高考数学第一轮复习精品试题：平面向量.pdf

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1、高考数学第一轮复习精品试题：平面向量必修 4 第 2 章平面向量 2.1 向量的概念及其表示重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系考纲要求：了解向量的实际背景理解平面向量的概念及向量相等的含义理解向量的几何表示经典例题：下列命题正确的是（） A.与共线，与共线，则与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量与不共线，则与都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习： 1.下列各量中是向量的是( ) A.密度B.体积C.重力D.质量 2 下

2、列说法中正确的是（） A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零D.共线向量是在一条直线上的向量 3设 O 是正方形ABCD的中心，则向量 AO uuu r 、OB uuu r 、CO uuu r 、OD uuu r 是（） A平行向量B有相同终点的向量 C相等的向量D模都相同的向量 4.下列结论中 ,正确的是( ) A. 零向量只有大小没有方向B. 对任一向量 a ,| a |0 总是成立的 C. | |AB =| BA| D. | |AB 与线段 BA的长度不相等 5.若四边形ABCD是矩形 ,则下列命题中不正确的是( ) A. AB与

3、CD共线B. AC与BD相等 C. AD 与 CB 是相反向量D. AB与 CD 模相等 6已知 O 是正方形ABCD对角线的交点，在以 O， A， B， C， D 这 5 点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，（1）与 BC uuu r 相等的向量有；（2）与 OB uuu r 长度相等的向量有；（3）与DA uuu r 共线的向量有 7在平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共线向量一定相等；相等向量一定共线；长度相等的向量是相等向量；平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是并对你的判断举例说 AB C E D F O

4、明 8如图，O 是正方形ABCD对角线的交点，四边形 OAED， OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：（1）与 AO uu u r 相等的向量有；（2）写出与 AO uuu r 共线的向有；（3）写出与 AO uuu r 的模相等的有；（4）向量 AO u uu r 与CO uuu r 是否相等？答 9O 是正六边形ABCDE的中心，且 OAa uuu r ， OBb uuu r ， ABc uuu r ，在以 A， B， C， D， E， O 为端点的向量中：（1）与 a 相等的向量有；（2）与b相等的向量有；（3）与 c 相等的向量有 10在如图所示的向量 a，b，c

5、，d ， e中（小正方形的边长为 1），是否存在：（1）是共线向量的有；（2）是相反向量的为；（3）相等向量的的；（4）模相等的向量 11如图，ABC 中，D， E， F分别是边BC， AB， CA的中点，在以 A、B、C、D、 E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，（1）与向量 FE uuu r 共线的有（2）与向量DF uuu r 的模相等的有（3）与向量ED uuu r 相等的有 12如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“ 马” ，开始下棋时，它位于 A 点，这只 “ 马” 第一步有几种可能的走法？试在图中画出来若它位于图中的 P点，这只 “ 马” 第一步有几

6、种可能的走法？它能否从点A 走到与它相邻的B？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？必修 4 第 2 章平面向量 2.2 向量的线性运算重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件考纲要求：掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义 A BCD E F O A B C DE F 掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其

7、几何意义经典例题：如图，已知点 ,D E F 分别是 ABC三边 ,AB BC CA 的中点，求证： 0EAFBDC uu u ruuu ruuu rr 当堂练习： 1a、 b 为非零向量，且 | |a bab ，则（） Aa与 b方向相同 Ba b Ca b Da与b方向相反 2设 ()() u uu ruuu ru uu ruuu r ABCDBCDAa ，而b是一非零向量，则下列各结论： /ab； aba；abb； abab ，其中正确的是（） ABCD 33在 ABC中，D、E、F分别 BC、CA、AB的中点，点 M 是 ABC的重心，则 MCMBMA 等于（） A O B

8、MD4 C MF4 D ME4 4已知向量 ba与反向，下列等式中成立的是（） A |baba B |baba C |baba D |baba 5若 abc化简 3(2 )2(3)2()abbcab （） A a BbC c D 以上都不对 6已知四边形ABCD是菱形，点 P在对角线 AC 上（不包括端点A、C），则AP uuu r = （） A ().(0,1)ABAD uuu ruuur B 2 ().(0,) 2 ABBC uuu ruuu r C ().(0,1)ABAD uuu ruuu r D 2 ().(0,) 2 ABBC uuu ruuur 7已知 | |3 uuu r

