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1、高中数学常用公式精华总结 1. 元素与集合的关系 U xAxC A, U xC AxA. 2. 德摩根公式 ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC BIUUI. 3集合 12 , n a aaL的子集个数共有2 n 个；真子集有2 n 1 个；非空子集有2 n 1 个；非空 的真子集有2n 2 个 . 4. 二次函数的解析式的三种形式 (1) 一般式 2 ( )(0)f xaxbxc a; (2) 顶点式 2 ( )()(0)f xa xhk a; (3) 零点式 12 ( )()()(0)f xa xxxxa. 5. 方程0)(xf在),( 21 kk上有且只有一个实根
2、, 与0)()( 21 kfkf不等价 ,前者是后者的一个必 要而不是充分条件. 特别地 , 方程)0(0 2 acbxax有且只有一个实根在),( 21 kk内, 等价于 0)()( 21 kfkf, 或0)( 1 kf且 22 21 1 kk a b k, 或0)( 2 kf且 2 21 22 k a bkk . 6. 闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()( 2 acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在 a b x 2 处及区间的两端 点处取得，具体如下：（可画图解决问题） (1) 当 a0 时，若qp a b x, 2 ， 则 minmaxmax ( )(),( )(),( )
3、 2 b fxffxfpf q a ； qp a b x, 2 ， maxmax ( )( ),( )f xfpf q， minmin ( )( ),( )f xf pf q. (2) 当 a0) )()(axfxf， 则)(xf的周期 T=a； 16. 分数指数幂 (1) 1 m n nm a a （0,am nN， 且1n）. (2) 1 m n m n a a （0,am nN， 且1n） . 17根式的性质 （1）() nn aa. （2）当n为奇数时， nn aa；当n为偶数时， ,0 | ,0 nn a a aa a a . 18有理指数幂的运算性质 (1) (0, ,) rsrs
4、 aaaar sQ. (2) ()(0, ,) rsrs aaar sQ. (3)()(0,0,) rrr aba babrQ. 注： 若 a0， p 是一个无理数，则 a p 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于 无理数指数幂都适用. 19. 指数式与对数式的互化式 log b aN ba N ( 0,1,0)aaN . 20. 对数的换底公式 log log log m a m N N a (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglog m n a a n bb m ( 0a , 且 1a , ,0m n , 且 1m , 1n , 0N ). 21对数的四则运算
5、法则 若 a0， a 1， M0， N0， 则 (1)log ()loglog aaa MNMN; (2) logloglog aaa M MN N ; (3)loglog() n aa MnM nR. 22. 数列的同项公式与前n 项的和的关系 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn ( 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saaaL). 23. 等差数列的通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN； 其前 n 项和公式为 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n nad 2 1 1 () 22 d nad n. 24. 等比数列的通项公式 1
6、* 1 1 () nn n a aa qqnN q ； 其前 n 项的和公式为 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q 或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q . 25. 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1，tan= cos sin ， 27. 正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 28. 和角与差角公式 sin()sincoscossin; cos()coscossinsinm; tantan tan() 1tantanm . sincosab= 22 sin()ab ( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定
7、,tan b a ). 29. 二倍角公式 sin2sincos. 2222 cos2cossin2cos112sin. 2 2tan tan2 1tan . 30. 三角函数的周期公式 函数sin()yx， x R及函数cos()yx， x R(A, ,为常数，且 A0， 0) 的周期 2 T； 函数tan()yx，, 2 xkkZ(A, ,为常数，且 A0， 0) 的周期T. 31. 正弦定理2 sinsinsin abc R ABC . 32. 余弦定理 222 2cosabcbcA; 222 2cosbcacaB; 222 2coscababC. 33. 面积定理 （1） 111 22
8、2 abc Sahbhch（ abc hhh、分别表示a、b、 c 边上的高） . （2） 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB. 34. 三角形内角和定理 在 ABC中， 有()ABCCAB sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B) 35. 实数与向量的积的运算律 设、为实数，那么 (1) 结合律： ( a)=( )a; (2) 第一分配律：( +) a=a+a; (3) 第二分配律：(a+b)= a+b. 36. 向量的数量积的运算律： (1) ab= b a （交换律） ; (2) （a） b= （ ab）=a b= a
9、（b） ; (3) （a+b） c= a c + bc. 37. 平面向量基本定理 如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对 实数1、2， 使得 a=1e1+2e2 不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 38向量平行的坐标表示 设 a= 11(,)xy,b=22(,)xy， 且 b0， 则 aPb(b0)12210x yx y. 39. a与 b 的数量积 ( 或内积 ) ab=|a|b|cos 40. ab 的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 41. 平
10、面向量的坐标运算 (1) 设 a= 11 (,)xy,b= 22 (,)xy， 则 a+b= 1212 (,)xxyy. (2) 设 a= 11 (,)xy,b= 22 (,)xy， 则 a-b= 1212 (,)xxyy. (3)设 A 11 (,)x y， B 22 (,)xy, 则 2121 (,)ABOBOAxx yy uuu ruuu ruu u r . (4) 设 a=( ,),x yR， 则a=(,)xy. (5) 设 a= 11 (,)xy,b= 22 (,)xy， 则 ab= 1212 ()x xy y. 42. 两向量的夹角公式 1212 2222 1122 cos x x
