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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课时作业 11 等比数列的性质及应用 | 基础巩固 |(25 分钟， 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分) 1在等比数列an 中，an0，且a1a21，a3a49，则a4a5的值为 ( ) A 16 B27 C36 D 81 解析： 由a3a4q2(a1a2)9，所以q29，又an0，所以q3.a4a5q(a3a4)39 27. 答案： B 2(华中师范大学第一附属中学月考)等比数列 an的公比q 1 4， a12，则数列 an 是( ) A递增数列B递减数列 C常数数列D摆动数列 解析： 因为公比q 1 40，所以数列 an是摆
2、动数列 答案： D 3等比数列 an 中，a24，a7 1 16，则 a3a6a4a5的值是 ( ) A 1 B2 C. 1 2 D. 1 4 解析：a3a6a4a5a2a74 1 16 1 4， a3a6a4a5 1 2. 答案： C 4(河北保定期末 )已知 an ，bn都是等比数列，那么( ) A anbn ，anbn 都一定是等比数列 Banbn一定是等比数列，但anbn 不一定是等比数列 Canbn不一定是等比数列，但anbn 一定是等比数列 D anbn，anbn都不一定是等比数列 解析： 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数 列是互为相反数的数列
3、，两者的和就不是等比数列两个等比数列的积一定是等比数列 答案： C 5已知数列 an 满足 1log3anlog3an 1(nN *)且 a2a4a69，则 log 1 3(a 5a7a9)的值 是( ) A. 1 5 B 1 5 C5 D 5 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析： 由 1log3anlog3an 1(nN *)，得 an 1 3an， 即an是公比为3 的等比数列 设等比数列 an的公比为q， 又a2a4a69， 则 log 1 3(a 5a7a9) log 1 3q 3(a2a 4a6) log 1 3(3 39) 5. 故选 D. 答案： D 二、填空题 (每
4、小题 5 分，共 15 分) 6已知等比数列an中，a33，a10384，则该数列的通项an_. 解析： 由已知得 a10 a3 a1q 9 a1q2 q 712827，故 q2. 所以ana1q n 1a1q2qn 3a3qn332n3. 答案： 32 n3 7三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9就成为等比数列， 则此三个数分别为_ 解析： 设所求三个数为ad，a，ad. 由题意得 adaad15，a3 2 ad1ad 9， 解得a5， d2或a5，d 10. 又因为ad，a，ad为正数， 所以a5，d2， 故所求三个数分别为3,5,7. 答案： 3,5,7 8画
5、一个边长为2 厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2 个正方形，以 第 2 个正方形的对角线为边画第3个正方形， 这样一共画了10 个正方形， 则第 10 个正方形 的面积等于 _平方厘米 解析： 依题意这10 个正方形的边长构成以2 为首项，2为公比的等比数列an(1n 10，nN *)，则第 10 个正方形的面积 Sa 2 102(2) 92 4292 048(平方厘米 ) 答案： 2 048 三、解答题 (每小题 10 分，共 20分) 9已知数列 an 成等比数列 (1)若a24，a5 1 2 ，求数列 an 的通项公式； (2)若a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值 解
6、析： (1)由a5a2q3，得 1 24 q3， 所以q 1 2， ana2qn2 4 1 2 n 2 1 2 n4. (2)由a3a5a 2 4，得a3a4a5a 3 48. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解得a42. 又因为a2a6a3a5a 2 4， 所以a2a3a4a5a6a542532. 10设 an 是公比为正数的等比数列，a1 2，a3a24. (1)求an的通项公式； (2)设bn 是首项为1，公差为2 的等差数列，求数列anbn的前n项和Sn. 解析： (1)设q为等比数列 an的公比，则由a12，a3a24 得 2q2 2q4，即q2q 20，解得q2 或q 1
7、(舍去 )，因此q2.所以 an 的通项为an2 2 n 12n(n N*) (2)Sn 212n 12 n1 nn1 2 22 n1n22. | 能力提升 |(20 分钟， 40 分) 11(江西南昌八一中学月考)设等比数列 an的前n项和为Sn，若S2n4(a1a3a2n 1)，a1a2a327，则a6等于 ( ) A 27 B 81 C243 D729 解析：由题可得a1a2a3a 3 227，即a23.因为S2n4(a1a3a2n 1)，所以当n1 时， 有S2a1a24a1，从而可得a11，q3，所以a6135243，故选 C. 答案： C 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
8、12.若等比数列an 的各项均为正数，且a10a11a9a12 2e 5，则 lna1 lna2 lna20 _. 解析： 因为 an为等比数列，得a10a11a9a12a1a20e5， 于是 lna1lna2 lna20 ln(a1a2a3a20)ln(a1a20)10 ln(e5)10lne5050. 答案： 50 13有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个与第四个 数的和是16，第二个数与第三个数的和是12.求这四个数 解析： 法一设这四个数依次为ad，a，ad， ad 2 a (a0)， 由条件得ad ad 2 a 16，aad 12， 解得a4，d4，或a
9、9，d 6. 所以当a4，d4 时，所求四个数分别为0,4,8,16 ； 当a 9，d 6 时，所求四个数分别为15,9,3,1. 故所求四个数分别为0,4,8,16或 15,9,3,1. 法二设这四个数依次为 2a q a， a q， a，aq(a0)， 由条件得 2a q aaq 16， a q a12， 解得q2， a8， 或q 1 3， a3. 所以当q2，a8 时，所求四个数分别为0,4,8,16 ； 当q 1 3，a3 时，所求四个数分别为 15,9,3,1. 故所求四个数分别为0,4,8,16或 15,9,3,1. 法三设这四个数依次为x，y,12y,16x， 由已知得2yx 1
10、2y，12y 2 y16x. 解得x0， y4， 或x 15， y 9. 故所求四个数分别为0,4,8,16或 15,9,3,1. 14设数列 an的前n项和Sn2an2 n. (1)求a3，a4； (2)求证： an12an是等比数列； (3)求an的通项公式 解析： (1)因为a1S12a12，所以a12，S12. 因为Sn2an2n，所以 2anSn2 n， 所以 2an1Sn12 n1a n1Sn2 n1， 所以an 1Sn2n 1，所以a2S12 22 22 6， 所以S226 8，所以a3S22 38 23 16， 所以S326 1624，所以a4S3 2 4 40. (2)证明：
11、法一由(1)知an 1 2an(Sn2n 1)(Sn2n) 2 n 12n2n， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以an 22an1(Sn 12n 2) (Sn 12n 1) 2 n 1， 所以 an22an 1 an 12an 2， 所以数列 an12an是首项为a22a12，公比为2 的等比数列 法二由Sn2an2n得Sn 1 2an 12n 1， 所以Sn 1Snan 12an12 n 12a n 2 n， 即an 12an 2 n， 同理得Sn 2Sn1an 2 2an 22n 22an12n1，即an 22an12 n1， 所以 an32an 1 an 12an 2， 所
12、以数列 an12an是首项为2，公比为2 的等比数列 (3)法一由(2)知an 12an2 n，则有 an2an12n 1， an12an22n 2， a22a1 21， 即 2an4an 12n,4an18an 22n，2n1a22na12 n，上述共 (n1)个式子相加得 2an 2na1(n1)2n， 因为a12，所以an(n1)2n1. 法二由(2)知an12an2n，等号两端同时除以2n 1，得 an1 2n 1 an 2n 1 2，所以数列 an 2n 是 以 a1 21 为首项， 1 2为公差的等差数列， 所以 an 2 n1 1 2 (n1) 1 2n 1 2 ， 即an(n1)2n 1.