高考数学选择题之压轴题.pdf

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1、1 高考数学压轴选择题 _班_号姓名 _ 一、2019年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、 （ 2019 广东 8） 设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*” （即 对任意的abS，对于有序元素对（ab，） ， 在S中有唯一确定的元素*a b与之对 应） 若对任意的 abS， ， 有() * ab ab， 则对任意的abS， 下列等式中不恒 成立的是（） A() * a baaB()() * ab aaba C() * bbbbD() () * a bba bb 2、 （ 2019 广东 8）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点， AE的延

2、长线与CD交于点F若AC uuu r a，BD uuu r b，则AF uuu r （） A 11 42 abB 21 33 abC 11 24 abD 12 33 ab 3、 （ 2019 广东 8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线 假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为vv 乙甲和 （如图 2 所示） 那么对于图中给定的 01 tt和， 下列判断中一定正确的是（） A在 1 t时刻，甲车在乙车前面B 1 t时刻后，甲车在乙车后面 C在 0 t时刻，两车的位置相同D 0 t时刻后，乙车在甲车前面 4、 （ 2019 广东 8）为了迎接2019 年广州亚运会，某大楼安装5 个

3、彩灯，它们闪亮的顺序 不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这 5 个彩灯闪亮的颜 色各不相同，记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只 有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5 秒。 如果要实现所有不同的闪烁，那 么需要的时间至少是（） A1205 秒B1200 秒C1195 秒D1190 秒 5、 （ 2019 广东） 8.,., ,., , ,. :( ) A. T,V B.T,V C. T,V SZa bSabSST VZ TVZa b cTabcTx y zVxyzVU 设 是整数集的非空子集如果有则称 关于数的乘法是封闭的若是

4、 的两个不相交的非空子集且有有 则下列结论恒成立的是 中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭 中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭 6、（2019 广东 8） 对任意两个非零的平面向量和， 定义 g o g ； 若平面向量,a b r r 2 满足0ab rr ，a r 与b r 的夹角(0,) 4 ， 且,a b b a rr rr oo都在集合 2 n nZ 中，则 a b rr o( ) ()A 1 2 ()B1()C()D 7、 （ 2019 广东 8） 设整数4n, 集合1,2,3, ,XnL. 令集合 , ,| , ,Sx y zx y z

5、Xxyz yzx zxy且三条件恰有一个成立, 若 , ,x y z和,z w x都在S中, 则下列选项正确的是( ) A . , ,y z wS, ,x y wS B., ,y z wS, ,x y wS C., ,y z wS, ,x y wS D., ,y z wS, ,x y wS 三、高考数学压轴选择题的基本类型及策略 1、即时定义的新概念题 策略：紧跟定义，恰当方法，合情推理，得出结论 . 例 1（2019 年福建理10）设 S， T， 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到 T 的函 数( )yf x满足：( )( ) |;()i Tf xxSii对任意 12 ,x xS当

6、 12 xx时，恒有 12 ()()f xf x， 那么称这两个集合“ 保序同构 ” 以下集合对不是“ 保序同构 ” 的是 （） A * ,ANBN B| 13,|8010AxxBx xx或 C|01 ,AxxBRD,AZ BQ 例 2 （2019 年浙江理10）在空间中，过点A作平面的垂线，垂足为B， 记)(AfB 。 设,是两个不同的平面，对空间任意一点P，)(),( 21 PffQPffQ, 恒有 21 PQPQ， 则 A平面与平面垂直B. 平面与平面所成的（锐）二面角为 0 45 C. 平面与平面平行D.平面与平面所成 的（锐）二面角为 0 60 例 3（2019 陕西理 10.）设

7、x表示不大于x 的最大整数 , 则对任意实数x, y, 有 (A) x x (B) 2 x 2x (C) xy xy (D) xy xy 2、创新性题 策略：利用转化与划归思想. 例 4（2019 上海理 18）在边长为1 的正六边形ABCDEF 中， 记以 A 为起点，其余顶点为 3 终点的向量分别为 12345 ,a a a aa ur u u r u u r uu r u u r ；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为 12345 ,d dddd u u r uu r uu r uu r u u r .若,m M分别为() () ijkrst aaaddd u ru u ruu ru