11、y y xyxy (a= 11 (,)xy,b= 22 (,)xy). 43. 平面两点间的距离公式 ,A Bd=|ABAB AB uu u ru uu r uuu r 22 2121 ()()xxyy(A 11 (,)xy， B 22 (,)xy). 44. 向量的平行与垂直 设 a= 11 (,)xy,b= 22 (,)xy， 且 b0， 则 A|bb= a 1221 0x yx y. ab(a0)ab=0 1212 0x xy y. 45. 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为 11 A(x ,y )、 22 B(x ,y)、 33 C(x ,y), 则 ABC的重心的坐标是
12、 123123 (,) 33 xxxyyy G. 46. 三角形四“心”向量形式的充要条件 设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为, ,a b c， 则 （1）O为ABC的外心 222 OAOBOC uuu ruu u ru uu r . （2）O为ABC的重心0OAOBOC uuu ruuu ruuu rr . （3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA uuu r u uu ru uu r uu u ruuu r uuu r . （4）O为 ABC的内心 0aOAbOBcOC uu u ruuu ruuu rr . 47. 常用不等式： （1）,a bR 22
13、2abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) （2）,a bR 2 ab ab( 当且仅当ab 时取“ =”号) （3） 333 3(0,0,0).abcabc abc （4）bababa. 48. 均值定理 已知 yx, 都是正数，则有 （1）若积 xy是定值p， 则当yx 时和 yx 有最小值 p2 ； （2）若和 yx 是定值s， 则当 yx 时积xy有最大值 2 4 1 s. 49. 一元二次不等式 2 0(0)axbxc或 2 (0,40)abac， 如果a与 2 axbxc同 号， 则其解集在两根之外；如果a与 2 axbxc异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根 之外，异号
14、两根之间 . 121212 ()()0()xxxxxxxxx； 121212 ,()()0()xxxxxxxxxx或. 50. 含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有 2 2 xaxaaxa. 22 xaxaxa或xa. 51. 指数不等式与对数不等式 (1) 当1a时, ( )( ) ( )( ) fxg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x . (2) 当0 1a 时, ( )( ) ( )( ) fxg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x
15、 f xg xg x f xg x 52 斜率公式 21 21 yy k xx （ 111 (,)P xy、 222 (,)P xy）. 53. 直线的五种方程 （1）点斜式 11 ()yyk xx ( 直线l过点 111 (,)P xy， 且斜率为k) （2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （3）两点式 11 2121 yyxx yyxx ( 12 yy)( 111 (,)P xy、 222 (,)Pxy ( 12 xx). (4) 截距式1 xy ab (ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、) （5）一般式0AxByC( 其中 A、 B不同时为0). 54. 两条直
16、线的平行和垂直 (1) 若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb 121212 |,llkkbb ; 1212 1llk k. (2) 若 1111 :0lA xB yC, 2222 :0lA xB yC, 且 A1、 A2、 B1、 B2都不为零 , 111 12 222 | ABC ll ABC ； 121212 0llA AB B； 55四种常用直线系方程 (1) 定点直线系方程：经过定点 000 (,)P xy的直线系方程为 00 ()yyk xx( 除直线 0 xx), 其 中k是待定的系数; 经过定点 000 (,)P xy的直线系方程为 00 ()()0A xxB y
17、y, 其中,A B是 待定的系数 (2) 共点直线系方程： 经过两直线 1111 :0lA xB yC, 2222 :0lA xB yC的交点的直线系方 程为 111222 ()()0A xB yCA xB yC( 除 2 l) ， 其中是待定的系数 (3) 平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线 0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0) ， 是参变量 (4) 垂直直线系方程： 与直线0AxByC (A 0， B0)垂直的直线系方程是0BxAy, 是参变量 56. 点到直线的距离 00 22 |AxByC d AB ( 点 00 (,)P x
18、y,直线l：0AxByC). 57. 0AxByC或 0所表示的平面区域 设直线:0lAxByC， 则0AxByC或0所表示的平面区域是： 若0B， 当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时， 表示直线 l的下方的区域 . 简言之 , 同号在上 ,异号在下 . 若0B， 当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时， 表示直线l的左方的区域 . 简言之 , 同号在右 , 异号在左 . 58. 111222 ()()0A xB yCA xB yC或0所表示的平面区域 设曲线 111222 :()()0CA xB yCA xB yC（ 121
19、2 0A A B B） ， 则 111222 ()()0A xB yCA xB yC或0所表示的平面区域是： 111222 ()()0A xB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分； 111222 ()()0A xB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分. 59. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222 ()()xaybr. （2）圆的一般方程 22 0xyDxEyF( 22 4DEF0). 60. 点与圆的位置关系 点 00 (,)P xy与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种 若 22 00 ()()daxby， 则 dr点P在圆外 ;dr点P在圆上 ;dr点P
20、在圆内 . 61. 直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种: 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 其中 22 BA CBbAa d. 62. 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O1， O2， 半径分别为r1， r 2， dOO 21 条公切线外离4 21 rrd; 条公切线外切3 21 rrd; 条公切线相交2 2121 rrdrr; 条公切线内切1 21 rrd; 无公切线内含 21 0rrd. 63. 椭圆的标准方程及简单的几何性质 64椭圆的的内外部 （1）点 00 (,)P xy在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的
