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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课时作业 3 正、余弦定理在实际中的应用 | 基础巩固 |(25 分钟， 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分) 1两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等， 灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B 在观察站南偏东60，那么灯塔A位于灯塔B的( ) A. 北偏东 10B. 北偏西 10 C. 南偏东 10D. 南偏西 10 解析： 由已知，ACB180 40 60 80， 在ABC中，ACBC，ACB80， ABC 1 2(180 80)50， ABC60， 10， 即A位于B的北偏西10. 答案： B 2海上有A，B两个小岛相距10 n
2、mile，从A岛望C岛和B岛成 60的视角，从B岛 望C岛和A岛成 75的视角，则B，C两岛之间的距离为( ) A 103 n mile B. 106 3 n mile C52 n mile D 56 n mile 解析： 在ABC中，A60，B75，C45. 由正弦定理得 AB sinC BC sinA， BC ABsinA sinC 10 3 2 2 2 56(n mile) 答案： D 3已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，观测得ABC120， 则A，C两地的距离为 ( ) A 10km B103km C105km D107km 解析：AC2AB 2 BC 22A
3、B BCcos120 700.AC 107(km) 答案： D 4(山东烟台市高二期中)一海轮从A处出发， 以每小时40 海里的速度沿南偏东40的 方向直线航行，30 分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是 南偏东 70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A 102海里B103海里 C203海里D 202海里 解析： 根据已知条件可知ABC中，AB20，BAC30，ABC105，所以 C45，由正弦定理，有 BC sin30 20 sin45 ，所以BC 20 1 2 2 2 102.故选 A.
4、答案： A 5一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某 人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进 100 m 到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是( ) A 50 m B100 m C120 m D150 m 解析： 设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB 100，BC3h，根据余弦定理， 得(3h)2h2100 22 h100cos60，即h250h5 000 0，即 (h50)(h100)0，解得h50，故水柱的高度是50 m. 答案： A 二、填空题 (每小题 5 分，共
5、15 分) 6如图，在灾区的搜救现场，一条搜救犬从A处沿正北方向行进x m 到达B处，发现 一个生命迹象，然后向右转105，行进10 m 到达C处，发现另一生命迹象，这时它向右 转 135后继续前行回到出发点，那么x_. 解析： 由题意知CBA75，BCA45， BAC180 75 45 60， x sin45 10 sin60， x 106 3 . 答案： 106 3 7(广东韶关南雄中学期末)一艘船上午9：30 在A处测得灯塔S在它的北偏东30处， 之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00 到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东 75处，且与它相距82海里此船的航速是_海里 / 小时
6、解析： 在ABS中，易知BAS 30， ASB45，且边BS82， 利用正弦定理可得 AB sin45 BS sin30 ， 即 AB 2 2 82 1 2 得AB 16， 又因为从A到S匀速航行时间为半个小时， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以速度应为 16 1 2 32(海里 / 小时 ) 答案： 32 8 如图所示， 测量人员沿直线MNP的方向测量， 测得AB的仰角分别是AMB30， ANB45，APB60，且MNPN500 m，则塔高 _ 解析： 设塔高AB为x. 因为AB垂直于地面， 所以ABM， ABN， ABP均为直角三角形， 所以BM x tan30 3x，BN
7、x tan45 x，BP x tan60 3 3 x. 在MNB中，由余弦定理，得 BM2MN 2BN22MN BNcosMNB； 在PNB中，由余弦定理，得 BP 2 NP2BN 2 2NP BNcosPNB； 又因为BNM与PNB互补，MNNP500， 所以 3x2250 000 x22500xcosMNB， 1 3 x2250 000x22 500xcosPNB， ，得 10 3 x2500 0002x2，所以x2506. 答案： 2506 m 三、解答题 (每小题 10 分，共 20分) 9某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为15的观礼台的某一列的 正前方，从这一列的第一
8、排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为60和 30，第一排 和最后一排的距离为106米(如图所示 )，旗杆底部与第一排在同一水平面上，若国歌播放 的时间约为50 秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？ 解析：由题意易知BCD中，BDC30 15 45，CBD60 30 30， CD106米，由正弦定理， 得BC CDsin45 sin30 203(米)在 RtABC中，ABBCsin60 203 3 2 30(米 )，所以升旗速度约为 30 500.6(米/ 秒)，即升旗手应以约 0.6米 / 秒的速度 匀速升旗 10如图，某海轮以60 海里 / 小时的速度航行， 在A点测得海面上油井P在南偏东
9、 60 方向， 向北航行 40 分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30方向， 海轮改为北偏东60 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 的航向再行驶80 分钟到达C点，求P，C间的距离 解析： 因为AB40，BAP120，ABP30， 所以APB30，所以AP40， 所以BP 2AB2 AP 22AP AB cos120 4024022 4040 1 2 4023， 所以BP403. 又PBC90，BC80， 所以PC2BP 2 BC 2(40 3)2 80 211 200， 所以PC407海里 | 能力提升 |(20 分钟， 40 分) 11一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15
10、，与灯塔S相距 20 海里，随 后货轮按北偏西30的方向航行30 分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45， 则货轮的速度为( ) A 20(26)海里 / 时 B20(62)海里 / 时 C20(36)海里 / 时 D 20(63)海里 / 时 解析： 由题意得SNM105，NSM30， 所以 MN sin30 20 sin105 ，MN 20sin30 sin105 40 26 ， 货轮速度v MN 0.5 80 62 20(62)故选 B. 答案： B 12 我舰在岛A南偏西 50方向相距12 n mile 的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西 10 的方向以10 n mile/h 的速度
11、航行，若我舰要用2 小时追上敌舰，则速度为_ 解析： 设我舰速度为vn mile/h ，在C处追上敌舰，由题意易知在ABC中，AC 10 220，AB12，BAC120， 所以BC2AB2AC22ABAC cos120 784， 所以BC28， 所以v 28 2 14(n mile/h) 答案： 14 n mile/h 13 空中有一气球D， 在它正西方向的地面上有一点A， 在此处测得气球的仰角为45， 同时在气球的南偏东60方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30，两观察点A，B 相距 266 m，计算气球的高度 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析： 如图，设CDx， 在 Rt
12、ACD中，DAC45， 所以ACCDx. 在 RtBCD中，CBD30， 所以CB CD tan30 3x. 在ABC中，ACB90 60 150， 由余弦定理得AB2AC2BC 22AC BCcosACB， 所以 266 2 x2(3x)2 2x3x 3 2 ， 所以x387(m) 所以气球的高度为387 m. 14如图，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距 120海里经过侦察 发现，国际海盗船以100海里 / 小时的速度从岛屿A出发沿北偏东30方向逃窜，同时，该 军舰艇从C处出发沿北偏东 2 的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2 小时追上 (1)求该军舰艇的速度； (2)求 sin的值 解析： (1)依题意知，CAB 120，AB1002 200，AC120，ACB， 在ABC中，由余弦定理，得 BC 2AB2AC22AB ACcosCAB200 212022200 120cos120 78 400，解得 BC280. 所以该军舰艇的速度为 BC 2 140海里 / 小时 (2)在ABC中，由正弦定理，得 AB sin BC sin120 ， 即 sin ABsin120 BC 200 3 2 280 53 14 .