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1、1 1. (2020 年新课标 理)已知集合A x|x10 ， B0， 1， 2 ， 则 AB( ) A. 0 B. 1 C. 1， 2 D. 0， 1， 2 C 【解析】 Ax|x 10 x|x 1 ， 则 A B x|x1 0 ， 1， 2 1 ， 2. 2. (2020 年新课标 理)(1i)(2 i)( ) A. 3i B. 3 i C. 3i D. 3i D 【解析】 (1i)(2 i) 2i2ii23i. 3. (2020 年新课标 理)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来. 构件的凸出部分叫榫头，凹 进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木
2、 构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A B C D A 【解析】 由题意可知木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体是榫头， 从图形看出轮廓是长方形，内含一个长方形，且一条边重合，另外 3 边是虚线 . 故选 A. 4. (2020 年新课标 理)若 sin 1 3， 则 cos 2 ( ) A. 8 9 B. 7 9 C. 7 9 D. 8 9 B 【解析】 cos 2 12sin2 121 9 7 9. 5. (2020 年新课标 理) x2 2 x 5 的展开式中x4的系数为 ( ) A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 2 C 【解析】x
3、 22 x 5 的展开式的通项为Tr+1Cr5(x2)5 r2 x r2rCr 5x10 3r . 由 103r4， 解得 r2. x2 2 x 5的展开式中 x4的系数为22C25 40. 6. (2020 年新课标 理)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于A， B 两点，点 P 在圆 (x 2) 2y22 上， 则ABP 面积的取值范围是( ) A. 2， 6 B. 4， 8 C. 2， 3 2 D. 22， 3 2 A 【解析】 易得 A(2， 0)， B(0， 2)， |AB|2 2. 圆的圆心为 (2， 0)， 半径 r2. 圆心 (2， 0)到直线 xy20 的距离 d |2
4、02| 1212 2 2， 点 P 到直线 xy20 的距 离 h 的取值范围为22r， 2 2r， 即2， 3 2. 又ABP 的面积 S1 2|AB|h 2h， S的取值范围是2， 6. 7. (2020 年新课标 理)函数 y x4x22 的图象大致为 ( ) A B C D D 【解析】 函数过定点 (0， 2)， 排除 A， B；函数的导数y 4x32x 2x(2x21)， 由 y 0 解得 x 2 2 或 0x 2 2 ， 此时函数单调递增，排除 C. 故选 D. 8. (2020 年新课标 理 )某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p， 各成员的支付方 式相互独立 . 设 X
5、 为该群体的10 位成员中使用移动支付的人数，DX2.4， P(X4)P(X 3 6)， 则 p( ) A. 0.7 B.0.6 C. 0.4 D. 0.3 B 【解析】 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p， 为独立重复事件，满足 X B(10， p). 由 P(X4)P(X6)， 可得 C 4 10p4(1p) 6C6 10p6(1p)4， 解得 p1 2. 因为 DX 2.4， 所以 10p(1p)2.4， 解得 p0.6 或 p0.4(舍去 ). 9. (2020 年新课标 理)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c. 若 ABC 的面积 为a 2b2 c2
6、4 ， 则 C ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 C 【解析】 SABC 1 2absin C a2 b2 c2 4 ， 则 sin C a2b2c2 2bc cos C.因为 0C ， 所 以 C 4. 10. (2020 年新课标 理)设 A， B， C， D 是同一个半径为4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且面积为9 3， 则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( ) A. 123 B. 18 3 C. 243 D. 543 B 【解析】 由ABC 为等边三角形且面积为93， 得 S ABC 3 4 |AB|29 3， 解得 AB 6. 设半径为 4 的球的球心为O，
