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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 专题 09 牛顿运动定律的应用之临界极值问题 【专题概述】 临界与极值问题是中学物理中的常见题型，结合牛顿运动定律求解的也很多，临界是一 个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的某些物理量达 到极值 .临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变. 临界或极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好” 、 “恰好”、 “正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点。 (2)若题目中有“取值范围”、 “多长时间” 、 “多大距离”等词语，表明题述的过程存在 “起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。 (3)若题目中
2、有“最大” 、 “最小”、 “至多”、 “至少”等字眼，表明题述的过程存在极值， 这个极值点往往是临界点。 (4)若题目要求“最终加速度”、 “稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。 绳、轻杆、接触面形成的临界与极值情况 1. 轻绳形成的临界与极值 由轻绳形成的临界状态通常有两种,一种是轻绳松弛与绷紧之间的临界状态,其力学特征 是绳仍绷直但绳中张力为零;另一种是轻绳断裂之前的临界状态,其力学特征是绳中张力达到 能够承受的最大值. 2. 轻杆形成的临界与极值 与由轻绳形成的临界状态类似,一种杆对物体产生拉力与推力之间的临界状态,力学特征 是该状态下杆对物体的作用力为零;另一种是轻杆能承受的最
3、大拉力或最大压力所形成的临 界状态 . 3. 接触面形成的临界与极值 由接触面形成的临界状态相对较多: 接触面间分离形成的临界,力学特征是接触面间弹力为零 接触面间滑动形成的临界.力学特征是接触面间静摩擦力达到最大值 接触面间翻转、滚动形成的状态， 力学特征是接触面间弹力的等效作用点与瞬时转轴 重合或说是接触面间弹力的作用线通过瞬时转轴 处理临界问题的三种方法 极限法把物理问题 (或过程 )推向极端， 从而使临界现象(或状态 )暴露出来， 以达 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 到正确解决问题的目的 假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可 能出现临界条件
4、，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 数学法将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件 解决临界问题的基本思路 (1) 认真审题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)； (2) 寻找过程中变化的物理量； (3) 探索物理量的变化规律； (4) 确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。 挖掘临界条件是解题的关键。如例 5 中第 (2)的求解关键是： 假设球刚好不受箱子的作用 力，求出此时加速度a。 【典例精讲】 【典例1】如图所示，在水平向右运动的小车上，有一倾角为的光滑斜面，质量为m 的小球被平行于斜面的细绳系住并静止在斜面上，当小车加速度发生变化时
5、，为使球相对于 车仍保持静止，小车加速度的允许范围为多大？ 【答案】 【解析】如图,对小车受力分析有: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 名师点睛 解决临界问题， 关键在于找到物体处于临界状态时的受力情况和运动情况，看临界状态 时哪个力会为零，物体的加速度方向如何，然后应用牛顿第二定律求解. 【典例 2】如图，在光滑水平面上有一质量为m1的足够长的木板，其上叠放一质量为 m2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现给木块施加一随时 间 t 增大的水平力F=kt （k 是常数），木板和木块加速度的大小分别为a1和 a2，下列反映a1 和 a2变化的图线中正确的是 点？
6、 【答案】 A 【解析】当F 比较小时，两个物体相对静止，加速度相同，根据牛顿第二定律得： a=，at； 当 F 比较大时， m2相对于 m1运动，根据牛顿第二定律得： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对 m1：a1=，、m1、m2都一定，则a1一定 对 m2：a2=t g，a2是 t 的线性函数， t 增大， a2增大 由于，则两木板相对滑动后a2图象大于两者相对静止时图象的斜率故A 正 确 【典例 3】一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m 的物 体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度如图所示现让木板由静止开始以加 速度 a(a g)匀加速向下移动