8、u ruu ru u r 的最小值、最大值，其 中 , , 1,2,3,4,5i j k, , , 1,2,3,4,5r s t,则,m M满足（）. (A) 0,0mM(B) 0,0mM(C) 0,0mM(D) 0,0mM 例 5 （2019 江西 10）如图，半径为 1 的半圆 O 与等边三角形ABC 夹在两平行线， 12 ,ll之 间l/ 1 l,l与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC两边相交于，两点，设弧 ? FG的 长为(0)xx，yEBBCCD， 若l从 1 l平行移动到 2 l，则函数( )yf x的 图像大致是 3、知识交汇题 策略：利用“交集”的思想.方法 例 6（201

9、9 年上海春季理24）已知A B、为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB 的垂线，垂足为N.若 2 MNAN NB u uu u ru uu r uuu r ， 其中为常数，则动点M的轨迹不可能 是（） （A）圆（B） 椭圆（C） 抛物线（D）双曲线 4、知识综合题 策略：综合利用相关知识，理顺思路，步步为营 . 例 7（ 2019 年天津理8）已知函数( )(1|)f xxa x. 设关于 x 的不等式()( )f xaf x的 解集为 A, 若 1 1 , 2 2 A, 则实数 a 的取值范围是( ) (A) 15 ,0 2 (B) 13 ,0 2 (C) 15 ,0 2 13 0,

10、2 (D) 5 2 , 1 例 8（2019 年全国 1 理 12.设 nnn A B C的三边长分别为, nnn ab c， nnn A B C的面积为 n S， 4 P B A M F y x 0 1,2,3,nL，若 11111 ,2bc bca， 111 , 22 nnnn nnnn caba aabc ，则 ( ) A. Sn为递减数列B. Sn为递增数列 C. S2n1为递增数列，S2n 为递减数列D. S2n1为递减数列， S2n 为递增数列 例 9 （2019年湖南理 8） 在等腰直角三角形ABC中，=4AB AC， 点P是边 AB上异于,A B的一点， 光线从点 P出发， 经

11、 ,BC CA发射后又回到原点P（如图1） .若光线QR经过ABC 的重心，则AP等于 ( ) A2B1C 8 3 D 4 3 例 10（2019 年安徽理10）若函数 32 ( )=+ax +b +f xxx c有极值点 1 x， 2 x， 且 11 ()=f xx， 则关于x的方程 2 3( ( ) +2a ( )+ =0f xf xb的不同实根个数是（） （A）3 （B）4 （C） 5 （ D）6 1. 已知 ABP的三个顶点在抛物线 C： 2 4xy上，F为抛物线C的焦点， 点M为AB的 中点，3PFFM uuu ruuuu r ； （1）若|3PF， 求点M的坐标； （2）求 ABP

12、面积的最大值 . 2. 已知函数( ) x f xxae=-()aR?，xR?. 已知函数( )yf x=有两个零点 12 ,x x， 且 12 xx. （）求a的取值范围；学科网 （）证明 2 1 x x 随着a的减小而增大； （）证明 12 xx+随着a的减小而增大 . 3. （本题满分18 分）本题共3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分9 分. 5 已知数列 n a满足 11 1 3,*,1 3 nnn aaanNa. （1）若 234 2,9aax a， 求x的取值范围； （2）若 n a是公比为q等比数列， 12nn SaaaL， zxxk

13、1 1 3,*, 3 nnn SSS nN求q的取值范围； （3）若 12 , k a aaL成等差数列，且 12 1000 k aaaL， 学科网求正整数k的 最大值，以及k取最大值时相应数列 12,ka aaL的公差 . 4. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ， 直线 yx被椭圆C截得的线段长为 4 10 5 . （）求椭圆C的方程； （II ）过原点的直线与椭圆C 交于 A， B 两点（ A， B 不是椭圆C 的顶点） . 点 D 在椭圆 C 上，且ADAB， 直线 BD 与x轴、y轴分别交于M， N 两点 . （i）设直线

