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1、第1页（共 22页） 云南省高考数学一模试卷（理科） 一、选择题： 本大题共 12 个小题，每小题 5 分， 共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1 （ 5 分） （2020?云南一模）已知i 为虚数单位，复数 z1=1+i， z2=1i， 则=（） ABC i Di 2 （ 5 分） （2020?云南一模）已知平面向量， 如果， 那 么=（） ABC3 D 3 （ 5 分） （2020?云南一模）函数y=2sinxcosx2sin 2x 的最小值为（ ） A 4 BCD 2 4 （ 5 分） （2020?云南一模）（+） 10 的展开式中x 2 的系数等于（
2、） A45 B20 C 30 D 90 5 （ 5 分） （2020?云南一模）若运行如图所示程序框图，则输出结果S 的值为（） A94 B86 C73 D56 6 （5 分） （2020?云南一模）如图是底面半径为1， 高为 2 的圆柱被削掉一部分后剩余的几 何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图） ， 则被削掉的那部分的体积 为（） 第2页（共 22页） ABC2 D2 7 （ 5 分） （2020?云南一模）为得到y=cos（ 2x）的图象，只需要将y=sin2x 的图象 （） A向右平移个单位B向右平移个单位 C向左平移个单位D向左平移个单位 8 （ 5 分） （2020
3、?云南一模）在数列 an中，a1=， a2=， anan+2=1， 则 a2020+a2017= （） ABCD5 9 （5 分） （ 2020?云南一模） “ a+b=2” 是“ 直线 x+y=0 与圆（xa） 2+ （yb）2=2 相切 ” 的 （ ） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 10 （5 分） （2020?云南一模）已知变量x、y 满足条件， 则 z=2x+y 的最小 值为（） A 2 B3 C7 D12 11 （5 分） （2020?云南一模）在长为3m 的线段 AB 上任取一点P， 则点 P 与线段两端点 A、B 的距离都大于1m 的概率
4、是（） ABCD 第3页（共 22页） 12 （5 分） （2020?云南一模）已知双曲线M 的焦点 F1， F2在 x 轴上，直线是 双曲线 M 的一条渐近线，点 P 在双曲线M 上， 且， 如果抛物线y2=16x 的 准线经过双曲线M 的一个焦点，那么=（） A21 B14 C7 D0 二、填空题（每题5 分，满分 20 分， 将答案填在答题纸上） 13 （5 分） （2020?云南一模）已知函数f（x）的定义域为实数集R， ? xR， f（x90） =则 f（10） f（ 100）的值为 14 （5 分） （2020?云南一模）已知三棱锥PABC 的顶点 P、A、B、C 在球 O 的表面
5、上， ABC 是边长为的等边三角形，如果球 O 的表面积为36 ， 那么 P 到平面 ABC 距离 的最大值为 15 （5 分） （2020?云南一模） ABC 中，内角 A、 B、C 对的边分别为a、b、c， 如果 ABC 的面积等于8， a=5， tanB=， 那么= 16 （5 分） （2020?云南一模）已知实数a、b 常数，若函数 y=+be2x+1的图象在 切点（ 0，）处的切线方程为3x+4y2=0， y=+be2x 1 与 y=k（x1）3的图象 有三个公共点，则实数 k 的取值范围是 三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17
6、 （12 分） （2020?云南一模） 设数列 an 的前 n 项和为 Sn， 对任意正整数n， 3an2Sn=2 （I）求数列 an的通项公式； （ ）求证： Sn+2Sn 18 （12 分） （2020?云南一模）某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知 识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的 3 名同学有2 名女生；高中学部选出的5 名同学有3 名女生，竞赛组委会将从这8 名同学 中随机选出4 人参加比赛 （ ）设“ 选出的 4 人中恰有2 名女生，而且这 2 名女生来自同一个学部” 为事件 A， 求事 件 A 的概率 P（A） ； （
7、）设 X 为选出的4 人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望 19 （12 分） （2020?云南一模）如图，在三棱锥ABCD 中， CDBD ， AB=AD ， E 为 BC 的中点 （I）求证： AEBD ； （ ）设平面 ABD 平面 BCD ， AD=CD=2 ， BC=4 ， 求二面角BAC D 的正弦值 第4页（共 22页） 20（12 分）（2020?云南一模）已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O，离心率等于， 以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4， 直线 l： y=kx+m 与 y 轴交于点 P， 与椭圆 E 交于 A、 B 两个相异点，且= （I
