高考数学天津文试题及解析.pdf

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1、1.(2019 年天津文 )设集合 A=1,2,6,B=2,4,C=1,2,3,4， 则(AB) C= ( ) A.2 B.1 ， 2， 4 C.1 ， 2， 4， 6 D.1 ，2， 3， 4， 6 1.B 【解析】由题意可得AB =1 ， 2， 4， 6， 所以 (A B) C=1， 2， 4故选 B 2. (2019 天津高考 )设 x R， 则“ 2x0”是“ |x 1|1”的 () A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析： 选 B由 2 x0， 得 x2， 由|x1|1， 得 0x2. 0x2? x2， x2? / 0x2， 故“2 x0”是“|

2、x1|1”的必要而不充分条件 3. (2019 年天津文 )有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从 这 5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（） A. 4 5 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 3. C 【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝 绿、蓝紫、绿紫，共 10 种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率P= 4 10= 2 5故选 C 4. (2019 天津高考 )阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为

3、 24， 则输出 N 的值为 () A 0 B1 C 2 D3 解析： 选 C第一次循环，24 能被 3 整除，N 24 3 83；第二次循环，8 不能被 3 整除，N8173； 第三次循环，7 不能被 3 整除，N 7163； 第四次循环，6 能被 3整除，N 6 323， 结束循环， 故输出 N 的值为 2. 5. (2019 年天津文 )已知双曲线 x 2 a2- y 2 b2=1(a0， b 0)的右焦点为 F， 点 A 在双曲线的渐近线 上，OAF 是边长为2 的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（） A. x 2 4 -y 2 12=1 B. x 2 12- y 2 4 =

4、1 C. x 2 3 -y2=1 D.x 2-y 2 3 =1 5. D 【解析】由题意可得 c=2， c2=a2+b2， b a=tan 60 =3， 解得 a2=1,b2=3， 故双曲线方程为 x2- y 2 3=1故 选 D 6. (2019 年天津文 )已知奇函数f(x) 在 R 上是增函数 若 a=-f(log2 1 5),b=f(log 24.1),c=f(2 0.8)， 则 a,b,c 的大小关系为( ) A.abc B.bac C.cba D.cab 6. C 【解析】由题意可得a=f（log2 1 5）=f （log25）， 且 f（log25） log24.12， 120.

5、8 2， 所以 log25log24.120.8， 结合函数的单调性可得f（log25）f（log24.1）f（ 20.8）， 即 abc， 即 cba.故选 C. 7. (2019 年天津文 )设函数 f(x)=2sin( x+ ),xR， 其中 0， | | 若 f( 5 8 )=2， f( 11 8 )=0， 且 f(x) 的最小正周期大于2 ， 则( ) A. = 2 3， = 12 B. = 2 3， =- 11 12 C. = 1 3， =- 11 24 D. = 1 3， = 7 24 7. A 【解析】由题意得 5 8 + =2k1+ 2， 11 8 + =k2 ， 其中 k1

6、， k2Z， 所以 = 4 3（k2-2k1）- 2 3， 又 T= 2 2 ， 所以 0 1， 所以 = 2 3，1 1 2 12 k， 由 | |得 = 12， 故选 A 8. (2019 天津高考) 已知函数f(x) |x|2，x 1， x 2 x，x1. 设 a R ，若关于x 的不等式 f(x) x 2 a 在 R 上恒成立， 则 a 的取值范围是() A 2,2 B 23， 2 C 2,2 3 D 23， 23 解析 选 A法一： 作出 f(x)的图象如图所示 当 y x 2a 的图象经过点 (0,2)时，可知 a 2. 当 y x 2a 的图象与 yx 2 x的图象相切时， 由

7、x 2ax 2 x ， 得 x22ax 40， 由 0， 并结合图象可得a2. 要使 f(x) x 2a 恒成立， 当 a0 时，需满足 a2， 即 2a0， 当 a0 时，需满足 a2， 即 0a2， 综上可知，2a 2. 法二： f(x) x 2 a 在 R 上恒成立， f(x) x 2 af(x) x 2在 R 上恒成立 令 g(x) f(x) x 2. 当 0x 1时，f(x)x2， g(x) x 2 x 2 3 2x22， 即 g(x)max 2. 当 x0 时，f(x) x2， g(x) x 2 x 2 x 2 2， 即 g(x) 2. 当 x1 时， f(x)x2 x ， g(x

8、) x2 x x 2 3 2x 2 x 23， 即 g(x)max 2 3. a 2. 令 h(x)f(x) x 2. 当 0x 1时， f(x)x2， h(x) x2 x 2 x 2 22， 即 h(x)min2. 当 x0 时， f(x) x2， h(x) x 2 x 2 3 2x 22， 即 h(x)2. 当 x1 时， f(x)x2 x ， h(x) x 2 x x 2 x 2 2 x2， 即 h(x)min2. a2. 综上可知，2a 2. 法三： 若 a23， 则当 x0 时，f(0)2， 而 x 2a 2 3， 不等式不成立，故排除选项C， D. 若 a 2 3， 则当 x0 时

9、，f(0) 2， 而 x 2a 2 3， 不等式不成立，故排除 选项 B.故选 A. 此题直接求解难度较大，但也有一定的技巧可取，通过比较四个选项，只需判断 a2 3， 23是否满足条件即可，这种策略在做选择题时经常用到 9. (2019 年天津文 )已知 aR， i 为虚数单位，若 a-i 2+i 为实数，则 a 的值为 _ 9. -2 【解析】 a-i 2+i= (a-i)(2-i) (2+i)(2-i) = (2a-1)-(a+2)i 5 = 2a-1 5 - a+2 5 i 为实数，则 a+2 5 =0,a=-2 10. (2019 年天津 )已知 aR, 设函数 f(x)axln x

10、 的图象在点 (1, f(1)处的切线为l, 则 l 在 y 轴上的截距为 _. 解析 : 由题可得f(1)a, 则切点为 (1, a). 因为 f(x)a 1 x, 所以切线 l 的斜率为f(1) a1, 切 线 l 的方程为ya (a1)(x1), 令 x0 可得 y1, 故 l 在 y 轴上的截距为 1. 11. (2019 年天津文 )已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18， 则这个球的体积为_ 11. 9 2 【解析】设正方体的边长为a， 则 6a2=18a= 3， 其外接球直径为2R=3a=3， 故 这个球的体积V= 4 3R 3=4 3 27 8 =

11、9 2 12. (2019 年天津文 )设抛物线y2=4x 的焦点为 F， 准线为 l已知点 C 在 l 上， 以 C 为圆心 的圆与 y 轴的正半轴相切于点A若 FAC=120 ， 则圆的方程为_ 12.（x+1） 2+（y- 3）2=1 【解析】由题可设圆心坐标为C（-1， m）， 则 A（0， m）， 焦点 F（1， 0）， AC =（ -1， 0）， AF =（1， -m）， cosCAF= AC AF | AC | | AF |= -1 1+m 2=- 1 2， 解得 m= 3， 由于圆 C 与 y 轴的正半轴相切， 则 m=3， 所求圆的圆心为（ -1， 3）， 半径为 1， 所求

12、圆的方程为（x+1） 2+（ y- 3） 2=1. 13. (2019 年天津文 )若 a， bR， ab0， 则 a 4+4b4+1 ab 的最小值为 _ 13. 4 【解析】 a 4+4b4+1 ab 4a2b2+1 ab =4ab+ 1 ab2 4ab 1 ab=4， 前一个等号成立的条件是 a2=2b 2， 后一个等号成立的条件是ab=1 2， 两个等号可以同时成立， 当且仅当a2= 2 2 ， b2= 2 4 时取 等号 14. (2019 年天津文 )在ABC 中， A=60 ， AB=3 ， AC=2 若 BD=2 DC ， AE = AC- AB （ R） ， 且 AD AE

13、=-4， 则 的值为 _ 14. 3 11 【解析】 由题可得 AB AC =3 2 cos 60 =3， AD = 1 3 AB + 2 3 AC ， 则 AD AE =（ 1 3 AB + 2 3 AC ） （ AC- AB ）= 3 3+ 2 3 4- 1 3 9- 2 3 3=-4 = 3 11 15. (2019 年天津 )在ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c.已知 asin A4bsin B, ac 5(a2 b 2 c 2 ). （1）求 cos A 的值； （2）求 sin(2BA)的值 . 【解析】 （1）由 asin A4bsin B 及正弦定

14、理 , 得 a2b. 由 ac5(a2b2c2)及余弦定理 , 得 cos Ab 2c2a2 2bc 5 5 ac ac 5 5 . （2）由（1）可得 sin A 25 5 , 代入 asin A4bsin B, 得 sin B asin A 4b 5 5 . 由（ 1）知 A 为钝角 , 所以 cos B1-sin2 B 2 5 5 . 于是 sin 2B2sin Bcos B 4 5, cos 2B12sin 2 B 3 5, 故 sin(2BA)sin 2Bcos Acos 2Bsin A 4 5 5 5 3 5 25 5 2 5 5 . 16. (2019 年天津 )电视台播放甲、

