高中数学第五章2复数的四则运算教学案北师大版选修.pdf

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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2 复数的四则运算 对应学生用书P48 复数的加法与减法 已知复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR) 问题 1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？ 提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即 (abi)(c di)(ac) (bd)i. 问题 2：类比向量的加法，复数的加法满足交换律和结合律吗？ 提示：满足 1加 (减)法法则 设abi 与cdi(a，b，c，dR)是任意复数，则(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 2运算律 对任意的z1，z2，z3C，有z1z2z2z1(交换律 ) (z1

2、z2)z3z1(z2z3)(结合律 ). 复数的乘法 问题 1：复数的加减法类似多项式加减，试想：复数相乘是否类似两多项式相乘？ 提示：是 问题 2：复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？ 提示：满足 问题 3：试举例验证复数乘法的交换律 提示：若z1abi，z2cdi(a，b，c，dR) z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i， z2z1(cdi)(abi)(acbd)(bcad)i. 故z1z2z2z1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 复数的乘法 (1)定义： (abi)(cdi)(acbd)(adbc)i. (2)运算律： 对任意z1，z2

3、，z3C，有 交换律z1z2z2z1 结合律(z1z2)z3z1(z2z3) 乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3 复数的乘方：任意复数z，z1，z2和正整数m，n，有 zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nzn 1z n 2. 共 轭 复 数 观察下列三组复数： (1)z12i；z22 i； (2)z134i；z234i； (3)z14i；z2 4i. 问题 1：每组复数中的z1与z2有什么关系？ 提示：实部相等，虚部互为相反数 问题 2：试计算每组中的z1z2，你发现有什么规律？ 提示：z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和 共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部

4、互为相反数时，这样的两个复数叫做共轭复数复数z 的共轭复数用z来表示，也就是当zabi 时，zabi.于是z za 2 b2|z| 2. 复数的除法 我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地， 复数的除法也是复数乘法的逆运算，给 出两个复数abi，cdi(cdi0)若 (cdi)(xyi)abi，则xyi abi cdi叫做复数 abi 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 除以cdi 的商 问题 1：根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用a，b，c，d表示出x，y. 提示：由 (cdi)(xyi)abi 得 xcyd(xdyc)iabi. 即 xcyda， xdycb. x acbd c

5、2d2 ， y bcad c2d2 . 问题 2：运用上述方法求两个复数的商非常繁琐，有更简便的方法求两个复数的商吗？ 提示：可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后，再进行运算 复数的除法法则 设z1abi，z2cdi(cdi0)， 则 z1 z2 abi cdi acbd c2d2 bcad c2d2 i(cdi0) 1复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减法和乘法相类似，但应注意在乘法中 必须把 i2换成 1，再把实部、虚部分别合并 2复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而 复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)

6、 对应学生用书P49 复数的加减运算 例 1 计算： (1)(12i)(34i) (56i)； (2)5i(34i)(13i)； (3)(abi)(2a 3bi)3i(a，bR) 思路点拨 利用复数加减运算的法则计算 精解详析 (1)(12i)(34i)(56i) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (42i)(56i) 18i. (2)5i(34i)(13i)5i(4i) 44i. (3)(abi)(2a 3bi)3i(a2a)b(3b)3ia(4b 3)i. 一点通 复数加、减运算的方法技巧： (1)复数的实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减； (2)把 i 看作一个字母，类比多项

7、式加、减中的合并同类项 1计算 (12i)(23i)(32i) 解： (12i)(23i)(32i) 1(23)i (3 2i) 4 (223)i. 2若 (310i)y(2i)x19i，求实数x，y的值 解：原式化为3y10yi(2xxi)1 9i. 即(3y2x)(x10y)i19i. 3y 2x1， x10y 9， x1， y1. 复数的四则运算 例 2 计算： (1)(1i)(1i)(1i)； (2)(2i)(1 5i)(34i)2i； (3)(23i)(12i) i5； (4) 3 4i22i 2 43i 1i 1i 2. 思路点拨 按照复数的乘法与除法运算法则进行计算 精解详析 (

8、1)(1i)(1i) (1i) 1i 2(1i) 21i 1i. (2)(2i)(1 5i)(34i)2i 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (210ii5i2)(34i) 2i (211i5)(34i) 2i (311i)(34i)2i (912i33i44i2)2i 5321i2i53 23i. (3)原式 23i 1 2i i5 23i1 2i 12i12i (i2)2i 47i 5 i 4 5 12 5 i. (4) 3 4i22i 2 43i 1i 1i 2 3 4i8i 4 3i 2i 2i 843i 43i 1 81 7. 一点通 (1)复数的乘法可以把i 看作字母，按多

