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1、高考数学理科知识点第 1 页 共 9 页 高考数学理科知识点框图 目录 第一部分集合、映射、函数、导数及微积分 2 第二部分三角函数与平面向量 3 第三部分数列与不等式 4 第四部分解析几何 5 第五部分立体几何 6 第六部分统计与概率 7 高考数学理科知识点第 2 页 共 9 页 第一部分集合、映射、函数、导数及微积分 集合 映射 概念 元素、集合之间的关系 运算：交、并、补数轴、 Venn 图、函数图象 性质 确定性、互异性、无序性 定义表示 解析法 列表法 三要素 图象法 定义域 对应关系 值域 性质 奇偶性 周期性 对称性 单调性 定义域关于原点对称，在 x0处有定义的奇函数f (0)
2、0 1、函数在某个区间递增 (或减)与单调区间是某个区间的含义不同； 2、证明单调性：作差（商） 、导数法； 3、复合函数的单调性 最值 二次函数、基本不等式、打钩（耐克）函 数、三角函数有界性、数形结合、导数. 幂函数 对数函数 三角函数 基本初等函数 抽象函数 复合函数 赋值法、典型的函数 函数与方程二分法、图象法、二次及三次方程根的分布零点 函数的应用建立函数模型 使解析式有意义 导数 函数 基本初等函数的导数 导数的概念 导数的运算法则 导数的应用 表示方法 换元法求解析式 分段函数 几何意义、物理意义 单调性导数的正负与单调性的关系 生活中的优化问题 定积分与微积分定积分与图形的计算
3、 注意应用函数的单调性求值域 周期为 T 的奇函数 f (T)f (T 2)f (0)0 复合函数的单调性：同增异减 三次函数的性质、图象与应用 一次、二次函数、反比例函数 指数函数 图象、性质 和应用 平移变换 对称变换 翻折变换 伸缩变换 图象及其变换 最值极值 高考数学理科知识点第 3 页 共 9 页 第二部分三角函数与平面向量 角的概念 任意角的三角函数的定义 三角函数 弧度制 弧长公式、扇形面积公式 三角函数线 同角三角函数的关系 诱导公式 和角、差角公式 二倍角公式 公式的变形、逆用、 “1”的替换 化简、求值、证明（恒等变形） 三角函数 的 图 象 定义域 奇偶性 单调性 周期性
4、 最值 对称轴（正切函数除外） 经过函数图象的最高（或 低）点且垂直x 轴的直线， 对称中心是正余弦函数图 象的零点，正切函数的对 称中心为 (k 2 ， 0)（kZ）. 正弦函数 ysin x = 余弦函数 ycos x 正切函数ytan x yAsin( x )b 图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到， 但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同； 图象也可以用五点作图法；用整体代换求单调区间（注意的符号）； 最小正周期T 2 | |；对称轴 x (2k1) 2 2 ， 对称中心为 (k ， b)（kZ）. 平面向量 概念 线性运算 基本定理 加、减、数乘几何意义 坐标表示 数量积 几何意义 模
5、 共线与垂直 共线（平行） 垂直 值域图象 a b b a x1y2x2y1=0 a b b a0 x1x2y1y2=0 解三角形 余弦定理 面积 正弦定理解的个数的讨论 实际应用 S1 2ah 1 2absinC p(pa)(pb)(pc)（其中 pabc 2 ） 投影 b 在 a方向上的投影为 | b |cos a b |a | 设 a 与 b 夹角 ， 则 cos a b |a |b| 对称性 | a |(x2x1) 2(y2y1)2 夹角公式 高考数学理科知识点第 4 页 共 9 页 第三部分数列与不等式 概念 数列 表示 等差数列与等比数列的类比 解析法： anf (n) 通项公式
