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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 42.1 直线与圆的位置关系 第一课时直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 提出问题 “大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有 的景象如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片 问题 1：图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？ 提示： (1)相离， (2)相切， (3)相交 问题 2：结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？ 提示： 3 种，分别是相交、相切、相离 问题 3：如何判断直线与圆的位置关系？ 提示：可利用圆心到直线的距离d与半径r的关系 导入新知
2、 1直线与圆有三种位置关系 位置关系交点个数 相交有两个公共点 相切只有一个公共点 相离没有公共点 2.直线AxByC0 与圆 (xa)2(yb)2r2的位置关系的判断 位置关系相交相切相离 公共点个数两个一个零个 判 定方法 几何法：设圆心到直线的距离d |AaBbC| A 2 B2 dr dr dr 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 代数法：由 AxByC0， xa 2 yb 2r2 消 元得到一元二次方程的判别式 000 化解疑难 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算烦琐，书写量大，易出错， 几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法
3、直线与圆位置关系的判断 例 1 若直线 4x3ya 0与圆x2y2100有如下关系：相交；相切；相离，试 分别求实数a的取值范围 解 法一： (代数法 ) 由方程组 4x 3ya0， x2y2100， 消去y，得 25x28axa29000. (8a)2425(a2900) 36a 290 000. 当直线和圆相交时，0，即 36a 290 0000， 5050. 法二： (几何法 ) 圆x2y2100的圆心为 (0,0)，半径r10， 则圆心到直线的距离d |a| 3242 |a| 5 . 当直线和圆相交时，dr，即 |a| 5 10，a50. 类题通法 直线与圆位置关系判断的三种方法 积一
4、时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断 (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断 (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性， 必须是过定点的直线系 活学活用 1直线xky10 与圆x2y21 的位置关系是 ( ) A相交 B相离 C相交或相切 D相切 答案： C 2若直线xy10 与圆 (xa)2y22 有公共点，则实数a的取值范围是 ( ) A3， 1 B1,3 C3,1 D(， 31， ) 答案： C 切 线 问 题 例 2 过点A(1,4)作圆 (x2)2(y3)21 的
5、切线l，求切线l的方程 解 ( 12)2(4 3)2101， 点A在圆外 法一：当直线l的斜率不存在时，l的方程是x 1， 不满足题意 设直线l的斜率为k，则方程为y4k(x 1)， 即kxy4k0. 圆心 (2,3)到切线l的距离为 |2k34k| k21 1， 解得k0 或k 3 4， 因此，所求直线l的方程y4 或 3x4y130. 法二：由于直线l与圆相切，所以方程组 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 y4kx1， x2 2 y3 21 只有一解 消去y，得到关于x的一元二次方程(1k2)x2(2k22k4)xk22k40， 则(2k22k4)2 4(1k2)(k22k4)0，
6、 解得 8k26k0，即k0 或k 3 4， 因此，所求直线l的方程为y4 或 3x4y130. 类题通法 1过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为 1 k，由点斜式可得切线方 程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程yy0或xx0. 2过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法 设切线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就 得切线方程当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为xx0，因为在上面解法中不包括 斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条一般不用联立方程组的方法求解 活学活用 1
7、直线xym0与圆x2y2m相切，则m的值为 ( ) A0 或 2 B2 C.2 D无解 答案： B 2圆x2y24x0 在点P(1，3)处的切线方程为( ) Ax3y2 0 Bx3y40 Cx3y4 0 Dx3y20 答案： D 弦 长 问 题 例 3 已知圆的方程为x2y28，圆内有一点P(1,2)，AB为过点P且倾斜角为的弦 (1)当135时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程 解 (1)法一： (几何法 ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 如图所示，过点O作OCAB. 由已知条件得直线的斜率为ktan 135 1， 直线AB的方程为y2 (x1)， 即
8、xy10. 圆心为 (0,0)， |OC| | 1| 2 2 2 . r22， |BC| 8 2 2 2 30 2 ， |AB| 2|BC| 30. 法二： (代数法 ) 当135时，直线AB的方程为y2 (x 1)，即yx 1，代入x2y28， 得 2x22x70. x1x21，x1x2 7 2 ， |AB| 1k2|x1x2| 11x1x2 24x 1x2 30. (2)如图，当弦AB被点P平分时， OPAB.kOP 2， kAB 1 2， 直线AB的方程为y2 1 2(x1)，即 x2y 50. 类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设