14、 BD ， AM 的斜率分别为 12 ,k k， 证明存在常数使得 12 kk， 并 求出的值； （ii ）求OMN面积的最大值. 5. （本小题满分10 分）选修4-5；不等式选讲 若,0, 0 ba且ab ba 11 （I）求 33 ba的最小值； （II ）是否存在ba,， 使得632ba？并说明理由 . 6. 设函数( )2 |1|1f xxx， 2 ( )1681g xxx， 记( )1f x的解集为 M， ( )4g x的解集为N. （）求M； （）当xMNI时，证明： 22 1 ( )( ) 4 x f xx f x. 6 7. 将连续正整数1,2, (*)n nNL从小到大排列

15、构成一个数学科网123nL，( )F n为 这个数的位数（如12n时，此数为123456789101112， 共有 15 个数字， (12)15f） ， 现从这个数中随机取一个数字，( )p n为恰好取到0 的概率 . （1）求(100)p； （2）当2014n时，求( )F n的表达式； （3）令( )g n为这个数字0 的个数，( )f n为这个数中数字9 的个数， ( )( )( )h nf ng n，| ( )1,100,*Sn h nnnN， 求当nS时( )p n的最 大值 . 8. 选修 4-5：不等式选讲 设函数 1 ( )|(0)f xxxaa a （ 1）证明：( )2fx

16、； （ 2）若(3)5f， 求a的取值范围 . 9. 已知常数 2 0,( )ln(1). 2 x af xax x 函数 （1）讨论( )f x在区间(0,)上的单调性； （2）若( )f x存在学科网两个极值点 12 ,x x且 12 ()()0,f xf x求a的 zxxk 取值范 围 10. 函数 f(x)=ax3+3x2+3x(a0). （1）讨论函数f(x)的单调性； （2）若函数f(x)在区间（ 1， 2）是增函数，求 a 的取值范围 . 一、圆锥曲线中的定值问题 椭圆C： x2 a2 y2 b2 1（ a b 0）的 离 心率 e 3 2 ，a b 3 （ ） 求 椭 圆 C

17、的 方 程 ； （ ） 如 图，A，B，D 是椭 圆 C 的 顶点 ，P 是椭圆C 上除顶 点外的任意点，直 线 DP 交 x 轴 于点N 直 线 AD 交 BP 于 点 M， 设 BP 的斜率 为 k， MN 的斜 率为m， 证 明 2m k 为 定 值 7 如图 ，椭 圆 C： x2 a 2 y2 b2 1（ a b 0）经 过 点 P（ 1， 3 2） ， 离心 率 e 1 2， 直 线 l 的方 程 为 x 4 （ ） 求 椭 圆 C 的 方 程 ； （ ）AB 是经过右焦点 F 的任 一弦（不经过点P） ，设直 线 AB 与 直线l 相交 于 点 M，记 PA， PB ，PM 的斜率

18、 分别为k1，k2，k3问 ： 是否存 在 常数 ，使 得 k1 k2 k3？若 存在 ，求 的值 ；若不存在，说 明理由 椭 圆 C： x2 a2 y2 b2 1（ a b 0）的 左 右 焦 点 分 别 是 F 1， F2，离 心 率 为 3 2 ，过 F1且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 被 椭 圆 C 截 得 的 线 段 长 为 1 （ ） 求 椭 圆 C 的 方 程 ； （ ） 点 P 是 椭 圆 C 上 除 长 轴 端 点 外 的 任 一 点 ，连 接 PF1，PF2，设 F1PF2的 角 平 分 线 PM 交 C 的 长 轴 于 点 M（ m，0） ，求 m 的 取 值 范 围

19、 ； （ ）在（ 2）的 条 件 下 ，过 点 P 作 斜 率 为 k 的 直 线 l，使 得 l 与 椭 圆 C 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ，设 直 线 PF1，PF2的 斜 率 分 别 为 k1，k2，若 k 0，试 证 明 1 kk1 1 kk2为 定 值 ， 并 求 出 这 个 定 值 如图，已知双曲线C： x2 a2 y 2 1（ a 0）的 右焦 点为 F，点 A，B 分 别 在 C 的两 条渐近 线 AF x 轴 ，AB OB，BF OA（ O 为坐标原点） （ ） 求 双曲线C 的 方 程 ； （ ） 过 C 上 一 点 P（ x0，y0） （ y0 0） 的 直线l