6、图象法 列表法 递推公式 等差数列 通项公式 求和公式 性质 判断 ana1(n1)dana1qn 1 anamaparanamapar 前 n 项和 Sn n(a1an) 2 前 n 项积 (an0) Tn(a1an) n 常见递推类型及方法 逐差累加法 逐商累积法 构造等比数列 an q p1 构造等差数列 an1anf (n) an + 1 an f (n) an1panq pan1ananan1 化为 an1 qn =p q an qn 11 转为 an + 1panqn 等比数列 an0， q0 Sn na1，q1 a1(1qn) 1q ，q1 公式法：应用等差、等比数列的前n 项和
7、公式 分组求和法 倒序相加法 裂项求和法 错位相加法 常见求和方法 不等式 不等式的性质 一元二次不等式 简单的线性规划 基本不等式： ab ab 2 数列是特殊的函数 借助二次函数的图象三个二次的关系 可行域 目标函数 一次函数： zaxby z yb xa：构造斜率 z(xa)2(yb)2：构造距离 应用题 几何意义： z 是直线 axby z0 在 x 轴截 距的 a 倍， y 轴 上截距的 b 倍. 最值问题 变形 和定值，积最大；积定值，和最小 应用时注意：一正二定三相等 2ab ab abab 2 a2b2 2 高考数学理科知识点第 5 页 共 9 页 第四部分解析几何 倾斜角和斜
8、率 直线的方程 位置关系 直线方程的形式 倾斜角的变化与斜率的变化 重合 平行 相交 垂直 A1B2A2B10 A1B2A2B10 A1A2B1B20 点斜式： yy0k(xx0) 斜截式： ykxb 两点式： yy1 y2y1 xx1 x2x1 截距式： x a y b1 一般式： AxByC0 注意各种形式的转 化和运用范围 . 两直线的交点 距离 点到线的距离：d| Ax 0By0 C | A2B 2 ， 平行线间距离：d | C1C2 | A2B 2 圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系 相离 相切 相交 0， 或 dr 0， 或 dr 0， 或 d
9、r 曲线与方程轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义及标准方程 性质 范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、 短轴（虚轴）、渐近线（双曲线） 、准线（只 要求抛物线） 离心率 对称性问题 中心对称 轴对称 点(x1， y1) 关于点 (a， b)对称 点(2ax1， 2by1) 曲线 f (x， y) 关于点 (a， b)对称 曲线 f (2ax， 2by) Ax 1x2 2 By 1y2 2 C0 y2y1 x2x1( A B)1 特殊对称轴 xyC0 直接代入法 截距 注意：截距可正、 可负，也可为 0. 点(x1， y1)与点 (x2， y2)关
10、 于直线 AxByC0 对称 高考数学理科知识点第 6 页 共 9 页 第五部分立体几何 点与线 空间点、 线、面的 位置关系 点在直线上 点在直线外 点与面 点在面内 点在面外 线与线 共面直线 异面直线 相交 平行 没有公共点 只有一个公共点 线与面 平行 相交 有公共点 没有公共点 直线在平面外 直线在平面内 面与面 平行 相交 平行关系的 相互转化 垂直关系的 相互转化 线线 平行 线面 平行 面面 平行 线线 垂直 线面 垂直 面面 垂直 空间的角 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角 范围： (0 ， 90 范围： 0 ， 90 范围： 0 ， 180 点到面的距离 直线与