7、求经过多长时间木板开始与物体分离 【答案】 本题关键分析物体刚分离时临界条件：弹力为零 牛顿第二定律研究某一状态时物体的 合力与加速度的关系，加速度是联系合力和运动的桥梁. 【总结提升】 ： 当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的 状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件、用变化的观点正确分析物 体的受力情况、 运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键。临 界或极值条件的标志：一般题目中会出现刚好、正好、 恰好、 取值范围、 最大、 最小、 至多、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 至少、出现这些词语表示存在临
8、界情况 【专练提升】 1. 如图所示，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为的固定斜面，斜面上放一质量为m 的光滑球。 静止时， 箱子顶部与球接触但无压力。箱子由静止开始向右做匀加速运动，然后 改做加速度大小为a的匀减速运动直至静止，经过的总路程为s，运动过程中的最大速度为 v。 (1)求箱子加速阶段的加速度大小a； (2)若agtan ，求减速阶段球受到箱子左壁和顶部的作用力。 【答案】 (1)2asv2 av2 (2)0 m(tan a g) 【解析】 (1)由匀变速直线运动的公式有v 22ax 1，v 22ax 2，且x1x2s 解得：a 2as v2 av2 2. 如图所示，一质量m=0.4
9、kg 的小物块，以V0=2m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角 的拉力 F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s 的时间物块由A 点运动到B 点，A、B 之间的距离L=10m 。已知斜面倾角 =30 o，物块与斜面之间的动摩擦因数 。重力加 速度 g 取 10 m/s 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 （1）求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小。 （2）拉力 F 与斜面的夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？ 【答案】（1） 3m/s 2 8m/s (2) 平行斜面方向: 垂直斜面方向: 其中 : 联立计算得出: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
10、故当时,拉力 F 有最小值 ,为; 3. 如图，质量的物体静止于水平地面的A 处， A、B 间距L=20m 。用大小为 30N， 沿水平方向的外力拉此物体，经拉至 B 处。(已知，。 取) (1)求物体与地面间的动摩擦因数； (2)用大小为30N，与水平方向成37的力斜向上拉此物体，使物体从A 处由静止开始 运动并能到达B 处，求该力作用的最短时间t。 【答案】 0.5 1.03s 【解析】 (1)物体做匀加速运动 由可得 由牛顿第二定律有 故 设 F 作用的最短时间为t，小车先以大小为a 的加速度匀加速t 秒，撤去外力后，以大 小为 a的加速度匀减速t秒到达 B 处，速度恰为0，由牛顿定律
11、积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由牛顿定律 4. 如图所示，将质量m1.24 kg 的圆环套在固定的水平直杆上，环的直径略大于杆的 截面直径，环与杆的动摩擦因数为0.8。对环施加一位于竖直平面内斜向上与杆夹角 53的恒定拉力F，使圆环从静止开始做匀加速直线运动，第1 s 内前进了2 m。(取g 10 m/s 2，sin 53 0.8，cos 53 0.6)求： (1) 圆环加速度a的大小； (2) 拉力F的大小。 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【答案】 (1)4 m/s 2 (2)12 N 或 124 N 计算得出 : 5 如图所示 ,小车内有一光滑的斜面,当小车在水平轨
12、道上向左做匀变速直线运动时,质量 为 m 小物块恰好能与斜面保持静止,斜面的倾角为,重力加速度为g,则下列说法正确的 ( ) A 小车的加速度 B 小车的加速度 C 斜面对物块的支持力 D 斜面对物块的支持力 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【答案】 AD 6、如图所示，小车内有一质量为的物块，一轻弹簧与小车和物块相连，处于压缩状 态且在弹性限度内。弹簧的劲度系数为，形变量为，物块和车之间动摩擦因数为。设最 大静摩擦力等于滑动摩擦力、运动过程中， 物块和小车始终保持相对静止。下列说法正确的 是（） 。 A: 若小于，则车的加速度方向一定向左 B: 若小于，则车的加速度的最小值为，且车
13、只能向左加速运动 C: 若大于，则车的加速度方向可以向左也可以向右 D: 若大 于， 则 加 速 度 的 最 大 值 为， 加 速 度 的 最 小 值 为 【答案】 AC 【解析】 : A 项，若小于，对物块受力分析可知，无论物块所受的摩擦力向左、 向右或是为零， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 7 倾角的光滑斜面上并排放着质量分别是和的 A、B 两 物块 ,劲度系数的轻弹簧一端与物块B 相连 ,另一端与固定挡板相连,整个系 统处于静止状态,现对 A 施加一沿斜面向上的力F,使物块 A 沿斜面向上作匀加速运动,已知力 F 在前内为变力 ,后为恒力 ,g取,求 F 的最大值和最小值. 【答案】 F 的最大值为,最小值为 【解析】设刚开始时弹簧压缩量为,则 因为在前时间内 ,F为变力 ,以后 ,F为恒力 ,所以在时,B 对 A 的作用力为 0, 由牛顿第二定律知: