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1、第1页 高考 数学复习专题 -直线与圆锥曲线问题的处理方法(2)（基础知识） 高考要求 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现, 主要涉及位置关系的判定, 弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学 思想方法, 要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高, 起到了拉开考生“档次”, 有利于选拔的功能 重难点归纳 1直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题, 实际上是研究它们的方程组成的方程是否有 实数解成实数解的个数问题, 此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 2当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题 ,
2、常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公 式)；涉及弦长的中点问题, 常用“点差法”设而不求, 将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起 来, 相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件, 寻找量与量间的关系灵活转化, 往往就 能事半功倍 典型题例示范讲解 例 1 如图 , 已知某椭圆的焦点是F1( 4, 0)、F2(4, 0), 过点 F2并垂直于x 轴的直 线与椭圆的一个交点为B, 且|F1B|+|F2B|=10, 椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件|F2A|、 |F2B|、 |F2C|成等差数列 (1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦 AC 中点的横坐标； (3)
3、 设 弦AC 的 垂直 平分线的 方程 为y=kx+m, 求 m 的取值范围 命题意图本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识 , 一、二问较简单 , 第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围, 设计 新 颖 , 综 合 性 , 灵活性强 知识依托椭圆的定义、等差数列的定义, 处理直线与圆锥曲线的方法 错解分析第三问在表达出“k= 36 25 y0”时 , 忽略了“ k=0”时的情况 , 理不清题目中变量间的 关系 技巧与方法第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解 , 第三问利用m 表示出弦 AC 的中点 P 的纵坐标 y0,利用 y0的范围求 m 的范围 解(
4、1)由椭圆定义及条件知, 2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= 22 ca=3 故椭圆方程为 925 22 yx =1 (2)由点 B(4,yB)在椭圆上 , 得|F2B|=|yB|= 5 9 因为椭圆右准线方程为x= 4 25 ,离心率为 5 4 , 根据椭 圆定义 , 有|F2A|= 5 4 ( 4 25 x1),|F2C|= 5 4 ( 4 25 x2), 由 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列 , 得 5 4 ( 4 25 x1)+ 5 4 ( 4 25 x2)=2 5 9 ,由此得出x1+x2=8 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则
5、 x0= 2 21 xx =4 (3)解法一由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上 F1F2 B C B A o y x 第2页 得 22 11 22 22 925925 925925 xy xy 得9(x12 x22)+25(y12y22)=0, 即 9)() 2 (25) 2 ( 21 212121 xx yyyyxx =0(x1x2) 将 kxx yy y yy x xx1 , 2 ,4 2 21 21 0 21 0 21 (k0) 代入上式 , 得 9 4+25y0( k 1 )=0 (k0) 即 k= 36 25 y0(当 k=0 时也成立 ) 由点 P(4, y0)在弦 A
6、C 的垂直平分线上 , 得 y0=4k+m, 所以 m=y0 4k=y0 9 25 y0= 9 16 y0 由点 P(4, y0)在线段 BB (B与 B 关于 x 轴对称 )的内部 , 得 5 9 y0 5 9 ,所以 5 16 m 5 16 解法二因为弦 AC 的中点为P(4,y0), 所以直线AC 的方程为 yy0= k 1 (x4)(k0) 将代入椭圆方程 925 22 yx =1,得 (9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4) 225 9k2=0 所以 x1+x2= 259 )4(50 2 0 k k =8,解得 k= 36 25 y0(当 k=0 时也成立 ) (
7、以下同解法一) 例 2 若抛物线 2 1yax上总存在关于直线0xy对称的两点 , 求a的范围 解法一（对称曲线相交法） 曲线 2 1yax关于直线0xy对称的曲线方程为 2 1xay 如果抛物线 2 1yax上总存在关于直线0xy对称的两点 , 则两曲线 2 1yax与 2 1xay必有不在直线0xy上的两个不同的交点(如图所示 ), 从而可由 2 2 1 1 yax xay 22 ()yxa xy 0,xy -x=ay 2-1 y=ax 2-1 x+y=0 -1 A A o y x 第3页 1 yx a 代入 2 1yax得 2 1 10axx a 有两个不同的解, 2 13 ( 1)4
8、(1)0 4 aa a 解法二（对称点法） 设抛物线 2 1yax上存在异于于直线0xy的交点的点 00 (,)A xy, 也 在 抛 物 线 2 1yax且 00 (,)A xy关于直线0xy的对称点 00 (,)Ayx 上 则 2 00 2 00 (1)1 (2)()1 yax xay 必 有 两组解 (1)-(2) 得 22 0000 ()yxa xy 必有两个不同解 00 0yx, 00 ()1a xy有解 从而有 2 00 (1)1a xax有两个不等的实数解 即 22 00 10a xaxa有两个不等的实数解 22 ()4(1)0aaa 0a, 3 4 a 解法二（点差法） 设抛物
9、线 2 1yax上以 1122 ( ,),(,)A x yA x y为端点的弦关于直线0xy对称 , 且以 00 (,)Mxy为中点是 抛物线 2 1yax（即 2 1 (1)xy a ）内 的点 从而有 120120 2,2xxxyyy 由 2 11 2 22 (1)1 (2)1 yax yax (1)-(2) 得 22 1212 ()yya xx y=ax 2-1 x+y=0 -1 A A o y x M y=ax 2-1 x+y=0 -1 A A o y x 第4页 12 120 12 ()2 AA yy ka xxax xx 由 000 1111 121,(,) 2222 AA kax
10、xyM aaaa 从而有 21113 ()(1) 224 a aaa 例 4已知直线l过定点 A(4,0) 且与抛物线 2 :2(0)Cypxp交于 P、 Q 两点 , 若以 PQ 为直径的圆 恒过原点O, 求p的值 解可设直线l的方程为4xmy代入 2 2ypx 得 2 280ypmyp 设 1122 ( ,), (,)P x yQ x y, 则 222 1212 12122 () 8 ,16 224 yyy y y yp x x ppp g由题意知 , OPOQ, 则0OP OQ u uu r u uu r g 即 1212 1680x xy yp2p此时 , 抛物线的方程为 2 4yx
11、例 3试确定m的取值范围 , 使得椭圆 22 1 43 xy 上有不同两点关于直线4yxm对称 解设椭圆 22 1 43 xy 上以 1122 ( ,),(,)A x yA x y为端点的弦关于直线4yxm对称 , 且以 00 (,)M xy为 中点是椭圆 22 1 43 xy 内的点 从而有 120120 2,2xxxyyy 由 22 11 22 22 (1)3412 (2)3412 xy xy (1)-(2) 得 2222 1212 4()3()yyxx 01212 12120 33() 4()4 AA xyyxx k xxyyy 由 0 00 0 311 3 444 AA x kyx y M y=4x+m A A o y x P Q A(4,0) o y x 第5页 由 00 (,)M xy在直线4yxm上 00 ,3(, 3)xm ymMmm 从而有 22 2 ()( 3 )42 13 2 13 1(,) 43131313 mm mm