8、）求椭圆E 的方程； （ ）是否存在m， 使+=4？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理 由 21 （12 分） （2020?云南一模）已知f（x）=2x+3 （I）求证：当x=0 时，f（x）取得极小值； （ ） 是否存在满足nm0 的实数 m， n， 当 x m， n 时， f （x）的值域为 m， n ？ 若存在，求 m， n 的值；若不存在，请说明理由 请考生在22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修 4-1： 几何证明选讲 22 （10 分） （2020?云南一模）如图，BC 是 O 的直径，EC 与 O 相切于 C， AB 是 O 的弦
9、，D 是的中点，BD 的延长线与CE 交于 E （ ）求证： BC?CD=BD ?CE； （ ）若， 求 AB 选修 4-4：坐标系与参数方程 第5页（共 22页） 23 （2020?云南一模） 在直角坐标系xOy 中， 直线 l 的参数方程为（t 为参数）在 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 = （I）直接写出直线l、曲线 C 的直角坐标方程； （II ）设曲线C 上的点到直线l 的距离为d， 求 d 的取值范围 选修 4-5：不等式选讲 24 （2020?云南一模）已知f（x） =| x2|+| x+1|+ 2| x+2| （ ）求证： f（x
10、） 5； （ ）若对任意实数都成立，求实数 a的取值范围 第6页（共 22页） 云南省高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题： 本大题共 12 个小题，每小题 5 分， 共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1 （ 5 分） （2020?云南一模）已知i 为虚数单位，复数 z1=1+i， z2=1i， 则=（） ABC i Di 【解答】 解：由 z1=1+i， z2=1i， 得=， 故选： D 2 （ 5 分） （2020?云南一模）已知平面向量， 如果， 那 么=（） ABC3 D 【解答】 解：； 3?（ 1） 6x=0； ； ； 故选
11、B 3 （ 5 分） （2020?云南一模）函数y=2sinxcosx2sin 2x 的最小值为（ ） A 4 BCD 2 【解答】 解： y=2sinxcosx 2sin2x=sin2x （ 1cos2x）=sin2x +cos2x 1 =， 函数 y=2sinxcosx 2sin 2 x 的最小值为 故选： C 第7页（共 22页） 4 （ 5 分） （2020?云南一模）（+） 10 的展开式中x 2 的系数等于（） A45 B20 C 30 D 90 【解答】 解： （+）10的展开式的通项公式为Tr+1= ?（ 1） 10r? ， 令=2， 求得 r=2， 可得展开式中x2的系数为=
12、45， 故选： A 5 （ 5 分） （2020?云南一模）若运行如图所示程序框图，则输出结果S 的值为（） A94 B86 C73 D56 【解答】 解：模拟执行程序，可得 i=1， S=1 i=2， S=4 不满足条件i5， i=3， S=10， 不满足条件i5， i=4， S=22， 不满足条件i5， i=5， S=46， 不满足条件i5， i=6， S=94， 满足条件i 5， 退出循环，输出 S 的值为 94 故选： A 6 （5 分） （2020?云南一模）如图是底面半径为1， 高为 2 的圆柱被削掉一部分后剩余的几 何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图） ， 则被
13、削掉的那部分的体积 为（） 第8页（共 22页） ABC2 D2 【解答】 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面半径为1， 高为 2 的半圆锥体， 与底面为等腰三角形高为2 的三棱锥的组合体， 其体积为? r2h+ Sh= 122+ 212=； 又圆柱的体积为 r2h= 122=2 ， 所以被削掉的那部分的体积为2 = 故选： B 7 （ 5 分） （2020?云南一模）为得到y=cos（ 2x）的图象，只需要将y=sin2x 的图象 （） A向右平移个单位B向右平移个单位 C向左平移个单位D向左平移个单位 【解答】 解： y=cos（2x）=sin（2x+）=sin（2x+）=sin
