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1、- 1 - 高考数学压轴题（三） 1 （本小题满分13 分） 如图，已知双曲线C： x a y b ab 2 2 2 2 100()，的右准线l1与一 条渐近线l 2 交于点 M， F 是双曲线 C 的右焦点，O 为坐标原点 . （I）求证：OMMF； （II）若|MF1且双曲线C 的离心率e 6 2 ， 求双曲线C 的方程； （III）在（ II）的条件下，直线l3过点 A（0， 1）与双曲线C 右支交 于不同的两点P、Q 且 P 在 A、Q 之间，满足APAQ， 试判断 的 范围，并用代数方法给出证明. 解： （I）右准线l1 2 ：x a c ， 渐近线l2：y b a x M a c
2、ab c F ccab()() 2 222 0，OM a c ab c () 2 ， MFc a c ab c b c ab c ()() 22 ， OM MF a b c a b c OMMF 22 2 22 2 0 3 分 （II）e b a eab 6 2 1 2 2 2 222 ， | () MF b c a b c bba c ba 111 11 4 2 22 2 222 2 22 ， ， 双曲线 C 的方程为： x y 2 2 2 1 7 分 （III）由题意可得01 8 分 证明：设l31：ykx， 点P xyQ xy()() 1122 ， 由 xy ykx 22 22 1 得(
3、)12440 22 kxkx l3与双曲线 C 右支交于不同的两点P、 Q 120 1616 120 4 12 0 4 12 0 2 2 1 0 120 2 22 122 122 2 2 k kk xx k k x x k k k k k () 1 2 2 k 11 分 APAQxyxy，()() 1122 11， 得xx 12 - 2 - () () () 1 4 12 4 12 116 4 12 4 21 2 2 21 222 2 2 22 2 2 22 x k k x k k k k kk ， 1 2 2 0211 1 4 2 2 kk， () ()14210 22 的取值范围是（0，
4、1） 13 分 2 （本小题满分13 分） 已知函数f x x n xnf nnxnnN ( ) () ()()(*) 00 111， ， 数列an满足af nnN n ( )(*) （I）求数列 an 的通项公式； （ II ） 设x 轴 、 直 线xa与 函 数 yf x( )的 图 象 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为S aa( ) ()0 ，求 S nS nnN( )()(*)1； （ III ）在集合MN NkkZ|2 ，且10001500k中，是否存在正整数N ，使得不等式 aS nS n n 10051( )()对一切nN恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个
5、？并求出满足条件的最 小的正整数N；若不存在，请说明理由 . （IV）请构造一个与 an 有关的数列b n ， 使得lim() n n bbb 12 存在，并求出这个极限值. 解： （I）nN * f nn nnf nnf n( )()()()111 f nf nn( )()1 1 分 ff ff ff ( )( ) ( )( ) ( )( ) 101 212 323 f nf nn( )()1 将这 n 个式子相加，得 f nfn n n ( )( ) () 0123 1 2 f f n n n ( ) ( ) () 00 1 2 a n n nN n () (*) 1 2 3 分 （ II
6、 ）S nS n( )() 1为一直角梯形（n1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为 f nf n()( )1 ， 高为 1 S nS n f nf naa nn ( )() ()( ) 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 22 2 ()() n nn nn 6 分 （III）设满足条件的正整数N 存在，则 n nnn n ()1 2 1005 22 10052010 2 又M200020022008201020122998， N201020122998，均满足条件 - 3 - 它们构成首项为2010 ， 公差为 2 的等差数列 . 设共有 m 个满足条件的正整数N， 则2
7、010212998()m， 解得m495 M中满足条件的正整数N 存在，共有 495 个，Nmin2010 9 分 （IV）设b a n n 1 ， 即b n nnn n 2 1 2 11 1() () 则bbb nnn n12 2 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 11 1 2 1 1 1 ()()()()() 显然，其极限存在，并且lim()lim n n n bbb n 12 2 1 1 2 10 分 注：b c a n n （c 为非零常数），bbqq n a n n a n nn ()(| |) 1 2 01 2 1 2 1 ，等都能使lim() n n bbb 12 存在
