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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 二 用数学归纳法证明不等式举例 课时作业 A 组基础巩固 1用数学归纳法证明1 1 2 1 3 1 2n11)时，第一步即证下述哪个不 等式成立 ( ) A11， 第一步n2，左边 1 1 2 1 3，右边 2， 即 1 1 2 1 3 127 64 成立时，起始值n0至少应取 ( ) A7 B8 C9 D10 解析： 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 64 127 64 ， n16，n7，故n08. 答案： B 3用数学归纳法证明“Sn 1 n1 1 n2 1 n3 1 3n1 1(nN)”时，S1等于 ( ) A. 1 2 B 1 4 C
2、. 1 2 1 3 D 1 2 1 3 1 4 解析：因为S1的首项为 1 1 1 1 2，末项为 1 311 1 4 ，所以S1 1 1 1 1 12 1 13，故选 D. 答案： D 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1) (k1)2成立” 那么下列命题总成立的是( ) A若f(3)9 成立，则当k1 时，均有f(k)k2成立 B若f(5)25 成立，则当k42，因此对于任 意的k 4，均有f(k)k2成立 答案： D 5某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk
3、1 时， 命题也成立现已知当n5 时该命题不成立，那么可推得( ) A当n6 时该命题不成立 B当n6 时该命题成立 C当n4 时该命题不成立 D当n4 时该命题成立 解析：与“如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1 时命题也成立”等价的 命题为“如果当nk1 时命题不成立，则当nk(kN)时，命题也不成立” 故知当n 5 时，该命题不成立，可推得当n4 时该命题不成立，故选C. 答案： C 6观察下列式子：1 1 2 2 1 2，1 1 2 1 3 1,1 1 2 1 3 1 7 3 2，1 1 2 1 3 1 152, 1 1 2 1 3 1 31 5 2 ，由此猜测第n(nN)
4、个不等式为 ( ) A1 1 2 1 3 1 2 n n1 2 B1 1 2 1 3 1 2n1 n 2 C1 1 2 1 3 1 2n 1 n 2 D1 1 2 1 3 1 2n1 n 2 解析： 1,3,7,15,31 ，的通项公式为an2n1， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 不等式左边应是1 1 2 1 3 1 2n1. 1 2，1， 3 2， 2， 5 2，的通项公式为 bn n 2， 不等式右边应是 n 2. 答案： C 2用数学归纳法证明不等式“ 1 n 1 1 n2 1 2n 13 24(n2，nN )”时的过程中，由n k到nk1 时，不等式的左边( ) A增加了一
5、项 1 2k1 B增加了两项 1 2k1， 1 2k1 C增加了两项 1 2k1， 1 2k1 ，又减少了一项 1 k 1 D增加了一项 1 2k1 ，又减少了一项 1 k1 解析：当nk时，左边 1 k1 1 k 2 1 2k. 当nk1 时，左边 1 k 11 1 k12 1 2k1 1 k2 1 k 3 1 2k 1 2k1 1 2k 2. 故由nk到nk1 时，不等式的左边增加了两项，又减少了一项 答案： C 3 用 数 学 归 纳 法 证 明 某 不 等 式 ， 其 中 证nk 1 时 不 等 式 成 立 的 关 键 一 步 是 ： k1k2 3 k2k3 k1k2 3 ( ) k2
6、k3 3 ， 括号中应填的式子是_ 解析：由k2k3k2，联系不等式的形式可知，应填k2. 答案：k2 4设a，b均为正实数，nN，已知M(ab)n，Na n na n 1b，则 M，N的大小关系为 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 _(提示：利用贝努利不等式，令x b a) 解析：令xb a ，M(ab)n，Na n na n1b， M an(1 x)n，N a n1nx. a0，b0，x0. 由贝努利不等式得(1x)n1nx. M an N an， MN 答案：MN 5对于一切正整数n，先猜出使tnn2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明，并 再证明不等式：n(n1) lg
7、3 4 lg(123n) 证明：猜想当t3 时，对一切正整数n使 3nn2成立下面用数学归纳法进行证明 当n1 时， 3 1 31 12，命题成立 假设nk(k1，k N)时， 3kk2成立， 则有 3kk21. 对nk1,3 k 133k3k23k k22(k21)3k21. (3k21)(k1)2 2k22k2k(k1)0， 3k 1(k1)2， 对nk1，命题成立 由上知，当t3 时，对一切nN，命题都成立 再用数学归纳法证明： n(n1) lg 3 4 lg(123n) 当n1 时， 1(11) lg 3 4 lg 3 2 0lg 1，命题成立 假设nk(k1，k N)时， k(k1)
8、 lg 3 4 lg(123k)成立 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当nk1 时， (k1)(k2) lg 3 4 k(k1) lg 3 4 2(k1) lg 3 4 lg(12 3k) 1 2 lg 3k 1 lg(12 3k) 1 2 lg(k1)2 lg123k(k 1)，命题成立 由上可知，对一切正整数n，命题成立 6已知等比数列an 的首项a12，公比q3，Sn是它的前n项和 求证： Sn1 Sn 3n1 n . 证明：由已知，得Sn3 n1， Sn 1 Sn 3n1 n 等价于 3 n11 3n1 3n1 n ，即 3 n2n1.(*) 法一：用数学归纳法证明上面不等式成立 当n 1时，左边 3，右边 3，所以 (*)成立 假设当nk时， (*)成立，即3k2k1，那么当nk1 时， 3k 133k3(2k1)6k32k32(k 1) 1， 所以当nk1 时， (*)成立 综合，得3n 2n1 成立 所以 Sn1 Sn 3n1 n . 法二：当n1 时，左边 3，右边 3，所以 (*)成立 当n2 时，3n(12)nC0nC1n2C2n22 Cnn2 n12n 12n，所以 (*)成立 所以 Sn1 Sn 3n1 n .