11、平面的距离 平行平面之间的距离 相互之间的转化 cos |a b | |a |b| sin | a n | |a |n| cos n1 n2 |n1 | |n2 | d | a n | |n | 空间向量 空间直角坐标系 空间的距离 空间几何体 柱体 棱柱 圆柱 正棱柱、长方体、正方体 台体 棱台 圆台 锥体 棱锥 圆锥 球 三棱锥、四面体、正四面体 直观图 侧面积、表面积 三视图 体积 长对正 高平齐 宽相等 高考数学理科知识点第 7 页 共 9 页 第六部分统计与概率 统计 随机抽样 抽签法 随机数表法 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 共同特点：抽样 过程中每个个体 被抽到的可能性 （概
12、率）相等 用样本估计总体 样本频率分布 估计总体 总体密度曲线 频率分布表和频率分布直方图 茎叶图 样本数字特征 估计总体 众数、中位数、平均数 方差、标准差 变量间的相关关系 两个变量的 线性相关 散点图回归直线 正态分布 列联表（ 22）独立性分析 概率 概率的基本性质互斥事件对立事件 古典概型 几何概型 条件概率 事件的独立性 用随机模拟法求概率 常用的分布及 期望、方差 随机变量 两点分布 XB(1， p) E(X)p， D(X)p(1p) 二项分布 XB(n， p) E(X)np， D(X)np(1p) XH(N， M， n) E(X)n M N D(X)nM N() 1M N Nn
13、 N1 n 次独立重复试验恰好 发生 k 次的概率为 Pn(k)Cknpk(1p)n k 超几何分布 若 YaXb， 则 E(Y)aE(X)b D(Y)a2D(X) P(AB)P(A)P(B) P( A)1P(A) P(A B)P(A)P(B) P(B | A)P(A B) P(A) 高考数学理科知识点第 8 页 共 9 页 第七部分其他部分内容 合情推理 演绎推理 归纳 类比 三段论大前提、小前提、结论 两个原理 分类加法计算原理和分步乘法计算原理 排列与组合 排列数：A m n n! (nm)! 组合数：Cmn n! m!(nm)! 性质 CmnCn m n C m n1C m nC m1
14、 n 计算原理 二项式定理 通项公式Tr1Crnan rbr 首末两端“等距离”两项的二项式系数相等 C0nC2nC4n C1nC3nC5n 2n 1 C0nC1n Cnn2n 二项式系数性质 直接证明 综合法 分析法 由因导果 执果索因 间接证明反证法 数学归纳法 推理 证明 推理与证明 充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件 关系 条件 复合命题 或： pq 且： p q 非：p 猜想 原命题：若p 则 q逆命题：若q 则 p 否命题：若p 则q逆命题：若q 则p 互逆 互逆 互否互否 互为逆否 等价关系 一真便真 一假则假全称量词与 存在量词 简易逻辑 概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性
15、、普遍性 顺序结构 条件结构 循环结构 命题 算法语言 算法的特征 程序框图基本算法语言 算法案例辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制 复数 概念虚数、纯虚数、实部、虚部、实轴、虚轴、模、共轭复数 运算加、减、乘、除、乘方 几何意义 复数与复平面内点（向量）的对应关系、复数模的几何意义 高考数学理科知识点第 9 页 共 9 页 的基础上礼， 不但讲制度、讲规范， 还要讲带着仁爱之心去执行这些规范；孔子的 “仁”是在“礼”指导下的仁，是以君君、臣臣、父父、子子和等级制度为前提和目的的仁爱， 不是无差别的兼爱、博爱。练习1、阅读论语中的一段文字， 然后回答问题。（4 分）子路曰： “卫君待子
