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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第四节函数 yAsin( x )的图象及三角函数模型的简单应用 1yAsin ( x )的有关概念 yAsin( x )(A0， 0，x0)，表示一个振动量 时 振幅周期频率相位初相 A T 2 f 1 T 2 x 2.用五点法画yAsin( x )一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示 x 2 3 2 2 x0 2 3 2 2 yAsin( x) 0 A 0 A0 3.由ysin x的图象变换得到yAsin( x)(其中A0，0)的图象 先平移后伸缩先伸缩后平移 ? 1(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)
2、利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度 一致 ( ) (2)将y3sin 2x的图象左移 4个单位后所得图象的解析式是 y3sin 2x 4 .( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)函数f(x)Asin( x)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期( ) (4)函数yAcos( x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距 离为 T 2.( ) 答案 (1)(2)(3)(4) 2为了得到函数ysinx 3 的图象，只需把函数ysin x的图象上所有的点( ) A向左平行移动 3个单位长度 B向右平行移动 3个单位长度 C向上
3、平行移动 3个单位长度 D向下平行移动 3个单位长度 A把函数ysin x的图象上所有的点向左平行移动 3个单位长度就得到函数 y sinx 3 的图象 3若函数y sin( x)(0)的部分图象3-4-1 如图，则 ( ) 图 3-4-1 A 5 B4 C3 D2 B由图象可知， T 2 x0 4 x0 4， 所以T 2 2 ，所以4. 4将函数y sin(2x)的图象沿x轴向左平移 8 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A. 3 4 B. 4 C0 D 4 B把函数y sin(2x)沿x轴向左平移 8个单位后得到函数 y
4、sin 2x 2 8 sin 2x 4 为偶函数，则的一个可能取值是 4. 5(教材改编 )电流I(单位： A)随时间t(单位： s)变化的函数关系式是I5sin 100t 3 ， t0， )，则电流I变化的初相、周期分别是_. 【导学号： 51062109】 3， 1 50 由初相和周期的定义，得电流I变化的初相是 3 ，周期T 2 100 1 50 . 函数yAsin( x)的图象及变换 已知函数f(x)3sin 1 2x 4 ，xR. (1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数ysin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ 解(1)列表取值： x 2 3 2
5、5 2 7 2 9 2 1 2x 4 0 2 3 2 2 f(x)030 30 描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图.8 分 (2)先把ysin x的图象向右平移 4 个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 再把所有点的纵坐标扩大为原来的3 倍，得到f(x)的图象 .15分 规律方法 1.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对 于后者可利用 xx 确定平移单位 2用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z x，由z取 0， 2， 3 2， 2 来求出相应的x，通过列表，描点得出图象如果在限定的区间内作图象，
6、还应注意端点的 确定 变式训练1 (1)(2016 全国卷 )将函数y2sin 2x 6 的图象向右平移 1 4个周期后，所 得图象对应的函数为( ) Ay2sin 2x 4 By2sin 2x 3 Cy2sin 2x 4 Dy2sin 2x 3 (2)函数ysin x3cos x的图象可由函数y 2sin x的图象至少向右平移_个单 位长度得到 . 【导学号： 51062110 】 (1)D(2) 3 (1)函数y2sin 2x 6 的周期为，将函数y 2sin 2x 6 的图象向右平移 1 4 个周期即 4个单位长度，所得图象对应的函数为 y2sin 2 x 4 6 2sin 2x 3 ，
7、故选 D. (2)y sin x3cos x2sinx 3 ， 函数ysin x3cos x的图象可由函数y2sin x 的图象向右平移 3个单位长度得到 求函数yAsin( x)的解析式 (1)函数yAsin( x)的部分图象如图3-4-2 所示，则 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 图 3-4-2 Ay2sin 2x 6 By2sin 2x 3 Cy2sinx 6 Dy2sinx 3 (2)已知函数yAsin( x)b(A0，0)的最大值为4， 最小值为0，最小正周期为 2， 直线x 3 是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( ) Ay4sin 4x 6 B
8、y2sin 2x 3 2 Cy2sin 4x 3 2 Dy2sin 4x 6 2 (1)A(2)D(1)由图象知 T 2 3 6 2，故 T，因此 2 2.又图象的一个最高 点坐标为 3，2 ，所以 A2，且 2 3 2k 2(kZ)，故 2k 6(kZ)，结合选项可 知y2sin 2x 6 .故选 A. (2)由函数yAsin( x)b的最大值为4，最小值为0，可知b2，A2.由函数的最 小正周期为 2，可知 2 2，得 4.由直线x 3是其图象的一条对称轴，可知 4 3 k 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2， kZ，从而k 5 6 ，kZ，故满足题意的是y2sin 4x 6 2
9、. 规律方法 确定yAsin( x)b(A0，0)的步骤和方法 (1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A Mm 2 ，b Mm 2 ； (2)求：确定函数的周期T，则可得 2 T ； (3)求：常用的方法有： 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知 )或代入图象与直线yb的 交点求解 (此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上) 五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口“第一点” (即 图象上升时与x轴的交点 )时 x0； “第二点” (即图象的 “峰点” )时 x 2 ； “第三点” (即图象下降时与x轴的交点 )时 x；“第四点” (即图象的“谷点”
10、)时 x 3 2 ； “第 五点”时 x2 . 变 式 训 练2(2017 浙 江 名 校 ( 镇 海 中 学 ) 交 流 卷 一 ) 函 数f(x) Asin(x )A0，0，|0)个单位长度得到点P.若P 位于函数ysin 2x的图象上，则 ( ) At 1 2， s的最小值为 6 Bt 3 2 ，s的最小值为 6 Ct 1 2， s的最小值为 3 Dt 3 2 ，s的最小值为 3 A因为点P 4， t在函数y sin 2x 3 的图象上，所以tsin 2 4 3 sin 6 1 2.所以 P 4， 1 2 .将点P向左平移s(s0)个单位长度得P 4s ， 1 2 . 因为P在函数ysi
11、n 2x的图象上，所以sin 2 4 s 1 2，即 cos 2s 1 2，所以 2s2k 3或 2s 2k 5 3，即s k 6或 sk 5 6 (k Z)，所以s的最小值为 6. 2若函数y cos 2x3sin 2xa在 0， 2 上有两个不同的零点，则实数a的取值范围 为_ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2， 1 由题意可知y2sin 2x 6 a，该函数在0， 2 上有两个不同的零点，即 ya，y2sin 2x 6 在 0， 2 上有两个不同的交点 结合函数的图象可知1a 2，所以 2a 1. 3函数f(x)Asin( x)A 0，0，0 2 的部分图象如图3-4-6
12、所示 图 3-4-6 (1)求f(x)的解析式； (2)设g(x) f x 12 2， 求函数g(x)在x 6， 3 上的最大值，并确定此时x的值 解(1)由题图知A 2， T 4 3，则 2 4 3， 2分 3 2. 又f 6 2sin 3 2 6 2sin 4 0， sin 4 0.4 分 0 2， 4 4 4， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 40，即 4， f(x)的解析式为f(x)2sin 3 2x 4 .7分 (2)由(1)可得 f x 12 2sin 3 2 x 12 4 2sin 3 2x 8 ，10 分 g(x)f x 12 24 1 cos3x 4 2 22cos 3x 4 .12 分 x 6， 3 ， 43x 4 5 4 ， 当 3x 4，即 x 4时， g(x)max4.15分