20、： x0x a2 y0y 1 与 直 线 AF 相 交于点M，与 直 线 x 3 2相 交于点 N 证 明 ： 当 点 P 在 C 上 移动时， |MF| |NF|恒为定 值 ，并 求此 定 值 二、圆锥曲线中的最值问题 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C： x2 a2 y2 b2 1（ a b 0）的离心率为 3 2 ，直线 y x 被椭 圆 C 截得的线段长为 410 5 （）求椭圆C 的方程； （）过原点的直线与椭圆C 交于 A，B 两点（ A，B 不是椭圆C 的顶点） 点 D 在椭圆C 上， 8 且 ADAB，直线BD 与 x 轴、 y 轴分别交于M， N 两点 （i ）设直线BD

21、，AM 的斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得 k1 k2，并求出的值； （ii ）求 OMN 面积的最大值 已知抛物线C： y22px（p0）的焦点为F， A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直 线 l 交 C 于另一点B， 交 x 轴的正半轴于点D ， 且有 |FA| |FD | 当点A的横坐标为3 时， ADF 为正三角形 （）求C 的方程； （）若直线l1l，且 l1和 C 有且只有一个公共点E， （）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标； （）ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 如 图 ，O 为 坐 标 原 点 ，椭 圆 C1： x2

22、 a2 y2 b2 1（ab 0）的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1， F2，离 心 率 为 e1； 双 曲 线 C2： x2 a2 y 2 b21 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 3，F4，离 心 率 为 e2， 已 知 e1e2 3 2 ，且 |F2F4|3 1 （ ） 求 C1、 C2的 方 程 ； （ ） 过 F1作 C1的 不 垂 直 于 y 轴 的 弦 AB ，M 为 AB 的 中 点 ，当 直 线 OM 与 C2交 于 P，Q 两 点 时 ，求 四 边 形 APB Q 面 积 的 最 小 值 如 图 ，点 P（ 0， 1） 是 椭 圆 C1： x2 a2 y2 b

23、2 1（ab 0）的 一 个 顶 点 ， C1的 长 轴 是 圆 C2： x2 y2 4 的 直 径 ，l1，l2是 过 点 P 且 互 相 垂 直 的 两 条 直 线 ，其 中 l1交 圆 C2于 A、 B 两 点 ，l2交 椭 圆 C1于 另 一 点 D （ ） 求 椭 圆 C1的 方 程 ； （ ） 求 ABD 面 积 的 最 大 值 时 直 线 l1的 方 程 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ，F 是 抛 物 线 C ： x2 2py（ p 0） 的 焦 点 ，M 是 抛 物 线 C 上 位 于 第 一 象 限 内 的 任 意 一 点 ，过 M，F，O 三 点 的 圆 的

24、圆 心 为 Q，点 Q 到 抛 物 线 C 的 准 线 的 距 离 为 3 4 （ ） 求 抛 物 线 C 的 方 程 ； （ ）是 否 存 在 点 M，使 得 直 线 MQ 与 抛 物 线 C 相 切 于 点 M？ 若 存 在 ，求 出 点 M 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ，说 明 理 由 ； x O y B l1 l2 P D A 9 （ ） 若 点 M 的 横 坐 标 为2，直 线 l： y kx 1 4与 抛 物 线 C 有 两 个 不 同 的 交 点 A， B，l 与 圆 Q 有 两 个 不 同 的 交 点 D ，E，求 当 1 2 k 2 时 ， |AB |2 |DE |2的