9、 OAa ， | |3 u uu r OBb ， AOB=60 ，则 |ab _。 8当非零向量 a和b满足条件时，使得 ba 平分 a 和b间的夹角。 9如图，D、E、 F分别是ABC边 AB、BC、 CA上的中点，则等式： uuu ru uu ruuu r FDDAAF0 uuu ru uuruuu r FDDEEF0 uuu ruuu ruuu r DEDABE0 uuu ru uu ruuur ADBEAF0 10 若向量 x、y满足 23,32xyaxyb ，a、b为已知向量，则x=_； y =_ 11一汽车向北行驶3 km，然后向北偏东60 方向行驶3 km，求汽车的位移.

10、 12.如图在正六边形ABCDEF中，已知：AB= a , AF = b ,试用 a、b 表示向量 BC , CD , AD，BE. 必修 4 第 2 章平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示重难点：对平面向量基本定理的理解与应用；掌握平面向量的坐标表示及其运算考纲要求：了解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面向量的加法，减法于数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件经典例题：已知点 ( ,0),(2 ,1),(2, ),(6,2)A xBxCxDx 求实数 x的值，使向量AB uu u r 与CD uuu r 共线；当向

11、量 AB uuu r 与CD uuu r 共线时，点 ,A B C D 是否在一条直线上？当堂练习： 1若向量a=(1,1),b=(1,1),c=(1,2)，则 c等于（） A 2 1 a 2 3 b B 2 1 a 2 3 b C 2 3 a 2 1 b D 2 3 a+ 2 1 b 2若向量a=(x2,3)与向量 b=(1,y+2)相等，则（） Ax=1,y=3 Bx=3,y=1 Cx=1,y=5 Dx=5,y=1 3已知向量 ),cos,(sin),4, 3(ba 且ab，则tan = （） A 4 3 B 4 3 C 3 4 D 3 4 F E D C B A 4已知ABCD的两

12、条对角线交于点E，设 1 eAB ， 2 eAD ，用 21,e e 来表示ED的表达式（） A 21 2 1 2 1 ee B 21 2 1 2 1 ee C 21 2 1 2 1 ee D 21 2 1 2 1 ee 5已知两点P（，6）、（ 3，），点 P（ 3 7 ，）分有向线段 21P P 所成的比为，则、的值为（） A 4 1 ， 8 B4 1 ， 8C 4 1 ， 8 D 4， 8 1 6 下列各组向量中： )2, 1( 1 e )5 ,3( 1 e )3, 2( 1 e)7 ,5( 2 e )10,6( 2 e ) 4 3 , 2 1 ( 2 e

13、有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是（） ABCD 7若向量 a =（2， m）与 b =（ m， 8）的方向相反，则 m 的值是 8已知 a =（2， 3）， b =（-5， 6），则| a +b|= ， | a -b|= 9设 a =（2， 9）， b =（ ,6）， c =(-1,),若 a +b=c,则 = , = . 10 ABC的顶点 A(2，3)，B(4， 2)和重心 G(2， 1)，则 C 点坐标为. 11已知向量e1、e2 不共线， (1)若 AB =e1e2， BC =2e1 e2， CD =3e1 e2，求证： A、B、D 三点共线

14、 . (2)若向量 e1e2 与 e1 e2 共线，求实数的值. 12如果向量 AB=i2j,BC =i+mj,其中 i、j 分别是 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使 A、B、C 三点共线 . 必修 4 第 2 章平面向量 2.4 平面向量的数量积重难点：理解平面向量的数量积的概念，对平面向量的数量积的重要性质的理解考纲要求：理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量数量积于向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系经典例题：在 ABC中，设 , 1,3 ,

15、 2kACAB 且 ABC是直角三角形，求k的值当堂练习： 1已知 a =（3， 0）， b = （-5， 5）则 a与b 的夹角为（） A450 B、600 C、1350 D、1200 2已知 a= （ 1， -2），b = （ 5， 8）， c =（2， 3），则 a （bc）的值为（） A34 B、（34， -68）C、 -68 D、（-34， 68） 3已知 a= （ 2， 3），b = （-4， 7）则向量 a在b方向上的投影为（） A 13 B、 5 13 C、 5 65 D、 65 4已知 a=（3， -1），b =（1， 2），向量 c满足ac =

16、7，且b c ，则c的坐标是（） A （2， -1）B、（-2， 1）C、（2， 1）D、（-2， -1） 5有下面四个关系式（1）0 0 =0；（2）（ ab ）c=a（ b c）；（3）ab=ba；（4）0a=0，其中正确的个数是（） A、4 B、3 C、2 D、1 6已知 a= （ m-2， m+3），b = （ 2m+1， m-2）且 a与b的夹角大于 90，则实数 m （） A、m2 或 m -4 /3 B、-4/3m2 C、m2 D、m2 且 m-4/3 7已知点 A（ 1， 0）， B（3， 1）， C（2， 0）则向量 BC 与CA的夹角是。

17、 8已知 a =（1， -1）， b =（-2， 1），如果（ )()baba ，则实数 = 。 9若 | a|=2 ， |b |= 2，a与b 的夹角为 45，要使 kb-a与a垂直，则 k= 10已知 a +b=2i-8 j ， ab =-8i+16 j ，那么 ab = 11已知 2a+b=（-4， 3）， a -2b=（3， 4），求 ab 的值。 12已知点 A（1， 2）和 B（4， -1），试推断能否在y 轴上找到一点C，使ACB=900？若能，求点 C的坐标；若不能，说明理由。必修 4 第 2 章平面向量 2.5 平面向量的应用重难点：通过向量在

18、几何、物理学中的应用能提高解决实际问题的能力考纲要求：会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题于其他一些实际问题经典例题：如下图，无弹性的细绳 ,OA OB 的一端分别固定在 ,A B 处，同质量的细绳 OC 下端系着一个称盘，且使得 OBOC，试分析 ,OA OB OC 三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？ G E D CB A 当堂练习： 1 已知 A、 B、 C为三个不共线的点，P为 ABC所在平面内一点，若 ABPCPBPA ，则点 P与 ABC的位置关系是（） A、点 P在 ABC内部B、点 P在 ABC外部 C、点 P在直线 AB上D

19、、点 P在 AC 边上 2已知三点A （1， 2）， B（4， 1）， C （ 0， -1）则 ABC的形状为（） A、正三角形B、钝角三角形C、等腰直角三角形D、等腰锐角三角形 3当两人提起重量为|G| 的旅行包时，夹角为，两人用力都为 |F| ，若|F|=|G|，则的值为（） A、300 B、600 C、900 D、1200 4某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为（） A、v-a B、a-v C、v+a D、 v 5一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300 角，则水流速度为km/h

20、。 6两个粒子a， b 从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为 Sa= （3， -4）， Sb= （4， 3），（1）此时粒子b 相对于粒子a 的位移；（2）求 S在 Sa方向上的投影。 7 如图，点 P是线段 AB上的一点，且 APPB=m n ，点 O是直线 AB外一点，设OA uu u r a， OB u uu r b，试用 , , ,m na b 的运算式表示向量 OP uuu r b a O P B A 8如图，ABC中，D， E分别是 BC， AC 的中点，设 AD 与 BE相交于 G，求证： AG GD=BGGE=21 9如图，O

21、是 ABC外任一点，若 1 () 3 OGOAOBOC u uu ruu u ruuu ruuu r ，求证： G 是 ABC重心 G C O B A （即三条边上中线的交点） 10一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10mile 处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东750，以 9mile/h的速度向前航行，货船以 21mile/h 的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货的位移。必修 4 第 2 章平面向量 2.6 平面向量单元测试 1在矩形ABCD中，O 是对角线的交点，若 OCeDCeBC则 21 3,5 = （） A )35( 2 1 21

23、 5），则第四 750 A B C 东北 450 个点的坐标为（） A （1， 5）或（ 5， 5）B （1， 5）或（ 3， 5） C （5， 5）或（ 3， 5）D （1， 5）或（ 3， 5）或（ 5， 5） 6与向量 )5 ,12(d 平行的单位向量为（） A )5, 13 12 ( B ) 13 5 , 13 12 ( C ) 13 5 , 13 12 ( 或 ) 13 5 , 13 12 ( D ) 13 5 , 13 12 ( 7若 32041|ba ， 5| ,4|ba ，则 ba与的数量积为（） A10 3 B 10 3 C10 2 D10 8若将向量 )1 ,2(