16、而为政，子将奚先？” 子曰： “必也正名乎！”子路曰： “有是哉， 子 之迂也！奚其正？”子曰： “野哉，由也！君子于其所不知，盖阙如也。名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不 中， 则民无所错手足。故君子名之必可言也，言之必可行也。君子于其言， 无所苟而已矣。” （13.3） 1）根据子路的话可以看出子路怎样的性格？（1（2）为什么孔子那么强调“正名”的重要性？（3 分） 参考答案 1）子路对孔子的回答不苟同，并且说孔子的观点何其迂腐，表现了他直率、淳朴的性格。 （2）孔子所处的年代，虽然周天子尚在，但礼乐已崩坏，当时的社会现实（实）已不符合西周
17、的制度 （名） 。孔子认为这些 “实”的变化是不应该的， “名”和“实” 混乱， 社会就会引起混乱，礼乐就不能复兴，因此， 他要用“名”（周礼的规定）去纠正已经改变或正在改变的“实” ， “正名” ， 实际上是解决治国的指导思想问题。 2、阅读论语中的一段文字，然后回答问题。（4 分）材料 1：颜渊问仁。子曰： “克己复礼为仁。一日克己复礼，天下归人 焉。为人由己， 而由人乎哉？”颜渊曰：“请问其目。”子曰： “非礼勿视，非礼勿听， 非礼勿言， 非礼勿动。”颜渊曰： “回虽不敏， 请事斯语矣。” （13.3）2：他日， 又独立， 鲤趋而过庭。曰： “学礼乎？” 对曰： “未也。 “不学礼，无以
18、立。”鲤退而学礼。（16.3）材料 3：子曰： “礼云礼云，玉帛云乎哉？乐云乐云，钟鼓云乎哉？”（17.11 ） 4：子夏问孝。子曰： “色难。有事， 弟子服其劳，有酒食， 先生馔， 曾是以为孝乎？”（2.8 ） 5：祭如在， 祭神如神在。子曰： “吾不与祭，如不祭。” （3.12 ）（译：祭祖就如同祖先真的在面前，祭神就好像神灵真的在面前。孔子说， “ 我 不参加祭祀，就和没有举行祭祀一样。” ） 根据以上几段文字，谈一谈你对孔子的“礼”的理解。参考答案： （1）礼并不只有钟鼓玉帛等外在形式，还有决定、支配这些形式的内核。这个内核就是仁。孔子的礼就是建立在仁的基础上的礼，不但讲制度、讲规范，
19、还 要讲带着仁爱之心去执行这些规范。2）对于个人而言，礼是一个人立足于社会的根本，是一种自身修养，既包括内 在道德水平，又包括外在礼仪。（3）遵循礼义， 不应只表现在形式上，而且要发自内心，讲究诚意。例如， 当子女尽孝，最不容易的就是对父母和颜悦色；祭祀祖先神灵，好像祖先神灵真的在那里。3、阅读论语中的几段文字， 然后回答问题。（4 分）宰我问：“三年之丧，期已可矣。君子三年不为礼，礼必坏；三年不为 乐，乐必崩。旧谷既没，新谷既升，钻燧改火，期已可矣。”子曰： “食夫稻，衣夫锦，于女安乎？” 曰： “安。” “女安则为之。夫 君子之居丧，食旨不甘，闻乐不乐，居处不安，故不为也。今女安，则为之。
20、”宰我出。子曰： “予之不仁也！子生三年，然后免于父母之 怀。夫三年之丧，天下之通丧也。予也有三年之爱于其父母乎？”宰我主张守孝一年，而孔子主张守孝三年。你怎么看待这个问题？请说明理 由。参考答案 （1）赞同孔子的观点。理由： a、子女出生3 年才能脱离父母，所以父母死后，子女也要守孝3 年。 b、 “孝”是“仁”和“礼”里的重要内容，孝 敬父母是对一个人最基本的道德要求。2）赞同宰我的观点 A、影响礼乐。因为“三年不为礼，礼必坏；三年不为乐，乐必崩”。B、影响农业生产劳动。 （3）都不大赞同。不主张守孝。理由： A、首先要明确古人是怎么守孝的。古人要求在家守孝或在父母坟头筑房守孝三年。 B、
21、现代 还这么守孝会影响工作。 C、守孝关键在于心诚，只要心诚，异地守孝也是一样的。 D、儒家主张“仁” ， “孝”是“仁”重要内容，忠于国家为人民 做贡献，是“仁”更重要的内容。古人就有“忠孝有两全”的说法，当“孝”与“忠”发生冲突的时候，要求首先选择“忠”，看来忠于国家人民比守孝更为重 要。 四、知其不可而为之文化思想 “知其不可而为之”反映了追求理想的执着精神和牺牲精神（献身精神）。但对这种精神要具体分析。首先， 行为的目的是什么，是逆潮流而动，还是为了 正义事业和崇高理想。为了正义事业的“知其不可而为之”的精神，在精神境界上达到常人罕至的高度，其理想主义的光芒照耀着人类精神的大道，对群众