15、乙两套连续剧 , 每次播放连续剧时, 需要播放广告. 已知每次 播放甲、乙两套连续剧时, 连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧播放时长(分钟 ) 广告播放时长(分钟 ) 收视人次 (万) 甲70 5 60 乙60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 分钟 , 广告的总播放时间 不少于 30 分钟 , 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2 倍. 分别用 x, y 表示每 周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. （1）用 x,y列出满足题目条件的数学关系式 ,并画出相应的平面区域； （2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次, 才能

16、使收视人次最多？ 【分析】（1）由甲、 乙连续剧总的播放时间不多于600 分钟、广告时间不少于30 分钟、 甲连续播放的次数不多于乙连续播放的次数的2 倍分别列出x, y 满足的不等式 , 结合 x, y 为 自然数建立不等式组, 再画出平面区域.（2）列出目标函数 , 根据目标函数的几何意义求出最 值. 解：（ 1）由已知 x, y 满足的数学关系式为 70x60y600， 5x5y30， x2y， xN， yN， 即 7x 6y60， xy6， x2y0， xN， yN. 该不等式组所表示的平面区域为图1 中阴影部分内的整点(包括边界 ). （2）设总收视人次为z 万,则目标函数为z60x

17、25y. 由 z 60x25y, 得 y 12 5 x z 25. 当 z 25取得最大值时 , z 的值最大 . 由图 2 可知当直线z 60x25y 经过可行域上的点M 时, z 25最大 , 即 z 最大 . 联立 7x 6y60， x2y0， 解得 M(6, 3), 所以电视台每周播出甲连续剧6 次,乙连续剧3 次时才能使总收视人次最多. 17. (2019 年天津 )如图 , 在四棱锥P-ABCD 中, AD 平面 PDC, ADBC, PDPB,AD1, BC 3, CD4,PD 2. （1）求异面直线AP 与 BC 所成角的余弦值； （2）求证： PD平面 PBC； （3）求直线

18、AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 【解析】（1）如图 , 由已知 ADBC, DAP 或其补角即为异面直线AP 与 BC 所成的角 . AD平面 PDC, ADPD. 在 RtPDA 中 , 由已知得APAD2 PD2 5, cosDAP= AD AP 5 5 . 异面直线AP 与 BC 所成角的余弦值为 5 5 . （2） AD平面 PDC,直线 PD? 平面 PDC, ADPD. 又 BC/AD, PDBC. 又 PDPB, PD平面 PBC. （3）过点 D 作 AB 的平行线交BC 于点 F, 连接 PF, 则 DF 与平面 PBC 所成的角等于AB 与平面 PBC 所成的角 .

19、PD平面 PBC, PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影 , DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角 . ADBC, DF AB, BF AD1. 由已知得 CF BCBF2. 又 ADDC, BCDC. 在 RtDCF 中, DF CD2CF 22 5. 在RtDPF中 ,sinDFP PD DF 5 5 . 直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 5 5 . 18. (2019 年天津文 )已知 an为等差数列，前 n 项和为 Sn（n N*）， bn是首项为 2 的等 比数列，且公比大于0， b2+b3=12， b3=a4-2a1， S11=11b4 （1）求 an和b

20、n 的通项公式； （2）求数列 a2nbn 的前 n 项和（ n N*） 18.解： （ 1）设等差数列an的公差为d， 等比数列 bn 的公比为q 由已知 b2+b3=12， 得 b1（ q+q2）=12， 而 b1=2， 所以 q2+q-6=0 又因为 q0， 解得 q=2， 所以 bn=2n 由 b3=a4-2a1， 可得 3d-a1=8；由 S11=11b4， 可得 a1+5d=16， 联立， 解得 a1=1， d=3， 由此可得an=3n-2 所以，an的通项公式为 an=3n-2， bn的通项公式为bn=2n （2）设数列 a2nbn 的前 n 项和为 Tn， 由 a2n=6n-2

21、， 有 Tn=4 2+10 22+16 23+ （6n-2） 2n， 2Tn=4 22+10 23+16 24+ （6n-8） 2n+（6n-2） 2n+1， 上述两式相减，得-Tn=4 2+6 22+6 23+ +62 n- （6n-2） 2n+1= 12 （1-2 n） 1-2 -4- （6n-2） 2n+1=- （3n-4） 2n+2-16， 得 T n=（3n-4）2n+2+16. 所以，数列 a2nbn 的前 n 项和为（ 3n-4）2n+2+16. 19. 4 (2019 天津高考 )设 a，bR，|a|1.已知函数 f(x)x36x23a(a4)xb，g(x) exf(x) (1

