log2(b2)log2(b2)2， f(a)f(c)log2(a2)(c2)， 又b2ac， (a2)(c 2) (b 2)2 ac2(ac)4b24b42(ac)4b. ac2ac2b(ac)， 2(ac)4b0， log2(a2)(c 2)log2(b 2)2，即f(a)f(c)2f(b)