22、的动员作用 和榜样作用也不可低估。其次， 从斗争策略来说，要重视保存和积蓄力量，不 应做无谓的牺牲。但同时我们要认识到，孔子的周游用世，循礼卫道， 是一种替天行道的社会责任感， 是建功立业、名垂青史的人生追求，是从政的强烈自信，是道德勇气，是担当情怀，具有积极意义，成为后世许多知识分子的楷模。 练习1、阅读论语中的一段文字，然后回答问题。（4 分） （省参考卷题目） 问于桀溺。桀溺曰： “子为谁？”曰：“为仲由。”曰： “是鲁孔丘之徒与？”对曰：“然。”曰： “滔滔者，天下皆是也，而谁以易之？且而与其从辟人 之士也， 岂若从辟世之士哉？”耰而不辍。夫子怃然曰： “鸟兽不可与同群，吾非斯人之徒与
23、而谁与？天下有道，丘不与易 也。”桀溺和孔子的言论表达了他们对现实截然不同的观点态度。 1）你认为楚狂接舆会赞成谁的观点？颜回会赞成谁的观点？（1 分）（2）你赞成谁的观点？为什么？（3 分） 参考答案：1）楚狂接舆会赞成桀溺的观点，颜回会赞成孔子的观点。 （2）赞成孔子的观点。a、孔子主张积极入世，改革社会是一种以天下为己任的责任感。 b、 “知其不 可而为之”是一种奉献和牺牲精神。c、身处乱世之中，如果人人都能“以天下为 己任” ， ， 那么乱世就会变成盛世。赞成桀溺的观点。 a、乱世中， 不能靠一个人的力量来改变社会，这是必须正视的现实，这一点上不能自欺欺人。b、洁身自好、修身养性、保存
24、实力，以待治世，这在乱中不失为一 种以退为进的方法。c、明知不可为而为之，精神虽然可嘉，但事实上是时间与精力的无谓浪费。 只要观点明确，言之成理，且理由到少两点，即可给满分。2、下面是论语中的选段，请阅读后完成有关题目。（4 分） 子路曰：“不仕无义。长幼之节，不可废也；君臣之义，如之何其废之？欲洁其身， 而乱大伦。君子之仕也，行其义也；道之不行，已知之矣。” 1）对于子路的观点，孔子是否认同？请简要说明理由。（2）对“君子之仕也，行其义也”这一观点，你怎么看待？ 参考答案：（1） 对于子路的观点， 孔子完全认同。这正是孔子一贯的思想主张。他 认为君臣之义是大义，长幼之节是小节，君子要行大义。
25、尽管自己的政治主张不会被采纳，还坚定地认为君子出来做官是做他应该做的事，这便是孔子“知其不可而为 之”的精神。（注： “子路曰” ， 宋初写本作“子路反，子曰” 。就认定这句话就是孔子说的。） （2）有值得肯定的一面，也有局限性。首先， 倡导君子学有所长，就出来为社会做事，为改革社会现状而努力，这对于促进社会进步是有益的，当然值得肯定。 但是把出仕与建立君臣关系等同起来，认为一个人出来做官就是“售于帝王家” ， 有很大的思想局限性。 3. 阅读论语中的一段文字，然后回答问题。（4 分）陈成子弑简公。孔子沐浴而朝， 告于哀公曰： “陈恒弑其君， 请讨之。” 公曰： “告夫三子！”孔子曰：“以吾从大夫之后，不敢不告也。君曰告夫三子 者！ ” 之三子告， 不可。孔子曰： “以吾从大夫之后，不敢不告也。” （14.21 ）（1）对陈成子弑君一事，孔子在报告时为什么要“沐浴而朝”？ 2）报告无效后为什么反复申说自己“不敢不告”？这反映了孔子怎样的心情？参考答案： （1） “沐浴而朝”说明孔子对这件事的重视。2 “不敢不告”说明孔子一方面仍用大夫的政治责任要求自己，表现他对周礼的虔 诚；另一方面也说明孔子对鲁国君臣实现自己的要求原本就没有抱多大希望，孔子的举动带有“谋事在人，成事在天”和“知其不可而为之”的意味。反复申说“不敢不 告” ， 反映了孔子无可奈何的心情。