22、)求 f(x)的单调区间； (2)已知函数y g(x)和 y e x 的图象在公共点(x0， y0)处有相同的切线， 求证： f(x)在 xx0处的导数等于 0； 若关于x 的不等式g(x)ex在区间 x01， x01上恒成立， 求 b的取值范围 解： (1)由 f(x)x3 6x23a(a 4)xb， 可得 f(x)3x212x3a(a4)3(xa)x(4a) 令 f (x)0， 解得 xa， 或 x4a. 由|a|1， 得 a4a. 当 x 变化时，f (x)， f(x)的变化情况如下表： x (， a)(a,4a)(4a， ) f (x) f(x) 所以 f(x)的单调递增区间为( ，

23、a)， (4a， )， 单调递减区间为(a,4a) (2)证明： 因为 g(x)exf(x)f(x)， 由题意知 g x0ex0， g x0ex0， 所以 f x0ex0ex0， ex0f x0 f x0ex0， 解得 f x0 1， f x00. 所以 f(x)在 xx0处的导数等于 0. 因为 g(x)ex， xx01， x0 1， 由 ex0， 可得 f(x)1. 又因为 f(x0) 1， f(x0)0， 所以 x0为 f(x)的极大值点， 结合 (1)知 x0a. 另一方面，由于 |a| 1， 故 a1 4a， 由(1)知 f(x)在(a 1， a)内单调递增，在(a， a1)内单调递

24、减， 故当 x0a 时， f(x)f(a)1 在a1， a1上恒成立，从而 g(x)e x 在 x01， x0 1上恒成立 由 f(a)a36a23a(a4)a b1， 得 b2a36a21， 1a1. 令 t(x)2x36x21， x1,1， 所以 t (x)6x212x， 令 t(x)0， 解得 x2(舍去 )或 x0. 因为 t(1) 7， t(1) 3， t(0) 1， 因此 t(x)的值域为 7,1 所以 b 的取值范围是 7,1 20. (2019 年天津文 )已知椭圆 x2 a 2+ y 2 b2=1（ab0）的左焦点为 F （-c， 0）， 右顶点为A， 点 E 的坐标为（ 0

25、， c），EFA 的面积为 b2 2 （1）求椭圆的离心率； （2）设点 Q 在线段 AE 上，|FQ|= 3 2c， 延长线段 FQ 与椭圆交于点P， 点 M， N 在 x 轴 上，PMQN， 且直线 PM 与直线 QN 间的距离为c， 四边形 PQNM 的面积为3c （i）求直线EP的斜率； （ii ）求椭圆的方程 20.解： （1）设椭圆的离心率为e由已知，可得 1 2（c+a）c= b2 2 又由 b2=a2-c2， 可得 2c2+ac-a2=0， 即 2e2+e-1=0又因为 0e1， 解得 e= 1 2 所以，椭圆的离心率为 1 2 （2）（ ）依题意，设直线 FP 的方程为x=m

26、y-c （m0），则直线 FP 的斜率为 1 m 由（ 1）知 a=2c， 可得直线AE 的方程为 x 2c+ y c=1， 即 x+2y-2c=0 ， 与直线 FP 的方程联立，可解得 x= （2m-2）c m+2 ， y= 3c m+2， 即点 Q 的坐标为（ （2m-2）c m+2 ， 3c m+2） 由已知 |FQ|= 3c 2， 有 （2m-2）c m+2 +c 2+( 3c m+2) 2=(3c 2) 2， 整理得 3m2-4m=0， 所以 m=- 4 3， 故直 线 FP 的斜率为 3 4 (ii) 由 a=2c， 可得 b=3c， 故椭圆方程可以表示为 x 2 4c2+ y 2

27、 3c2=1. 由（ i）得直线 FP 的方程为3x-4y+3c=0 ， 与椭圆方程联立 3x-4y+3c=0 ， x 2 4c2+ y2 3c2=1， 消去 y， 整理得 7x2+6cx-13c 2=0， 解得 x=-13c 7 （舍去）或x=c. 因此可得点P（c， 3c 2）， 进而可得 |FP|=（c+c）2 +（ 3c 2 ） 2=5c 2， 所以 |PQ|=|FP|-|FQ|= 5c 2 - 3c 2=c 由已知，线段 PQ 的长即为PM 与 QN 这两条平行直线间的距离， 故直线 PM 和 QN 都垂直于直线FP 因为 QNFP， 所以 |QN|=|FQ|tanQFN= 3c 2 3 4= 9c 8 ， 所以 FQN 的面积为 1 2|FQ|QN|= 27c2 32 ， 同理 EPM 的面积等于 75c2 32 ， 由四边形 PQNM 的面积为3c， 得 75c2 32 - 27c2 32 =3c， 整理得 c2=2c， 又由 c0， 得 c=2 所以，椭圆的方程为 x 2 16+ y 2 12=1