24、a 围绕原点按逆时针旋转 4 得到向量 b ,则 b的坐标为 ( ） A ) 2 23 , 2 2 ( B ) 2 23 , 2 2 ( C ) 2 2 , 2 23 ( D ) 2 2 , 2 23 ( 9设 kR，下列向量中，与向量 ) 1, 1(Q 一定不平行的向量是（） A ),(kkb B ),(kkc C ) 1, 1( 22 kkd D ) 1, 1( 22 kke 10已知 12| ,10|ba ，且 1 (3 ) ()36 5 ab rr g ，则 ba与的夹角为（） A60B120C135D150 11非零向量 |,bababa满足，则 ba, 的夹角为. 12

25、在四边形ABCD中，若 |,bababADaAB且 ,则四边形ABCD的形状是 13已知 )2, 3(a ， ) 1, 2(b ，若 baba与平行，则 = . 14 已知 e为单位向量，| a =4， ea与的夹角为 3 2 ，则 ea在方向上的投影为. 15已知非零向量 ba, 满足 |baba ,求证 : ba 16已知在 ABC中， )3 ,2(AB ， ), 1(kAC 且 ABC中 C为直角，求 k 的值 . 17、设 21,e e 是两个不共线的向量， 212121 2,3,2eeCDeeCBekeAB ，若 A、 B、D 三点共线，求 k 的值 . 18已知 2|

26、 a3|b , ba与的夹角为60o, bac35 , bkad3 ,当当实数 k为何值时，c d dc 19如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证： PA=EF ； PAEF. 20如图，矩形 ABCD内接于半径为r 的圆 O，点 P是圆周上任意一点，求证： PA2+PB2+PC2+PD2=8r2. 参考答案第 2 章平面向量 2.1 向量的概念及其表示经典例题：解：由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点

27、，所以 B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于 C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C. 当堂练习： 1.C; 2.C; 3.D; 4.C; 5.B; 6. (1) AD (2) DOCOAOBOODOCOA, (3) .,CBBCAD ; 7. ; 8.（1）BF（2） BFCODE, （3） CFBFCOBODODEAE, （ 4）不相等; 9. （ 1） CBDO, （2） DCE

28、O, （3） EDOC, ; 10. （1） da, （2） da, （3）不存在（4） da, ， c ; 11. （1） CBBCCDDCDBBD, （2） CEECEAAE, （ 3） AFFB, ; 12. 3 种，8 种，可以（转化为相邻两个中的互跳）; 2.2 向量的线性运算经典例题：证明：连结 ,DE EF FD 因为 ,D E F 分别是 ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形由向量加法的平行四边形法则，得 EDEFEA uu u ruu u ruu u r （ 1），同理在平行四边形BEFD中， FDFEFB uuu ruuu ruuu r (2)，

29、在平行四边形 CFDE在中，DFDEDC uu u ruuu ruu u r (3) 将（ 1）(2) (3)相加，得 EAFBDCEDEFFDFEDEDF u u u ruu u ruu u ruuu ruu u ruuu ruuu ruuu ruu u r ()()()EFFEEDDEFDDF u uu ruuu ruuu ru uu ru uu ru uu r 0 r 当堂练习： 1.C; 2.D; 3.A; 4.C; 5.D; 6.A; 7. 3; 8. |ba ; 9. ， ; 10. （1） da, （2） da, （ 3）不存在（ 4） da, ， c ; 11. 北偏东 30

30、方向，大小为 3 3 km 12. baAFABBOABAOBC ； bAFCD ； baBCAD22 ； bAFBE22 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示经典例题：解（1） ( ,1)ABx uuu r ， (4, )CDx uuu r /ABCD uuu ru uu r Q ， 2 4,2xx （2）由已知得 (22 ,1)BCx x uuu r 当 2x 时， ( 2,1)BC uuu r ， (2,1)AB uuu r ， AB uuu r 和 BC uuu r 不平行，此时 ,A B C D 不在一条直线上；当 2x 时， (6,3)BC uu u r ， ( 2,1)

31、AB u uu r AB uuu r / BC uuu r ，此时 ,A B C 三点共线又 /ABCD u uu ruuu r Q ， ,A B C D 四点在一条直线上综上当 2x 时， ,A B C D 四点在一条直线上当堂练习： 1.B; 2.B; 3.A; 4.B; 5.D; 6.A; 7. -4; 8. 3 58,10 ; 9. -3， 15; 10. (8,-4); 11解析： (1) BD=BC +CD=2e1-8e2+3(e1+e2) e1-5e2 AB BD与AB共线又直线 BD 与 AB有公共点B，A、B、D 三点共线 (2) e1-e2 与 e1-e2 共线