21、内部 22 00 22 1 xy ab . （2）点 00 (,)P xy在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的外部 22 00 22 1 xy ab . 65. 双曲线的内外部 (1) 点 00 (,)P xy在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的内部 22 00 22 1 xy ab . (2) 点 00 (,)P xy在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的外部 22 00 22 1 xy ab . 66. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1 ）若双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 渐近线方程： 22 22 0 xy ab x
22、a b y. (2)若渐近线方程为x a b y0 b y a x 双曲线可设为 2 2 2 2 b y a x . (3)若双曲线与1 2 2 2 2 b y a x 有公共渐近线，可设为 2 2 2 2 b y a x （0， 焦点在 x 轴上， 0， 焦点在 y 轴上） . 67. 抛物线pxy2 2 的焦半径公式 抛物线 2 2(0)ypx p焦半径 0 2 p CFx. 过焦点弦长pxx p x p xCD 2121 22 . 68. 抛物线pxy2 2 上的动点可设为P), 2 ( 2 y p y 或或)2,2( 2 ptptP P(,)xy oo ， 其中 2 2ypx oo.
23、69. 抛物线的内外部 (1) 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)ypx p的内部 2 2(0)ypx p. 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)ypx p的外部 2 2(0)ypx p. (2) 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)ypx p的内部 2 2(0)ypx p. 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)ypx p的外部 2 2(0)ypx p. (3) 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)xpy p的内部 2 2(0)xpy p. 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)xpy p的外部 2 2(0)xpy p. (4) 点
24、00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)xpy p的内部 2 2(0)xpy p. 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)xpy p的外部 2 2(0)xpy p. 70. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22 1212 ()()ABxxyy或 AB= 21 2 21 21 11yy k xxk （弦端点A),(),( 2211 yxByx， 由方程 0)y,x(F bkxy 消去 y 得到0 2 cbxax，0,为 直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）. 71证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行
25、； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 72证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 73证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 74证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线
26、平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 75证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 76. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1) 加法交换律：ab=ba (2) 加法结合律：(ab) c=a(b c) (3) 数乘分配律：(ab)= a b 77. 共线向量定理 对空间任意两个向量a、 b(b0 ) ， a b存在实数使a=b PAB、 、三点共线|APABAPtAB uuu ruu u r (1)OPt OAtOB uuu ruuu ru uu r . |ABCDAB uuu
27、r 、CD uuu r 共线且 ABCD、 不共线ABtCD uuu ruu u r 且AB CD、 不共线 . 78. 球的半径是R， 则 其体积 34 3 VR, 其表面积 2 4SR 79柱体、锥体的体积 1 3 VSh 柱体 （S是柱体的底面积、h是柱体的高）. 1 3 VSh 锥体 （S是锥体的底面积、h是锥体的高）. 80. 互斥事件A， B 分别发生的概率的和 P(AB)=P(A) P(B) 81.n个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 82. 独立事件A， B 同时发生的概率 P(AB)= P(A) P(B). 83.n 个独
28、立事件同时发生的概率 P(A 1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 84. 回归直线方程 $ yabx， 其中 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y b xxxnx aybx . 85. 相关系数r |r|1， 且|r|越接近于1， 相关程度越大；|r|越接近于0， 相关程度越小 . 86. 函数)(xfy在点 0 x处的导数的几何意义 函数)(xfy在点 0 x处的导数是曲线)(xfy在)(,( 00 xfxP处的切线的斜率)( 0 xf， 相应的 切线方程是)( 000 xxxfyy. 87. 几种常见函数的导数 (1) 0C
29、（C为常数） . (2) 1 ()() n n xnxnQ. (3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5) x x 1 )(ln； e a x x alog 1 )(log. (6) xx ee )(; aaa xx ln)(. 88. 导数的运算法则 （1） ()uvuv. （2） ()uvu vuv. （3） 2 ()(0) uu vuv v vv . 91. 复数zabi的模（或绝对值） |z=|abi= 22 ab. 92. 复数的四则运算法则 (1)()()()()abicdiacbd i; (2)()()()()abicdiacbd i; (3)()()()()abicdiacbdbcad i; (4) 2222 ()()(0) acbdbcad abicdii cdi cdcd . 89. 判别)( 0 xf是极大（小）值的方法 当函数)(xf在点 0x处连续时， （1）如果在 0 x附近的左侧0)(xf， 右侧0)(xf， 则)( 0 xf是极大值； （2）如果在 0 x附近的左侧0)(xf， 右侧0)(xf， 则)( 0 xf是极小值 . 90. 复数的相等 ,abicdiac bd. （, , ,a b c dR）