14、2（x+） ， 将 y=sin2x 的图象向左平移个单位，可得 y=cos（2x）的图象， 故选： D 8 （ 5 分） （2020?云南一模）在数列 an中，a1=， a2=， anan+2=1， 则 a2020+a2017= （） ABCD5 第9页（共 22页） 【解答】 解： a1= ， a2=， anan+2=1， a3=2， a5= ， ， 可得： a4n3=， a4n1=2 同理可得： a4n2= ， a4n=3 a2020+a2017=3+ = 故选： C 9 （5 分） （ 2020?云南一模） “ a+b=2” 是“ 直线 x+y=0 与圆（xa） 2+ （yb）2=2 相
15、切 ” 的 （ ） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 【解答】 解：若直线x+y=0 与圆（ xa）2+（yb） 2=2 相切 则圆心（ a， b）到直线x+y=0 的距离等于半径 即=， 即| a+b| =2 即 a+b=2 故“ a+b=2” 是“ 直线 x+y=0 与圆（ xa） 2+（yb）2=2 相切 ” 的充分不必要条件 故选 A 10 （5 分） （2020?云南一模）已知变量x、y 满足条件， 则 z=2x+y 的最小 值为（） A 2 B3 C7 D12 【解答】 解：如图即为满足不等式组的可行域， 将交点分别求得为（1， 1） ， （5
16、， 2） ， （1，） 当 x=1， y=1 时，2x+y=3 当 x=1， y=时，2x+y= 当 x=5， y=2 时，2x+y=12 当 x=1， y=1 时，2x+y 有最小值3 故选： B 第10页（共 22页） 11 （5 分） （2020?云南一模）在长为3m 的线段 AB 上任取一点P， 则点 P 与线段两端点 A、B 的距离都大于1m 的概率是（） ABCD 【解答】 解：设 “ 长为 3m 的线段 AB” 对应区间 0， 3 “ 与线段两端点A、B 的距离都大于1m” 为事件A， 则满足 A 的区间为 1， 2 根据几何概率的计算公式可得， 故选： B 12 （5 分） （
17、2020?云南一模）已知双曲线M 的焦点 F1， F2在 x 轴上，直线是 双曲线 M 的一条渐近线，点 P 在双曲线M 上， 且， 如果抛物线y2=16x 的 准线经过双曲线M 的一个焦点，那么=（） A21 B14 C7 D0 【解答】 解：抛物线y2=16x 的准线为 x=4， 由题意可得双曲线M 的一个焦点为（4， 0） ， 设双曲线的方程为=1（ a， b 0） ， 可得 c=4， 即 a2+b2=16， 直线是双曲线M 的一条渐近线， 可得=， 解得 a=3， b=， 可设 P 为右支上一点，由双曲线的定义可得 | PF1| | PF2| =2a=6， 由勾股定理可得，| PF1|
18、 2+| PF2|2=| F1F2|2=4c2=64， 2， 可得 | PF1| ?| PF2| =14 第11页（共 22页） 故选： B 二、填空题（每题5 分，满分 20 分， 将答案填在答题纸上） 13 （5 分） （2020?云南一模）已知函数f（x）的定义域为实数集R， ? xR， f（x90） =则 f（10） f（ 100）的值为 8 【解答】 解： f（10）=f（10090）=lg100=2 ， f（ 100）=f（ 1090）=（ 10）=10 f（10） f（ 100）=210=8 故答案为： 8 14 （5 分） （2020?云南一模）已知三棱锥PABC 的顶点 P、
19、A、B、C 在球 O 的表面上， ABC 是边长为的等边三角形，如果球 O 的表面积为36 ， 那么 P 到平面 ABC 距离 的最大值为 【解答】 解： ABC 是边长为的等边三角形，外接圆的半径为1， 球 O 的表面积为36 ， 球的半径为3， 球心 O 到平面 ABC 的距离为=2， P 到平面 ABC 距离的最大值为 故答案为： 15 （5 分） （2020?云南一模） ABC 中，内角 A、 B、C 对的边分别为a、b、c， 如果 ABC 的面积等于8， a=5， tanB=， 那么= 【解答】 解： ABC 中，tanB=， sinB=， cosB= 又 S=2c=8， c=4，
20、b= = 故答案为： 16 （5 分） （2020?云南一模）已知实数a、b 常数，若函数 y=+be2x+1的图象在 切点（ 0，）处的切线方程为3x+4y2=0， y=+be2x 1 与 y=k（x1）3的图象 有三个公共点，则实数 k 的取值范围是（ ， ）（0， +） 【解答】 解：当 x1 时，函数 y=+be2x+1= +be2x+1， 第12页（共 22页） 则函数的导数f （x）=+2be2x+1， 若函数y=y=+be 2x+1 的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y2=0， f（0）=， 且 f（0）=， 即a+be=， a+2be=， 得 a=1， b=0， 即 y
21、=+be2x+1= ， 由=k（x1） 3 得当 x=1 时，方程成立， 当 x1 时，若 x1 得=k（x1）3得=k（x1） 2， 若 x1 得=k（x1）3得=k（x1） 2， 若 k=0， 则两个方程无解， 若 k0 时，作出对应函数的图象如右图： 此时满足当x1 时，有一个交点， 当 x1 时，有一个交点， 此时满足两个函数共有3 个交点 若 k0 时，作出对应函数的图象如图： 此时满足当x1 时，没有交点， 当 x1 时，则需要有2 个交点， 由=k（x1）2， 得 k（x+2） （x 1）2+1=0， x1， 设 g（x）=k（ x+2） （x1） 2+1， 则 g （x）=3k