32、存在实数k，使 e1 e2（ e1 e2），化简得（）e1+(k )e20 e1、e2 不共线，由平面向量的基本定理可知：且解得，故 12解法一： A、B、C 三点共线即 AB、BC共线存在实数使得 ABBC 即 i-2j=（ i+mj）于是 2 1 m 即 m=2 时，A、B、 C三点共线 . 解法二：依题意知：i=(1,0),j=(0,1) 则AB=(1,0)-2(0,1)=(1,-2), BC =(1,0)+m(0,1)=(1,m) 而AB、BC共线（）故当 m=2 时，A、B、C三点共线 . 2.4 平面向量的数量积经典例题：解：若 ,90 0 A 则 ACAB ，于

33、是 0312k 解得 3 2 k ；若 ,90 0 B 则 BCAB ，又 ,3, 1 kABACBC 故得 03312k ，解得 3 11 k ；若 ,90 0 C 则 BCAC ，故 0311kk ，解得 2 133 k 所求k的值为 3 2 或 3 11 或 2 133 当堂练习： 1.C; 2.B; 3.C; 4.A; 5.D; 6.B; 7. 450; 8. 2 51 ; 9.2; 10. - 63; 11. a=(-1,2) b =(-2,-1) ab =0 12. 令 C(0,y),则 AC =(-1,y-2) )1, 4(yCB 因为 ACB=900,所以 ACCB

34、? =0 ,即-4+(y-2)(-1-y)=0 y2-y+2=0,此方程无实数解,所以这样的点不存在 . 2.5 平面向量的应用经典例题：解：设 ,OA OB OC 三根绳子所受力分别是 , ,a b c r r r ，则 0abc rrrr ， ,a b r r 的合力为 ,| | |cab cc u rrru rr ，如上右图，在平行四边形 OB C A 中，因为 ,OBOCB COA u uu u ruu uu r uuuuu ru uu u r ，所以 | | |,| |OAOBOAOC uuu u ruuu u ru uu u ruu uu r 即 |

35、|,| |abac rrrr ，所以细绳 OA受力最大当堂练习： 1.D; 2.C; 3.D; 4.A; 5. 5 3 km/h; 6. 粒子 b 相对于粒子a 的位移为 (1,7), S在 Sa方向上的投影为 -5; 7. OP uuu r = a nm n b nm m ; 8. OP uuu r = 1 2 n mn (aa - b) ; 9.略; 10.| BC |=14,cos ABC=14 13 2.6 平面向量单元测试 1.A; 2.C; 3.B; 4.C; 5.D; 6.C; 7.A; 8.B; 9.C; 10.B; 11120；12矩形13、1142 15证： 2222

36、 babababababa 022 2222 babbaabbaa 为非零向量又ba, ba 16解： ) 3, 1() 3, 2(), 1(kkABACBC 0)3, 1(), 1(0kkBCACBCACRTC为 2 133 031 2 kkk 17 212121 432eeeeeeCBCDBD 若 A， B， D 三点共线，则 BDAB与共线， BDAB设即 2121 42eeeke 由于不共线与 21 ee 可得： 22 11 4 2 eek ee 故 8,2 k 18.若 c d 得 5 9 k 若 dc 得14 29 k 20.证: PAPCACPBPDBD, 2222 222

37、2 |2|)(| |2|)(| PAPAPCPCPAPCAC PBPDPBPDPBPDBD 0,PCPAPBPDPCPAPBPDACBD故为直径 222222 |PDPCPBPAACBD 即 2222222 844rPDPCPBPArr 19.解以 D 为原点 DC为 x 轴正方向建立直角坐标系则 A(0,1), C:(1,0) B:(1,1) ) 2 2 , 2 2 (,rrPrDP则设 ) 2 2 1, 2 2 (rrPA )0, 2 2 ( :), 2 2 , 1 (rFrE点为 ) 2 2 , 1 2 2 (rrEF 22 ) 2 2 1() 2 2 (|rrPA 22 ) 2 2 () 2 2 1(|rrEF 故EFPA EFPAEFPA0而

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