25、最 小 值 三、圆锥曲线与过定点（定直线）问题 设椭 圆 E： x 2 a2 y2 1a2 1 的 焦 点 在 x 轴 上 （）若椭 圆 E 的焦 距为1，求 椭 圆 E 的方程； （）设F1，F2分 别 是 椭 圆 E 的左、右焦点 ，P 为椭 圆 E 上第一象限内的点，直线 F2P 交 y 轴 于点Q，并 且 F1PF1Q，证 明 ：当a 变 化 时 ，点 P 在某定直线上 四、圆锥曲线与求参数 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ，已 知 椭 圆 C 的 中 心 在 原 点 O，焦 点 在 x 轴 上 ，短 轴 长 为 2，离 心 率 为 2 2 （）求椭 圆 C 的 方 程 ；

26、 （） A，B 为 椭 圆 C 上 满 足 AOB 的 面 积 为 6 4 的 任 意 两 点 ，E 为 线 段 AB 的 中 点 ，射 线 OE 交 椭 圆 C 与 点 P，设 OP tOE ，求 实 数 t 的 值 已知三点 O（ 0，0） ，A（ 2，1） ，B（ 2，1） ，曲线 C 上 任 意 一点M（ x，y）满 足 |MA MB | OM (OA +OB ) 2 （ ） 求 曲线 C 的 方 程 ； （ ）动 点 Q（ x0，y0） （ 2 x0 2）在曲 线 C 上 ，曲 线 C 在 点 Q 处的切 线为l 向：是否存 在定 点 P（ 0，t） （ t 0） ，使 得 l 与

27、PA，PB 都 不 相交 ，交点 分别为D ，E，且 QAB 与 PDE 的 面积之比是常数？若存在 ，求 t 的值 若不存在，说 明理由 五、存在性问题 如图，已知椭圆 x2 a2 y2 b2 1（ a b 0）过点 (1， 2 2 )，离心率为 2 2 ，左、右焦点分别为 F1、F2点 P 为直线l ：x y 2 上且不在x 轴上的任意一点，直线PF1和 PF2与椭圆的交点分 别为 A、 B 和 C、 D，O 为坐标原点 （ ） 求椭圆的标准方程； （ ） 设直线PF1、 PF2的斜线分别为k1、 k2 证明： 1 k1 3 k2 2； 问直线l 上是否存在点P，使得直线OA 、OB、 O

28、C、 OD 的斜率kOA、 kOB、 kOC、 kOD满足 kOA kOB kOC kOD 0？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由 10 如图，椭圆 C1： x2 a2 y2 b2 1（ab0）的离心率为 3 2 ，x 轴被曲线C2： y x2 b 截得的 线段长等于C1的长半轴长 （）求C1，C2的方程； （）设C2与 y 轴的交点为M，过坐标原点O 的直线l 与 C2相交于点A、 B，直线 MA，MB 分别与C1相交于D，E （i ）证明：MD ME； （ii ）记 MAB ，MDE 的面积分别是S1，S2问：是否存在直线l，使得 S1 S2 17 32 ？请说明理

29、 由 六、轨迹方程 已 知 椭 圆 C： x2 a2 y2 b 2 1（ a b 0）的 两 个 焦 点 分 别 为 F1（ 1， 0） ，F2（ 1，0） ，且 椭 圆 C 经 过 点 P（ 4 3， 1 3） （ ） 求 椭 圆 C 的 离 心 率 ； （ ） 设 过 点 A（ 0，2） 的 直 线 l 与 椭 圆 C 交 于 M ，N 两 点 ，点 Q 是 线 段 MN 上 的 点 ， 且 2 |AQ|2 1 |AM| 2 1 |AN|2， 求 点 Q 的 轨 迹 方 程 如 图 ，抛 物 线 C1： x2 4 y，C2： x2 2py（ p 0 ） ，点 M（ x0，y0） 在 抛 物 线 C2上 ，过 M 作 C1的 切 线 ，切 点 为 A，B（ M 为 原 点 O 时 ，A，B 重 合 于 O） ，当 x0 12时 ，切 线 MA 的 斜 率 为 1 2 （ ） 求 p 的 值 ； （ ）当M 在 C2上 运 动 时 ，求 线 段 AB 中 点 N 的 轨 迹 方 程（ A，B 重 合 于 O 时 ，中 点 为 O） A B D E M Ox y B O M A x y