22、（x1） （x+1） ， x1， k0， 由 g （x）=0， x=1， 当 x 1时，g（x） 0， 当 1x1 时，g （x） 0， 即当 x=1 函数取得极小值g（ 1）=4k+1， 要使当 x1 时，则 g（ x）要有 2 个交点， 则极小值g（ 1）=4k+10， 得 k， 此时满足两个函数共有3 个交点 综上 k 的取值范围是k 0 或 k 0， 故答案为：（ ， ）（0， +） 第13页（共 22页） 三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （12 分） （2020?云南一模） 设数列 an 的前 n 项和为 Sn， 对任意正
23、整数n， 3an2Sn=2 （I）求数列 an的通项公式； （ ）求证： Sn+2Sn 【解答】（I）解：对任意正整数n， 3an2Sn=2， 3a12a1=2， 解得 a1=2 当 n2 时，3an12Sn1=2， 可得 3an3an1 2an=0， 化为 an=3an1， 数列 an 是等比数列， 公比为 3， 首项为 2 an=23n 1 （2）证明：由（I）可得： Sn= =3n1 Sn+2Sn =（3n+21） （3n 1）（ 3n+11） 2=43n 0， Sn+2Sn 第14页（共 22页） 18 （12 分） （2020?云南一模）某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生
24、环保知 识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的 3 名同学有2 名女生；高中学部选出的5 名同学有3 名女生，竞赛组委会将从这8 名同学 中随机选出4 人参加比赛 （ ）设“ 选出的 4 人中恰有2 名女生，而且这 2 名女生来自同一个学部” 为事件 A， 求事 件 A 的概率 P（A） ； （ ）设 X 为选出的4 人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望 【解答】 解： （）中学选拔出8 名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3 名同学有2 名女生； 高中学部选出的5 名同学有 3 名女生，竞赛组委会将从这8 名同学中随机选出4 人参加比 赛，
25、设“ 选出的 4 人中恰有 2 名女生，而且这 2 名女生来自同一个学部” 为事件 A， 由已知，得， 所以事件 A 的概率为 （5 分） （ ）随机变量X 的所有可能取值为1， 2， 3， 4 由已知得 （8 分） P（X=1）=， P（X=2）=， P（X=3）=， P（X=4）=， 所以随机变量X 的分布列为： X 1 2 3 4 P （10 分） 随机变量 X 的数学期望 （12 分） 19 （12 分） （2020?云南一模）如图，在三棱锥ABCD 中， CDBD ， AB=AD ， E 为 BC 的中点 第15页（共 22页） （I）求证： AEBD ； （ ）设平面 ABD 平面
26、 BCD ， AD=CD=2 ， BC=4 ， 求二面角BAC D 的正弦值 【解答】 证明： （I） AB=AD ， E 为 BC 的中点， 取 BD 的中点 0， 连接 AO ， OE， 则 OA BD， OE 是 BCD 的中位线， OECD， CDBD ， OEBD ， BD OA=O ， AEBD ； （ ）设平面 ABD 平面 BCD ， OA BD ， OA面 BCD ， 建立以 O 为坐标原点，OE， OD， OA 分别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： AD=CD=2 ， BC=4 ， OA=OB=OD=， OE=1， 则 B（ 0， ， 0） ， D（0， 0）
27、， E（1， 0， 0） ， A（0， 0，） ， C（ 2， ， 0） ， 则=（0，） ，=（ 2， ） ，=（ 2， 0， 0） ， 设平面 ABC 的一个法向量为=（x， y， z） ， 则， 令 y=1， 则 z=1， x=， 即=（， 1， 1） ， 设平面 ACD 的一个法向量为=（x， y， z） ， 则， 令 y=1， 则 z=1， x=0， 则=（0， 1， 1） ， cos，=0， 第16页（共 22页） 即，=90 则二面角 BAC D 的正弦值sin90 =1 20（12 分）（2020?云南一模）已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O，离心率等于， 以椭圆 E
