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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课时跟踪检测（七）直线与椭圆的位置关系 层级一学业水平达标 1直线ykxk1 与椭圆 x2 9 y 2 4 1的位置关系为 ( ) A相切B相交 C相离D不确定 解析：选 B 直线ykxk1 可变形为y1k(x1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点 在椭圆 x2 9 y2 4 1 内部，所以直线ykxk1 与椭圆 x2 9 y 2 4 1相交，故选B 2椭圆mx2ny21 与直线y 1x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直 线的斜率为 2 2 ，则 m n 的值是 ( ) A 2 2 B 23 3 C 92 2 D 23 27 解析：选 A 由
2、 mx2ny2 1， y1x 消去y得， (mn)x22nxn10 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为 (x0，y0)， 则x1x2 2n mn， x0 n mn， 代入y1x得y0 m mn 由题意 y0 x0 2 2 ， m n 2 2 ，选 A 3已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF 1 u uu ur MF 2 uuuu u r 0 的点M总在椭圆内部，则椭 圆离心率的取值范围是( ) A(0,1) B0， 1 2 C0， 2 2 D 2 2 ，1 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：选 C MF 1 uuuur MF 2 u uu u u r ，点M在以
3、F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部， c0， 0b0)的右焦点为F(3,0)， 过点F的直线交E于A， B两点若AB的中点坐标为(1， 1)，则E的方程为 ( ) A x2 45 y 2 361 B x2 36 y2 27 1 C x2 27 y2 181 D x2 18 y2 91 解析：选 D 因为直线AB过点F(3,0)和点 (1， 1)， 所以直线AB的方程为y 1 2 (x3)， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 代入椭圆方程 x2 a 2 y 2 b2 1消去 y， 得 a 2 4 b2x2 3 2a 2x 9 4a 2 a 2b20， 所以AB的中点的横坐标为 3 2
4、 a2 2 a2 4 b2 1，即a 22b2， 又a 2b2 c2，所以bc3 所以E的方程为 x 2 18 y 2 9 1 6椭圆x24y216 被直线y 1 2x1 截得的弦长为 _ 解析：由 x24y2 16， y 1 2 x1， 消去y并化简得x22x60 设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1x2 2，x1x2 6 弦长 |MN| 1k2|x1x2| 5 4 x1x2 24x 1x2 5 4 42435 答案：35 7 已知动点P(x，y)在椭圆 x2 25 y2 161 上， 若 A点坐标为 (3,0)， |AM u uu u r | 1， 且PM uu
5、u u r AM uu uu r 0，则 |PM uu uu r | 的最小值是 _ 解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点 PM u uu u r AM u uu u r 0， AM u uu u r PM uuuu r |PM u uuu r | 2| AP uuu r | 2 | AM uu uu r | 2| AP u uu r | 21， 椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP uuu r |min2， |PM u uu u r |min3 答案：3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 8若点O和点F分别为椭圆 x2 4 y2 3 1 的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，
6、则 OP uuu r FP u uu r 的最大值为 _ 解析：由 x2 4 y2 3 1 可得F(1,0) 设P(x，y)， 2x2，则OP uuu r FP uuu r x2xy2x2x31 x2 4 1 4x 2 x3 1 4(x2) 2 2， 当且仅当x2 时，OP uuu r FP u uu r 取得最大值6 答案： 6 9已知斜率为1 的直线l过椭圆 x2 4 y21 的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的 长 解：a24，b21，ca2b23， 右焦点F(3，0)，直线l的方程yx3 由 yx3， x2 4 y 21， 消去y并整理，得5x283x8 0 设直线l与椭圆的交点为
7、A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2 83 5 ，x1x2 8 5， |AB| 1k2x1x2 24x 1x2 2 83 5 2 4 8 5 8 5， 即弦AB的长为 8 5 10设椭圆C：x 2 a 2 y2 b2 1( ab0)过点 (0,4)，离心率为 3 5 (1)求C的方程； (2)求过点 (3,0)且斜率为 4 5的直线被 C所截线段的中点坐标 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解： (1)将(0,4)代入C的方程得 16 b2 1， b4又e c a 3 5，得 a 2 b2 a 2 9 25， 即 1 16 a 2 9 25， a5， C的方程为 x2 25
8、 y2 161 (2)过点 (3,0)且斜率为 4 5的直线方程为 y 4 5(x 3) 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y 4 5(x3)代入 C的方程， 得 x2 25 x3 2 25 1，即x23x80， 解得x1x23，AB的中点坐标x0 x1x2 2 3 2， y0 y1y2 2 2 5(x 1x26) 6 5 ，即中点坐标为 3 2 ， 6 5 层级二应试能力达标 1若直线mxny4 和圆O：x2y24 没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆 x2 9 y 2 4 1 的交点个数为 ( ) A 2 B1 C0 D0 或 1 解析：选A 由题意，得
9、4 m2n2 2，所以m2n20， 即k 5 4 或kb0)相交于A，B两点，若M 是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得 x1x2x1x2 a 2 y1y2y1y2 b2 0，根据题意有x1x2 212，y1y2 212，且 y1y2 x1x2 1 2， 所以 2 a 2 2 b2 1 2 0， 得a 22b2， 所以 a 22(a2 c2)， 整理得a22c2， 所以 c a 2 2 ， 即e 2 2 答案： 2 2 7已知F1，F2分别是椭圆 x2 4 y21 的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于 不同的
10、两点A，B，且AOB(O为坐标原点 )为锐角，求直线l的斜率k的取值范围 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解：显然直线x0 不满足题设条件，故设直线l：ykx 2，A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立 ykx2， x2 4 y 21 消去y并整理，得k2 1 4 x24kx30， 所以x1x2 4k k 21 4 ，x1x2 3 k 21 4 由(4k)212k 2 1 4 4k230，得k 3 2 或k0?OA uuu r OB uuu r 0， 所以OA uuu r OB uuu r x1x2y1y20 又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4 3k2
11、 k2 1 4 8k2 k2 1 4 4 k21 k2 1 4 ， 所以 3 k2 1 4 k21 k2 1 4 0，即k24，所以 2k2 综合，得直线l的斜率k的取值范围为2， 3 2 3 2 ，2 8(2016浙江高考 )如图，设椭圆 x2 a 2y 21(a 1) (1)求直线ykx1 被椭圆截得的线段长(用a，k表示 )； (2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围 解： (1)设直线ykx 1 被椭圆截得的线段为AP， 由 ykx 1， x2 a 2y 21 得(1a 2k2)x22a2kx0， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故
12、x10，x2 2a2k 1a 2k2. 因此 |AP| 1k2|x1x2| 2a 2| k|1k2 1a 2k2 . (2)假设圆与椭圆的公共点有4 个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P， Q，满足 |AP| |AQ|. 记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k20，k1k2. 由(1)知， |AP| 2a2|k1|1k2 1 1a 2k2 1 ， |AQ| 2a 2| k2|1k22 1a2k22 ， 故 2a2|k1|1k21 1a 2k2 1 2a2|k2|1k22 1a 2k2 2 ， 所以 (k21k22)1k21k22a2(2a 2)k2 1k 2 2 0. 由k1k2，k1，k20 得 1k2 1k 2 2a 2(2a2)k2 1k 2 20， 因此 1 k2 11 1 k2 21 1 a 2(a22) 因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是 1a2(a 22)1，所以 a2. 因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a2. 由e c a a21 a ，得 0e 2 2 . 所求离心率的取值范围为0， 2 2 .