7、ABC 的外心为O ， 显然 D 在 OO 的延长线与球的交 点处 (如图 ). O C 2 3 3 2 623， OO 42(23)22， 则三棱锥D-ABC 高的最大值 为 6， 则三棱锥D-ABC 体积的最大值为 1 3 3 4 63183. 11. (2020 年新课标 理)设 F1， F2是双曲线 C: x2 a2 y2 b21(a0， b0)的左， 右焦点，O 是 坐标原点 .过 F2作 C 的一条渐近线的垂线， 垂足为 P， 若|PF1|6|OP|， 则 C 的离心率 为( ) 4 A.5 B. 2 C.3 D.2 C 【解析】 双曲线 C 的一条渐近线方程为y b ax， 点
8、F 2到渐近线的距离d bc a2 b2 b， 即|PF2|b， |OP|OF2|2|PF2|2 c 2b2a， cosPF 2O b c . |PF1| 6|OP|， |PF1| 6a. F1PF2中， 由余弦定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2O， 即 6a2b2 4c22b 2c b c4c 23b24c23(c2a2)， 化简得 3a2c2， ec a c2 a2 3. 12. (2020 年新课标 理)设 alog0.20.3， blog20.3， 则( ) A. abab0 B.ab ab0 C. ab0abD. ab 0ab B 【 解
9、析】 a log0.20.3 lg 0.3 lg 5 ，b log20.3 lg 0.3 lg 2 ，a b lg 0.3 lg 2 lg 0.3 lg 5 lg 0.3(lg 5 lg 2) lg 2lg 5 lg 0.3 lg 5 2 lg 2lg 5 ，ab lg 0.3 lg 2 lg 0.3 lg 5 lg 0.3lg 10 3 lg 2lg 5 . lg 10 3 lg 5 2 ， lg 0.3 lg 2lg 5 0， aba b0. 故选 B. 13. (2020 年新课标 理)已知向量a(1， 2)， b(2， 2)， c(1， ). 若 c(2ab)， 则 _. 1 2 【解
10、析】 (2ab)2(1， 2)(2， 2) (4， 2)， 由 c(2ab)， 得 1 4 2， 解得 1 2. 14. (2020 年新课标 理 )曲线y (ax 1)e x 在点 (0，1)处的切线的斜率为2，则 a _. 3 【解析】 由 y(ax1)ex， 可得 y aex(ax1)ex. y|x0a1， a1 2， 解 得 a 3. 15. (2020 年新课标 理)函数 f(x) cos 3x 6 在0， 的零点个数为 _. 3 【解析】 令 f(x)cos 3x 6 0， 得 3x 6 2k (kZ)， 解得 x 9 k 3 (kZ). 当 k 5 0 时，x 9； 当 k1 时
11、， x4 9 ；当 k2 时，x7 9 ；当 k3 时，x 10 9 . x0， ， x 9， 或 x 4 9 ， 或 x 7 9 . f(x)的零点的个数为3. 16. (2020 年新课标 理)已知点 M( 1， 1)和抛物线C: y24x， 过 C 的焦点且斜率为 k 的 直线与 C 交于 A， B 两点 . 若 AMB 90 ， 则 k_. 2 【解析】 抛物线的焦点为F(1， 0)， 过 A， B 两点的直线方程为yk(x1). 联立 y24x， yk(x1)， 化简得 k2x22(2k2)xk20. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1x2 4 2k2 k2 ，
12、 x1x2 1. y1 y2 k(x1 x2 2) 4 k ，y1y2 k2(x11)(x2 1) k2x1x2 (x1 x2) 1 4. M(1，1)， MA (x11， y11)， MB (x21， y21). AMB90 0， MA MB 0， 即 (x11)(x21)(y11)(y21)0， 整理得 x1x2(x1x2)y1y2(y1 y2)20， 12 4 k24 4 k 2 0， 即 k24k 40， 解得 k2. 17. (2020 年新课标 理)等比数列 an 中，a11， a54a3. （1）求 an的通项公式； （2）记 Sn为an 的前 n 项和 . 若 Sm63， 求
13、m. 【解析】 （1）设等比数列an的公比为 q. 由 a11， a54a3， 得 1q44(1 q2)， 解得 q 2. 当 q2 时，an2n 1； 当 q 2时，an(2)n 1. （2）当 q 2 时， Sn 1 1(2)n 1(2) 1(2)n 3 . 由 Sm63， 得 1(2) m 3 63， mN， 无解； 当 q2 时，Sn 1(12n) 12 2n1. 由 Sm63， 得 2m163， 解得 m6. 18. (2020 年新课标 理)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生 产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机