28、的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4， 直线 l： y=kx+m 与 y 轴交于点 P， 与椭圆 E 交于 A、 B 两个相异点，且= （I）求椭圆E 的方程； （ ）是否存在m， 使+=4？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理 由 【解答】 解： （I）设椭圆的方程为+=1（a b0） ， 由题意可得e=， 4=4， a2b2=c 2， 解得 a=2， b=1， c=， 即有椭圆的方程为+x2=1； （ ）=， 可得= （） ， +=（1+ ）， 由+=4， 可得 =3， 由题意可得P（0， m） ， 且 2m 2， 设 A（x1， y1） ， B（x2， y2） ， 由=3，
29、可得 x1=3x2， 第17页（共 22页） 由直线 y=kx+m 代入椭圆方程y 2+4x2=4， 可得（ 4+k2）x2+2kmx+m24=0， 即有 x1+x2= ， x1x2=， 由可得 m2= =1+， 由 1+k21， 可得 03， 即有 1 m24， 由于 m（ 2， 2） ， 当 m=0 时，O， P重合， =1 显然成立 可得 m 的取值范围是（2， 1） （1， 2）0 21 （12 分） （2020?云南一模）已知f（x）=2x+3 （I）求证：当x=0 时，f（x）取得极小值； （ ） 是否存在满足nm0 的实数 m， n， 当 x m， n 时， f （x）的值域为
30、m， n ？ 若存在，求 m， n 的值；若不存在，请说明理由 【解答】 解： （I）由 2x+10 得 x， 函数的导数f（x）=2=2 = =， 设 g（x）=8x 2+8x+2ln（2x+1） ， 则 g （x）=16x +8+=8（2x+1）+， 2x+10， g （x） 0， 即 g（x）在 x上为增函数， g（0）=0， 当 x 0时，g（x） g（0）=0， 此时 f （x） 0， 函数 f（x）递增， 当 x0 时，g（x） g（ 0）=0， 此时 f（ x） 0， 函数 f（x）递减， 故当 x=0 时，f（x）取得极小值； （ ）由（ ）知当 x 0 时， 函数 f（x）递
31、增， 若存在满足nm0 的实数 m， n， 当 x m， n 时，f（x）的值域为 m， n ， 第18页（共 22页） 则满足， 即 m， n 是方程 f（ x）=x 的两个不同的根， 即 2x+3=x， 则 x+3= 即（ x+3） （2x+1） =ln（2x+1） ， 设 y=（x+3） （ 2x+1） ， y=ln （2x+1） ， 作出两个函数的图象， 由图象知当x时，两个函数没有交点， 即方程 f（ x）=x 不存在两个不同的根， 即不存在满足nm0 的实数 m， n， 当 xm， n 时，f（x）的值域为 m， n 请考生在22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做
32、的第一题记分. 选修 4-1： 几何证明选讲 22 （10 分） （2020?云南一模）如图，BC 是 O 的直径，EC 与 O 相切于 C， AB 是 O 的弦，D 是的中点，BD 的延长线与CE 交于 E （ ）求证： BC?CD=BD ?CE； （ ）若， 求 AB 【解答】 证明： （） BC 是 O 的直径，EC 与 O 相切于 C， D 是 AC 弧的中点， CBD= ECD， BDC= CDE=BCE=90 ， 第19页（共 22页） BCD CED （ 3 分） ， BC?CD=BD ?CE （5 分） 解： （）设 BA 的延长线与CD 的延长线交于F， D 是 AC 弧的中
33、点， ABD= CBD， BC 是 O 的直径， BDC= BDF=90 ， BDC BDF CD=FD ， BC=BF ， 在 RtCDE 中， BDC= BCE=90 ， CD 2=BD ?DE， ， ， BF=4 （8 分） 由割线定理得（FBAB）?FB=FD ?FC， 即， 解得 （10 分） 选修 4-5：不等式选讲 24 （2020?云南一模）已知f（x） =| x2|+| x+1|+ 2| x+2| （ ）求证： f（x） 5； （ ）若对任意实数都成立，求实数 a的取值范围 第20页（共 22页） 【解答】（ ）证明：， f（x）的最小值为5， f（x） 5 （5 分） （
34、）解：由（ ）知： 152f（x）的最大值等于5 （7 分） ， “ =” 成立， 即， 当时，取得最小值5 当时， 又对任意实数x，都成立， a 的取值范围为 （10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 23 （2020?云南一模） 在直角坐标系xOy 中， 直线 l 的参数方程为（t 为参数）在 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 = （I）直接写出直线l、曲线 C 的直角坐标方程； （II ）设曲线C 上的点到直线l 的距离为d， 求 d 的取值范围 【解答】 解： （I）（t 为参数）， xy=3， 即 x y+3=0直线l 的直角 坐标方程是xy+3=0 =， 2= ， 即 2+22cos2 =3 曲线 C 的直角坐标方程为3x2+y2=3， 即 （II ）曲线 C 的参数方程为（为参数）， 第21页（共 22页） 则曲线 C 上的点到直线l 的距离 d= 当 cos（）=1 时，d 取得最大值， 当 cos（）=1 时，d 取得最小值 d 的取值是 ， 第22页（共 22页）