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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课时作业 10 等比数列的概念与通项公式 | 基础巩固 |(25 分钟， 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分) 1(教材同类改编 )在等比数列 an中，已知a1 1 3， a53，则a3等于 ( ) A 1 B3 C 1 D 3 解析： 由a5a1q43，所以q49，得q23，a3a1q2 1 3 31.故选 A. 答案： A 2设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则 2a1a2 2a3a4的值为 ( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 1 8 D1 解析： 2a1a2 2a3a4 2a12a1 8a18a1 4a1
2、 16a1 1 4，故选 A. 答案： A 3已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a 4，则an等于 ( ) A 4 3 2 n B4 3 2 n1 C4 2 3 n D4 2 3 n 1 解析： 因为数列 an 为等比数列， 所以 (a1) 2(a 1)(a4)， 所以a5，即数列的前三项为4,6,9，公比为 3 2 . 所以ana1q n 14 3 2 n1. 故选 B. 答案： B 4一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( ) A. 5 3 B. 4 3 C. 3 2 D. 1 2 解析： 设这个数为x， 则(50x)2 (20x)(100x)， 解得
3、x25， 所以这三个数为45,75,125 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 公比q为 75 45 5 3. 答案： A 5(课标 )已知等比数列 an满足a1 1 4 ，a3a54(a41)，则a2( ) A 2 B1 C. 1 2 D. 1 8 解析： 解法一：设 an 的公比为q，则an q n1 4 . 由a3a54(a4 1)得 q6 4 2 4 q3 4 1 ，即 (q38)20，解得q2，因此a2 1 2. 解法二：设 an的公比为q，由等比数列的性质可知a3a5a 2 4， a 2 44(a41)，即 (a42)20，得a42， 则q3 a4 a1 2 1 4 8，
4、得q 2， 则a2a1q 1 42 1 2，故选 C. 答案： C 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 6若 1,2，a，b成等比数列，则ab_. 解析： 根据题意有 2 1 a 2 b a，解得 a 4，b8， 所以ab (4)84. 答案： 4 7在数列 an 中，对任意nN *，都有 an 12an0(an0)，则 2a1a2 2a3a4等于 _ 解析： 由an1 2an0，得 an1 an 2，则数列 an为等比数列，且公比q2， 2a1a2 2a3a4 a12q a32q a1 a1q2 1 4. 答案： 1 4 8 已知数列1，a1，a2,4 成等差数列， 1，b1，b2
5、，b3,4 成等比数列， 则 a1a2 b2 的值为 _ 解析： 因为a1a2145，b2 2，所以 a1a2 b2 5 2. 答案： 5 2 三、解答题 (每小题 10 分，共 20分) 9在等比数列中， (1)若a218，a48，求a1与q； (2)若a5a115，a4a26，求a3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析： (1)由a218， a48得a1q18，a1q38， 解得a127，q 2 3 或a1 27，q 2 3. (2)法一由a5a115，a4a26， 得a1q 4 a115，a1q3a1q6， 即a1q 2 1 q 21 15，a1qq216， 解得a1 16
6、，q 1 2 或a11， q2. 所以a3a1q2 4. 法二由已知得a3q 2a 3q 215， a3qa3q16， 可解得a3 4. 10已知数列 an的前n项和Sn2an，求证：数列 an 是等比数列 证明：Sn2an，Sn 12an1. an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan 1， an1 1 2a n. 又S1a12a1， a110， 又由an 1 1 2a n知an0， an1 an 1 2， an是等比数列，且首项为1，公比为 1 2 . | 能力提升 |(20 分钟， 40 分) 11下列命题中正确的是( ) A若a，b，c是等差数列，则lga，lgb，lgc是等比数列
7、 B若a，b，c是等比数列，则lga，lgb，lgc是等差数列 C若a，b，c是等差数列，则10a,10b,10c是等比数列 D若a，b，c是等比数列，则10a,10b,10c是等差数列 解析： 若a，b，c成等差数列，则2bac，所以 10a10c10a c102b(10b)2，所以 10 a,10b,10c 是等比数列故选C. 答案： C 12(辽宁鞍山一中月考)在等差数列 an中，a1，a3，a4成等比数列，则该等比数列的公 比为 _ 解析： 设等差数列 an 公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列， 所以a2 3a1a4，即 (a12d) 2 a1(a13d)， 解得d0 或a1 4
8、d. 若d0，则等比数列的公比q 1. 若a1 4d，则等比数列的公比q a3 a1 2d 4d 1 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： 1 2或 1 13(全国卷丙 )已知各项都为正数的数列an 满足a11，a 2 n(2an 11)an 2an 10. (1)求a2，a3； (2)求an的通项公式 解析： (1)由题意可得a2 1 2， a3 1 4. (2)由a2n(2an 11)an2an 1 0得 2an 1(an1)an(an1) 因为 an的各项都为正数，所以 an 1 an 1 2. 故an是首项为1，公比为 1 2 的等比数列，因此an 1 2 n1. 1
9、4在各项均为负数的数列an中，已知2an 3an 1，且a2a5 8 27. (1)求证： an是等比数列，并求出其通项； (2)试问 16 81是这个等比数列中的项吗？如果是， 指明是第几项； 如果不是， 请说明理由 解析： (1)证明： 2an3an1， an1 an 2 3. 又数列 an的各项均为负数， a10， 数列 an 是以 2 3为公比的等比数列， ana1q n1 a1 2 3 n1. a2a1 2 3 21 2 3a 1， a5a1 2 3 5 1 16 81a 1， 又a2a5 2 3a 1 16 81a 1 8 27 ， a 2 1 9 4 . 又a10，a1 3 2. an 3 2 2 3 n 1 2 3 n2(nN*) (2)令an 2 3 n2 16 81， 则n24，n6 N *， 16 81 是这个等比数列中的项，且是第6 项