14、分 成两组，每组 20 人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式. 根据 6 工人完成生产任务的工作时间(单位 : min) 绘制了如下茎叶图: （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由； （2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m， 并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表: 超过 m不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（ 2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: K 2 n(adbc) 2 (ab)(cd)(ac)(bd) P(K2k)0.0500.0100.001
15、k 3.8416.63510.828 【解析】 （1）根据茎叶图中的数据知第一种生产方式的工作时间主要集中在7292 之间， 第二种生产方式的工作时间主要集中在6585 之间， 第二种生产方式的工作时间较少，效率更高 . （2）这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据 是 79 和 81， m7981 2 80. 由此填写列联表如下: 超过 m不超过 m总计 第一种生产方式15 5 20 第二种生产方式5 15 20 总计20 20 40 （3）K 240(1515 55) 2 20202020 106.635， 有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差
16、异. 7 19. (2020 年新课标 文)如图，边长为 2 的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在平面 垂直，M 是 CD 上异于 C， D 的点 . （1）求证 : 平面 AMD平面 BMC； （2）当三棱锥MABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值. 【解析】 （1）证明 : 在半圆中，DM MC. 正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，AD平面 DCM . 又 MC? 平面 DCM ， ADMC. 又 ADDMD， MC平面 ADM . MC? 平面 MBC， 平面 AMD平面 BMC. （2） ABC 的面积为定值，要使三棱锥M
17、ABC 体积最大，则三棱锥的高最大，此 时 M 为圆弧的中点. 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 正方形ABCD 的边长为2， A(2， 1， 0)， B(2， 1， 0)， M(0， 0， 1)， 则平 面 MCD 的一个法向量为m(1， 0， 0). 设平面 MAB 的一个法向量为n(x， y， z)， 则AB (0， 2， 0)， AM ( 2， 1， 1). nAB， 2y0， nAM， 2xyz0. 令 x1， 则 y0， z2， n(1， 0， 2). cosm， n mn |m|n| 1 15 5 5 . 设面 MAB 与面 MCD 所成的二面角为 ， 则 si
18、n 1 5 5 22 5 5 . 8 20. (2020 年新课标 文)已知斜率为k 的直线 l 与椭圆 C: x2 4 y 2 3 1 交于 A， B 两点，线段 AB 的中点为M(1， m)(m0). （1）求证 : k 1 2； （2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且FP FA FB 0， 求证 : |FA |， |FP |， |FB | 成等差数列，并求该数列的公差. 【解析】 （1）设 A(x1， y1)， B(x2， y2). 线段 AB 的中点为M(1， m)， x1x22， y1y22m. 将 A(x1， y1)， B(x2， y2)代入 x2 4 y2 3 1
19、 中， 化简得 3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0， 即 6(x1x2)8m(y1y2) 0， k y1y2 x1x2 6 8m 3 4m . 点 M(1， m)在椭圆内，即 1 4 m2 3 1(m0)， 解得 0m3 2. k 3 4m 1 2. （2）证明 : 设(x3， y3)， 可得 x1x22. FP FA FB 0， F(1， 0)， x11x21x310， y1y2y30. x31， y3 (y1y2) 2m. m0， P 在第四象限 . 9 y3 3 2， m 3 4， k 1. |FA|2 1 2x 1， |FB|2 1 2x 2， |FP|2 1 2x
20、 33 2， 则|FA|FB|41 2(x 1x2)3. 2|FP | |FA |FB |. 联立 y x 7 4， x2 4 y2 3 1， 化简得 28x256x10. x1x22， x1x2 1 28. |x1x2| (x1x2)24x1x2 3 21 7 . 该数列的公差d 满足 2d 1 2|x 1x2| 3 21 14 . 该数列的公差为 3 21 28 . 21. (2020 年新课标 理)已知函数f(x)(2x ax2)ln(1x) 2x. （1）若 a0， 求证 : 当 1 x0 时，f(x) 0；当 x0 时，f(x)0； （2）若 x0 是 f(x)的极大值点，求 a.