8、 . 19. （本小题满分14 分） 设双曲线 y a x 2 2 2 3 1的两个焦点分别为FF 12 、， 离心率为2. （I）求此双曲线的渐近线ll 12 、的方程； （II）若 A、B 分别为ll 12 、上的点，且25 12 |ABF F， 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是 什么曲线； （III）过点N ()10，能否作出直线l， 使l与双曲线交于P、Q 两点，且OPOQ 0.若存在，求出直 线l的方程；若不存在，说明理由 . 解： （I）eca24 22 ， caac 22 312， 双曲线方程为y x2 2 3 1， 渐近线方程为yx 3 3 4 分 （II）设
9、A xyB xy()() 1122 ， AB 的中点M xy， 25 5 2 5 2 210 10 3 3 3 3 22 3 3 3 3 3 3 3 10 12 12 12 2 12 2 11221212 12121212 12 2 12 2 | | ()() ()() ()() ABF F ABF Fc xxyy yxyxxxxyyy yyxxyyxx yyxx 又， ， 3 2 1 3 2100 75 3 25 1 22 22 ()()yx xy ，即 则 M 的轨迹是中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为10 3， 短轴长为 10 3 3 的椭圆 .（9 分） （III）假设存在满足条件
10、的直线l 设lyk xlP xyQ xy：， 与双曲线交于，、，()()()1 1122 OPOQ x xy y x xkxx x xkx xxxi 0 0 110 10 1212 12 2 12 12 2 1212 ()() ()( ) - 4 - 由得 则， yk x y x kxk xk xx k k x x k k ii () () ( ) 1 3 1 316330 6 31 33 31 2 2 222 12 2 2 12 2 2 由（ i） （ii）得k 2 30 k 不存在，即不存在满足条件的直线 l. 14 分 3. （本小题满分13 分） 已知数列an的前 n 项和为SnN n
11、( ) * ， 且Smma nn ()1对任意自然数都成立，其中 m 为常数， 且 m1. （I）求证数列an是等比数列； （II）设数列an的公比qf m()， 数列bn满足：babf b nn111 1 3 ，() () * nnN2， 试问当 m 为何值时，lim(lg)lim( n ba n b bb bb b nn 3 122334 bb nn1 )成立？ 解： （I）由已知Smma nn11 11()( ) Smma nn ()1（2） 由( )( )12得：amama nnn11， 即 ()mama nn 1 1 对任意nN * 都成立 mm a a m m a n n n 为常
12、数，且 即为等比数列分 1 1 5 1 （II）当n 1时，amma 11 1() ab Iqf m m m bf b b b nnN nn n n 11 1 1 1 1 1 3 1 1 2 ，从而 由（ ）知 ， () ()() * 1 1 111 1 1 1 312 1 2 9 11 bbbb b b nnb n nN nnnn n n n ，即 为等差数列 ，分()() * a m m n n 1 1 lim(lg)limlglg lim() lim n ba n n n m m m m n b bb bbb n nn nn nn 1 211 3 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1
13、1 1 2 1 12231 由题意知lg m m1 1， m m m 1 10 10 9 ，13 分 - 5 - 4 （本小题满分12 分） 设椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点为F， 上顶点为A， 过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正 半轴于 P，Q两点， 且P分向量 AQ所成的比为 85 （1）求椭圆的离心率； （2）若过FQA,三点的圆恰好与直线 l：033yx 相切，求椭圆方程 解： （1）设点),0 ,(),0,( 0 cFxQ其中),0(, 22 bAbac 由P分AQ所成的比为85， 得) 13 5 , 13 8 ( 0 bxP，2 分 ax a x
14、 2 3 1) 13 5 () 13 8 ( 0 2 2 2 02 ，4 分 而AQFAbxAQbcFA),(),( 0 ， 0AQFA c b xbcx 2 0 2 0 ,0，5 分 由知0232,32 222 aaccacb 2 1 .0232 2 eee6 分 （2）满足条件的圆心为)0 , 2 ( 22 c cb O， )0 ,(, 22 22222 cOc c cca c cb ，8 分 圆半径a c a c b r 22 22 2 10 分 由圆与直线l：033yx相切得，a c 2 |3| ， 又3,2, 1,2bacca椭圆方程为1 34 22 yx 12 分 5 （本小题满分
