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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课下能力提升 (八) 学业水平达标练 题组 1 面积、体积的最值问题 1如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( ) A. l 6 3 B. l 3 3 C. l 4 3 D. 1 4 l 4 3 2用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积 相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截 去的正方形的边长为( ) A 6 cm B8 cm C10 cm D12 cm 题组 2 成本最低 (费用最省 )问题 3做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为(
2、 ) A 6 m B8 m C4 m D2 m 4某公司一年购买某种货物2 000 吨，每次都购买x吨，运费为4 万元 / 次，一年的总 存储费为 1 2x 2 万元，要 使一年的总运费与总存储费之和最小，则x_ 5甲、乙两地相距400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 千米 / 时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米 / 时)的函数是P 1 19 200 v4 1 160v 3 15v， (1)求全程运输成本Q(元 )关于速度v的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值 题组 3 利润最大问题 6已知某生产厂
3、家的年利润y(单位：万元 )与年产量x(单位：万件 )的函数关系式为y 1 3x 381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( ) A 13万件B11 万件C9 万件D7 万件 7某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为 Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q8 300170pp2.则最大毛利润为(毛利润 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 销售收入进货支出)( ) A 30 元B 60 元 C28 000 元D23 000 元 8某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比 例系数为k(k0)，贷款的利率为0
4、.048 ，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率 为x(x(0，0.048)，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为_ 9某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3 元，并且每件产品需向总公司交 4 元的管理费，预计当每件产品的售价为x元(8x11)时，一年的销售量为(12x)2万件 (1)求分公司一年的利润L(万元 )与每件产品的售价x之间的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值 能力提升综合练 1将 8 分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( ) A 2和 6 B4 和 4 C3 和 5 D以上都不对 2设底为等边
5、三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A. 3 VB.32VC.34VD23V 3某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边 要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( ) A 32 m，16 m B30 m， 15 m C40 m，20 m D36 m，18 m 4某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100 元，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x) x3 900400x(0 x390)，则当总利润 最大时，每年生产的产品单位数是( ) A 150 B200 C25
6、0 D300 5要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为_cm. 6如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在 x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 7某工厂共有10台机器， 生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制， 会产生一定数量的次品根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件 )与每台机器的日产 量x(万件 )(4x12)之间满足关系：P0.1x23.2 ln x3.已知每生产1 万件合格的元件可 以盈利 2 万元，但每生产1 万件次品将亏损1 万元 (利润盈利亏损) (1
7、)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元 )表示为x的函数； (2)当每台机器的日产量x(万件 )为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？ 8某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修 建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界 曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的 距离分别为5 千米和 40 千米，点N到l1，l2的距离分别为20 千米和 2.5 千米，以l1，l2所在 的直线分别为y，x轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y a x 2 b(其中 a
8、，b 为常数 )模型 (1)求a，b的值； (2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； 当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度 答案 题组 1 面积、体积的最值问题 1 解析：选A 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则 4r2hl， h l4r 2 ，Vr2h 1 2 r2l2r300， r l 6是其唯一的极值点 当r l 6 时，V取得最大值，最大值为 l 6 3 . 2解析：选B 设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积Vcm3.由题意，得V x(482x)2(00；当x(8，24)时，V20 时f(x)0，故
9、x 20 时，f(x)最小 答案： 20 5 解： (1)QP 400 v 1 19 200 v4 1 160v 315v 400 v 1 19 200 v3 1 160v 215 400 v3 48 5 2v 26 000(00， v80 千米 / 时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且QminQ(80) 2 000 3 (元) 题组 3 利润最大问题 6 解析：选C 因为yx281，所以当 (9， )时，y0，所以函数y 1 3x 3 81x234在(9， )上单调递减，在 (0，9)上单调递增，所以x 9 时函数取最大值 7 解析：选D 设毛利润为L(p)，由题意知 L(p)pQ20
10、QQ(p20) (8 300170pp2)(p20) p3150p211 700p166 000， 所以L(p) 3p 2300p11 700. 令L(p)0，解得p30 或p 130(舍去 ) 此时，L(30) 23 000. 因为在p30 附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0； 当 0.0320；x 26 3 ， 11 时，L(x)0.所以当x4 时，y最小 2解析：选C 设底面边长为x，高为h， 3 4 x2hV，h 4V 3x2 43V 3x2 . S表2 3 4 x 23x h 3 2 x 24 3V x ， S(x)3x 43V x2 ，令S(x)0 可得3x 43V x2 ，x3
11、4V，x 3 4V. 当 0 3 4V时，S(x)0， 当x 3 4V时，S(x)最小 3解析：选 A 设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m，其他两边边长为y m，则xy 512，堆料场的新砌墙的长lx2y 512 y 2y(y0)，令l 512 y2 20，解得y16(另 一负根舍去 )，当 016 时，l0，所以当y16 时，函数取得极小 值，也就是最小值，此时x 512 16 32. 4解析：选D 由题意可得总利润P(x) x 3 900 300x20 000，0x390，由P(x) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 x2 300 3000，得x300.当 0x0；当 3000，当h 203 3 时，V0，f(x)是递增的， x 23 3 ，2 时，f(x)0，得102t20.所以g(t)在区间 5，102)单调递减，在 (102，20单调递 增所以g(102)675是g(t)的极小值，也是最小值所以当t102时，f(t)取得最小值， 最小值为f(102)153.即最短长度为153.