21、【解析】 （1） 证明 : 当 a0 时， f(x)(2x)ln(1 x)2x(x 1)， 则 f(x)ln(1x) x 1 x. 令 g(x)f(x)ln(1x) x 1x， 则 g( x) x (1x)2. 当 x(1， 0)时，g(x)0；当 x(0， )时，g(x)0. f(x)在(1， 0)递减，在(0， )递增 . f(x)f(0)0. f(x)(2x)ln(1x)2x 在(1， )上单调递增 . 又 f(0) 0， 当 1x 0 时， f(x)0；当 x0 时，f(x)0. （2）由 f(x)(2xax2)ln(1 x)2x， 得 f(x)(12ax)ln(1 x)2 xax 2
22、 1x 2 ax 2x(12ax)(1x)ln(1x) 1x . 令 h(x)ax2x(12ax)(1x)ln(1x)， 则 h(x)4ax(4ax2a1)ln(1x). 10 当 a0， x0 时，h(x)0， h(x)单调递增 . h(x)h(0) 0， 即 f(x)0. f(x)在(0， ) 上单调递增，x0 不是 f(x)的极大值点，不合题意 . 当 a0 时，令 u(x) h(x)4ax (4ax2a1)ln(1 x)， 则 u(x)8a4aln(1x) 12a 1x ， 显然 u(x)单调递减 . 令 u(x)0， 解得 a 1 6. 当 1x0 时，u(x)0；当 x0 时，u(
23、x)0. h (x)在(1， 0)上单调递增，在(0， ) 上单调递减 . h(x)h(0)0， 则 h(x)在(0， ) 上单调递减 . 又 h(0)0， 当 1x0 时，h(x) 0， 即 f(x)0；当 x0 时，h(x)0， 即 f(x) 0. f(x)在(1， 0)上单调递增，在 (0， ) 上单调递减 . x0 是 f(x)的极大值点，符合题意 . 若 1 6a0， 则 u( x)16a0， u e 1 6a 4a 1(2a1)(1e 16a 4a ) 0， u(x)0 在(0， ) 上有唯一一个零点，设为 x0. 当 0 xx0时， u(x)0， h(x)单调递增，h(x)h(0
24、)0， 即 f(x)0. f(x)在(0， x0)上单调递增， 不合题意； 若 a 1 6， 则 u( x)16a0， u 1 e21 (12a)e20， u(x)0 在(1， 0)上有唯一一个零点，设为 x1. 当 x1x 0 时， u( x)0， h(x)单调递减，h(x)h(0)0， h(x)单调递增，h(x)h(0) 0， 即 f(x)0. f(x)在(x1， 0)上单调递减， 不合题意 . 综上，a 1 6. 23. (2020 年新课标 理)设函数 f(x)|2x1|x1|. （1）画出 yf(x)的图象； （2）当 x0， )时，f(x)axb， 求 a b 的最小值 . 11
25、【解析】 （1）当 x 1 2时， f(x) (2x1)(x1) 3x； 当 1 2x1， f(x)(2x 1)(x1)x 2； 当 x1 时，f(x)(2x1) (x 1)3x. f(x) 3x， x 1 2， x2， 1 2x1， 3x，x1. 对应的图象如图所示. （2）当 x0， )时，f(x)axb. 当 x0 时，f(0)20ab， b2； 当 x0 时， 要使 f(x)axb 恒成立， 则 f(x)的图象恒在直线yaxb 的下方或在直线上. f(x)的图象与y 轴的交点的纵坐标为2， 且各部分直线的斜率的最大值为3， 12 当且仅当a3 且 b2 时，不等式 f(x)axb 在0
26、， )上成立， ab 的最小值为5. 22. (2020 年新课标 理)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为 xcos ， ysin (为参 数)， 过点 (0， 2)且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A， B 两点 . （1）求 的取值范围； （2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程. 【解析】 （1）将 O 的参数方程化为普通方程，得为 x2y21， 圆心为 O(0， 0)， 半 径 r1. 当 2时， 过点 (0， 2)且倾斜角为的直线 l 的方程为x 0， 成立； 当 2时， 过点 (0， 2)且倾斜角为的直线 l 的方程为y tan x2. 直线 l 与 O 交于 A，
27、 B 两点，圆心 O(0， 0)到直线 l 的距离 d | 2| 1 tan2 1. tan2 1， 解得 tan 1 或 tan 1. 4 2或 2 3 4 . 综上，的取值范围为 4， 3 4 . （2）由（ 1）知直线l 的斜率不为0， 设直线 l 的方程为xm(y2). 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(x3， y3). 联立 xm(y2)， x2y21， 化简得 (m21)y222m2y2m2 10. y1y2 2 2m 2 m21 ， y1y2 2m21 m21 . x1x2m(y1 2)m(y22) 2 2m3 m2 1 22m， x3 x1x2 2 2m m21， y 3 y1y2 2 2m2 m2 1. AB 中点 P 的轨迹的参数方程为 x 2m m21， y 2m2 m21 (m 为参数 )， (1m1).