15、14 分） （ 理 ） 给 定 正 整 数n和 正 数b，对 于 满 足 条 件baa n 2 11 的 所 有 无 穷 等 差 数 列 n a，试 求 1221nnn aaay的最大值，并求出y取最大值时 n a的首项和公差 （ 文 ） 给 定 正 整 数n和 正 数b，对 于 满 足 条 件baa n 2 11 的 所 有 无 穷 等 差 数 列 n a，试 求 1221nnn aaay的最大值，并求出y取最大值时 n a的首项和公差 （理）解：设 n a公差为d， 则 1111 ,aandndaa nn 3 分 dnan ndadaa aaay n nnn nnn )21()1( )()
16、( 1 111 1221 d nn an n 2 ) 1( )1( 1 4 分 ) 2 )(1() 2 )(1( 11 11 aa an nd an n nn )3( 2 1 11 aa n n 7 分 又 2 11 2 11 , nn ababaa - 6 - 4 49 4 49 ) 2 3 (33 2 11 2 111 bb abaaaa nnnn ，当 且 仅 当 2 3 1n a时 ，等 号 成 立11 分 8 )49)(1( )3( 2 1 11 bn aa n y n 13 分 当数列 n a首项 4 9 1 ba， 公差 n b d 4 34 时， 8 )49)(1(bn y，
17、y的最大值为 8 )49)(1(bn 14 分 （文）解：设 na 公差为d， 则 1111,aandndaann 3 分 ) 2 )(1( 2 )1( )1( )21()1( )()( 11 1 111 1221 nd and nn an dnan ndadaa aaay nn n nnn nnn )3( 2 1 ) 2 )(1( 11 11 1 aa naa an n n n ，6 分 又 2 11 2 11 , nn ababaa 4 49 4 49 ) 2 3 (33 2 11 2 111 bb abaaaa nnnn 当且仅当 2 3 1n a时，等号成立11 分 8 )49)(1(
18、 )3( 2 1 11 bn aa n y n 13 分 当数列 n a首项 4 9 1 ba， 公差 n b d 4 34 时， 8 )49)(1(bn y y的最大值为 8 )49)(1(bn 14 分 7 （本小题满分14 分） 已知函数xxxfsin)( （）若;)(,0的值域试求函数xfx （）若); 3 2 ( 3 )()(2 :),0(, 0 x f xff x求证 （） 若) 3 2 ( 3 )()(2 ,),)1( ,(,) 1( , x f xff Zkkkkkx与猜想的大小关系 （不必写出 比较过程） . 解： （）为增函数时当)(,0cos1)(,),0(xfxxfx
19、分的值域为即 求得所以 上连续在区间又 4,0)( )(0),()()0( ,0)( xf xffxff xf （）设) 3 2 ( 3 )()(2 )( x f xff xg ， 3 2 sin 3 sin)(2 )( xxf xg即 ) 3 2 coscos( 3 1 )( x xxg 6 分 - 7 - xxg x x 得由,0)( ),0( 3 2 ),0(,0 .)(,0)(,), 0(为减函数时当xgxgx分为增函数时当8)(,0)(,),(xgxgx 分因而 有对 的最小值为则 上连续在区间 10) 3 2 ( 3 )()(2 0)()(,0 )()( ,0)( x f xff
20、gxgx xgg xg （）在题设条件下，当 k 为偶数时) 3 2 ( 3 )()(2x f xff 当 k 为奇数时) 3 2 ( 3 )()(2x f xff 14 分 6 （本小题满分12 分） 垂直于x 轴的直线交双曲线22 22 yx于 M、N 不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设 直线 A1M 与 A2N 交于点 P（x0， y0） （）证明：;2 2 0 2 0 为定值yx （）过P 作斜率为 0 0 2y x 的直线 l， 原点到直线l 的距离为d， 求 d 的最小值 . 解（）证明：)0 ,2(),0,2(),(),( 211111 AAyxNyxM则设 )
21、2( 2 1 1 1 x x y yMA的方程为直线 直线 A2N 的方程为 )2( 2 1 1 x x y y 4 分 ，得 )2( 2 2 2 1 2 1 2 x x y y 分为定值 的交点与是直线 即 822 ),( 22),2( 2 1 ,22 2 0 2 0 2100 22222 1 2 1 yx NAMAyxP yxxyyx （）02222),( 2 00 2 0 2 00 0 0 0 yyxxyxxx y x yyl整理得结合的方程为 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 22 2 4 2 y yyx d于是 10 分 1 1 2 21122 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 y dyyyx 当1, 1,1 2 00 取最小值时dyy 12 分