9、项式的乘法法则进行，注意把i 2 化成 1，进行 最后结果的化简；复数的除法先写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数， 并进行化简 (2)im(mN)具有周期性，且最小正周期为4，则 i4n1i，i4n2 1，i4n3 i，i4n1(nN)； i4ni4n 1i4n 2i4n 30(nN) 3(新课标全国卷)设复数z满足 (1i)z2i，则z( ) A 1i B.1i C.1i D.1i 解析：z 2i 1i 2i1i 1i1i 1i，故选 A. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： A 4(新课标全国卷)若复数z满足 (34i)z|4 3i| ，则z的虚部为 ( )

10、A 4 B. 4 5 C.4 D. 4 5 解析：因为|4 3i| 423 2 5，所以已知等式为(3 4i)z 5，即z 5 34i 534i 34i34i 534i 25 34i 5 3 5 4 5i，所以复数 z的虚部为 4 5 ，选择 D. 答案： D 5计算： (1)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)； (2) 22i 3 45i 54i1i . 解： (1)(4i5)(62i 7)(7i11)(43i) (4i)(62i)(7i)(43i) 248i6i2 2821i4i3 4739i. (2) 22i 3 45i 54i1i 221i 3i 54i 54i1i 221i

11、 4i 2 2(1i) 4i 2i(1i)222i(2i)2 42i. 共 轭 复 数 例 3 已知zC，z为z的共轭复数，若zz3iz13i，求z. 精解详析 设zabi(a，bR)， 则zabi(a，bR)， 由题意得 (abi)(abi) 3i(abi)13i， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即a 2b23b3a i13i， 则有 a2b2 3b1， 3a3， 解得 a 1， b0， 或 a 1， b3. 所以z 1 或z 13i. 一点通 已知关于z和z的方程，求z的问题，解题的常规思路为设zabi(a，b R)，则zabi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程

12、组求解 6.(四川高考 )如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) AA BB CC DD 解析：因为xyi 的共轭复数是xyi，故选 B. 答案： B 7(新课标全国卷 )复数z 3i 2i 的共轭复数是( ) A 2i B2i C 1i D.1 i 解析：z 3 i 2i 3i2i 2i2i 1 i，所以z 1i. 答案： D 8已知复数z15i，z2i3，且 1 z z1z2，求复数z. 解：由已知得：z15i，z2 3i， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 z z1z2(5i)(3i)22i， z 1 22i 1 2 1 1i 1 4 1 4i

13、. 1复数的四则运算顺序与实数运算顺序一致，即先算平方，再算乘除，最后算加减， 同时要注重复数运算中的独特技巧，如：(1i)2 2i， 1i 1i i，i4n1，i4n 1i，i4n2 1， i4n3 i(nN)等，在解题中可使运算简化 2解决共轭复数问题时，除用共轭复数定义解题外，也常用下列结论简化解题过程 zz|z| 2| z| 2； zR?zz； z0，z为纯虚数 ?zz. 对应课时跟踪训练十八 1(12i) 1 2 3 2i 1 2 5 2 i ( ) A 2i B2 2i C22i D.2 解析：原式1 1 2 1 2 2 3 2 5 2 i2 2i. 答案： B 2已知a为正实数，

14、 i 为虚数单位，若 a i i 的模为 2，则a( ) A 2 B.3 C.2 D.1 解析：因为 ai i 1ai，所以1a 22，又 a0，故a3.故选 B. 答案： B 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3计算： 13i 3 1i 6 2i 12i ( ) A 0 B1 Ci D.2i 解析： 13i 3 1i 6 2i 12i 13i 2i 3 2i12i 5 i i2i.故选 D. 答案： D 4(1i)20(1i)20的值是 ( ) A 1 024 B1 024 C0 D.512 解析： (1i)20(1i)20(1i)210(1 i)210 (2i)10(2i)10(2

15、i)10 (2i)100. 答案： C 5(天津高考 )已知a，bR，i 是虚数单位若(ai)(1i)bi，则abi_. 解析：因为 (ai)(1 i)a1 (a 1)ibi，a，bR，所以 a1 0， a1b， 解得 a1， b2， 所 以abi12i. 答案： 12i 6若复数z满足z3(1z)i1，则zz2_. 解析：由题得z3i3zi1 0， 则z 13i 13i 1 2 3 2 i， 所以zz2 1 2 3 2 i 1 2 3 2 i 2 1. 答案： 1 7计算： (1)(22i)2(45i)； (2) 1 i 23 1i 2i . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解： (1)(22i)2(45i)2(1 i)2(45i) 4i(4 5i) 2016i. (2) 1 i 23 1i 2i 2i33i 2i 3i 2i1i. 8已知复数z满足 (z2)iai(aR) (1)求复数z； (2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限？ 解： (1)由已知得z 2 ai i 1ai， z3ai. (2)由(1)得z2 9a26ai， 复数z2对应的点在第一象限， 9a 20， 6a0， 解得 3a0. 即当 3a0 时，复数z2对应的点在第一象限