9、弦心距为d，圆的半径为r，弦长 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 为|AB| ，则有 |AB| 2 2 d2r2，即 |AB| 2r 2 d2. (2)代数法：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1， y1)，B(x2，y2)，则 |AB| x1x2 2 y1y2 2 1k2|x1x2| 1 1 k2| y1y2|( 直 线l的斜率k存在 ) 活学活用 求经过点P3， 3 2 且被定圆x2y225截得的弦长为8的直线的方程 解：当直线的斜率不存在时，过点P的直线方程为x 3，代入x2y 225，得 y1 4， y2 4， 所以弦长为 |y1y2| 8，符合
10、题意 当直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y 3 2 k(x3)， 即kxy3k 3 2 0. 由已知，得弦心距为52423， 所以 k003k 3 2 k21 3， 解得k 3 4， 所以此直线的方程为y 3 2 3 4(x3)， 即 3x4y150. 综上所述，所求直线的方程为x3 0或 3x4y150. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 11.过一点求圆的切线方程的解题误区 典例 过点A(3,1)和圆 (x2)2y21 相切的直线方程是( ) Ay 1 Bx3 Cx 3或y 1 D不确定 解析 由题意知，点A在圆外，故过点A的切线应有两条当所求直线斜率存在时，设 其为k，则直线
11、方程为y1k(x3)，即kxy 13k0.由于直线与圆相切，所以d |2k 013k| 1k2 1，解得k0，所以切线方程为y1.当所求直线斜率不存在时，x3 也符 合条件综上所述，所求切线方程为x3 或y1. 答案 C 易错防范 1解题时只考虑所求直线的斜率存在的情况，而忽视了斜率不存在的情况，而错误地选 A；若只考虑斜率不存在的情形，而忽视了斜率存在的情况，而错误地选B. 2过一点求圆的切线时，首先要判断点与圆的位置关系，以此来确定切线的条数，经过 圆外一点可以作圆的两条切线，求解中若只求出一个斜率，则另一条必然斜率不存在 成功破障 已知圆C：(x1)2(y2)24，则过点 (3,5)并与
12、圆C相切的切线方程为_ 答案： 5x12y45 0或x 3 随堂即时演练 1直线x2y10 与圆 2x22y24x2y 10 的位置关系是 ( ) A相离B相切 C相交但直线不过圆心D相交且直线过圆心 答案： C 2设直线l过点P(2,0)，且与圆x2y21 相切，则l的斜率是 ( ) A 1 B 1 2 C 3 3 D3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： C 3(全国乙卷 )设直线yx2a与圆C：x2y22ay 20 相交于A，B两点，若 |AB| 23，则圆C的面积为 _ 答案： 4 4过点P(1,2)且与圆C：x2y25相切的直线方程是_ 答案：x2y50 5已知圆C：x
13、2y28y120，直线l：axy2a0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且 |AB| 22时，求直线l的方程 答案： (1) 3 4 (2)7xy 140 或xy20. 课时达标检测 一、选择题 1直线l：xy10 与圆C：x2y24x2y10 的位置关系是 ( ) A相离B相切 C相交且过圆心D相交但不过圆心 答案： D 2过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0 所截得的弦长为( ) A.3 B2 C.6 D23 答案： D 3在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50 与圆x2y24 相交于A，B两点，则 弦AB的长为 ( ) A33
14、B23 C.3 D1 答案： B 4由直线yx1 上的点向圆C：x2y 26x 80 引切线，则切线长的最小值为 ( ) A1 B22 C.7 D3 答案： C 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5已知圆的方程为x2y26x8y0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和 BD，则四边形ABCD的面积为 ( ) A106 B206 C306 D406 答案： B 二、填空题 6(山东高考 )圆心在直线x2y0 上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦 的长为 23，则圆C的标准方程为 _ 答案： (x 2) 2(y1)24 7已知圆C的圆心是直线xy10 与x轴的交点，且
15、圆C与直线xy30 相切， 则圆C的方程为 _ 答案： (x 1) 2 y22 8已知圆C过点 (1,0)，且圆心在x轴的正半轴上直线l：yx1 被圆C所截得的弦长 为 22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_ 答案：xy3 0 三、解答题 9已知圆C和y轴相切， 圆心C在直线x3y0 上，且被直线yx截得的弦长为27， 求圆C的方程 解：设圆心坐标为(3m，m) 圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m| ， 圆心到直线yx的距离为 |2m| 2 2|m|. 由半径、弦心距、半弦长的关系得9m272m2， m 1， 所求圆C的方程为 (x3) 2(y1)29 或(x3)2 (y 1)29. 10已知圆C：(x1)2(y2)22，过点P(2， 1)作圆C的切线，切点为A，B. (1)求直线PA，PB的方程； (2)求过P点的圆C的切线长 解： (1)由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 y1k(x2)，即kxy2k10. 圆心到直线的距离等于2，即 | k3| k21 2， k26k70，解得k7 或k 1， 故所求的切线方程为 y17(x2)或y1 (x2)， 即 7xy15 0或xy10. (2)在 RtPAC中，PA2PC 2 AC2 (21)2 (12)228， 过P点的圆C的切线长为22.