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1、高考试题中的二次函数 二次函数是中学数学的基本内容，它的应用十分广泛，许多代数问题都与二 次函数有关， 或者可以化为二次函数问题来讨论。所以二次函数是高考命题的热 点。 一、弄清二次函数的概念，掌握它的图象和性质。 二次函数中，概念是基础，而图象和性质是处理有关二次函问题的有效工具。 例 1 (3)在下列各图中,y ax2 bx 与 yaxb 的图象只可能是 ( ) (86 年(9)3 分) 例 2 如果函数 f（x）=x 2+2（a-1）x +2 在区间（ - ，4上是减函数，那么 实数a的取值范围是（89年广东高考） （） A a3 B a3 C a5 D a3 例 3 已知 p 满足|l
2、og2p|2，使不等式 x 2+px+13x+p 恒在成立，求 x 的取 值范围。 （97 西安 5 月模考题） 比较问题： 当 x0，2时不等式 x 2-2mx+2m+10 恒成立，求实数 m 的取值 范围。 （2000年期末试题） 例 4 如果函数 f （x） =x 2 + bx + c 对任意实数 t 都有 f （2+t） =f （2-t） 则 （ ） A f（2）f（1）f（4）B f（1）f（2）f（4） C f（2）f （4）f （1） D f（4）f （2）f （1） 例 5 已知 f(x) 82xx2, 如果 g(x) f(2 x2), 那么 g(x)( )(89年全 国) (
3、A)在区间 (1,0) 上是减函数 (B)在区间(0,1) 上是减函数 (C) 在区间 (2,0) 上是增函数 (D)在区间(0,2) 上是增函数 二、掌握求二次函数最值的方法。 根据二次函数的的单调性及单调区间，是解有关二次函数最最佳值问题的基 本方法。 例 6 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别 得到 a1，a2，a3，an共 n 个数据。我们规定所测量的物理量的“最佳的近似值” a 是这样一个量：与其它近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小。依次规定 从 a1，a2，a3，an，推出的 a= 。 （94 年高考） 例 7 设 f（x）=|2x-3|-2，g（
4、x）=x 2-x （x0，2）求 g（f（x） ）的最大值和最 小值，并求出此时x 的值。 例 8 在 xoy 平面上给定一曲线y 2 =2x， O y y O x x y O x O x y A B C D y O x A （1） 设点 A（ 3 2 ，0） ，求曲线上距点 A 最近的点 P 之坐标及相应的 |PA|； （2）设点 A（a，0） （aR） ，求曲线上点到点A 距 离之最小值 d，并写出 d=f（a）的函数表达式。 例 9 设 f（x）=-x2+ax+ 42 1a ，x0,1的最大是 2，求实数 a的值。 三、熟练运用二次函数的图象确定一元二次方程的实根分布 数与形是数学的两个
5、表现形式， 把数的细微和形的直观有机地结合起来是解 题 的最佳途径。把函数的图象与方程的根的分布联系起来能使问题更清晰。 例 10 在直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9） ，其轨迹方程为y=ax2+c （a0） ，D=（6，7）为 x 轴上给定区间，为使物体落在D 内，求 a的取值范 围；若物体运动时又经过点P（2，8.1） ，问它是否在D 内?并说明理由。 (96 年上海高考题 ) 例 11 已知函数 y=mx 2+（m-3）x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的 右侧，求实数 m 的范围。 例 12 已知 x 的实系数二次方程x2+ax+b=0 有两个实数根 、，证明： （
6、1） 如果|2，|2，那么 2|a| 4+b 且|b|4； （2） 如果 2|a|4+b 且|b|4，那么 |2，|2。 例 13 已知 a0 且 a1，试求使方程 loga(xak)log 2 a (x 2a2)有解的 k 的取 值范围。 (89 年(22) 四、会解与二次函数有关的综合题 综合问题分解成若干个子问题，是解综合问题唯一途径。 例 14 设二次函数 f（x）=ax 2 + bx + c（a0） ，方程 f（x）- x = 0 的两个根 x 1， x2满足 0 x1x2 a 1 ， （1） 当 x（0，x1）时，证明 xf（x）x1； （2） 设函数 f（x）的图象关于直线x=x
7、0对称，证明： x0 2 1 x 。 例 15 设函数 f（x）=x2+ax+lg|a+1| （a-1，aR） （1）求证： f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数 h（x）的和， 并写出 g（x）的表达式； （2）若 f（x）和 g （x）在区间lg|a+1|，a 2上都是减函数，求 a的取值范围。 例 16 已知二次函数 f（x）满足 f（=-1）=0；且 xf（x） 2 1 （x2 +1）对于一 切实数 x 恒成立。 （1） 求 f（1） ； （2） 求 f（x）的解析表达式； （3） 求证： )1 ( 1 f + )2( 1 f + )3( 1 f + )( 1 nf 2 2
8、n n 例 17 给出定点 A（3，0） ，B（0，3）和抛物线 y=-x 2+mx-1，求 m 的范围，使 抛物线和线段 AB 恰有一个公共点。 例 18 椭圆中心为（ 2+ 2 p ，0） （p0） ，焦点在 x 轴上，半长轴，半短轴的长分 别为 2 和 1。 （1） 写出椭圆方程； （2） 若椭圆上有相异四点，各点到椭圆左顶点A 的距离，分别等于该点 到直线 x= 2 p 的距离，求 p 的取值范围。 五、会讨论与二次函数有关的应用问题 近年来高考中出现的应用题， 大多与二次函数有关。 解好这些应用题是取得 高分的有效保证。 例 19 某地区预计明年从年初开始的前x 个月内，对某种商品的
9、需求总量f（x） （万件）与月份 x 的近似关系为： f（x）= 150 1 x（x+1） （35-2x）（x N，且 x 12） （1）写出明年第 x 个月的需求量 g（x） （万件）与月份 x 的函数关系式， 并求出哪个月份的需求量超过1.4 万件； （2）如果将该商品每月都投放P 万件，要保持每月都满足供应，则P 至少 为多少万件。 例 20 一辆汽车空载时总重量w，时速 v（千米 /小时） ，则它从刹车到停车所行 走的距离 l 与 w，v 间的关系式为 l=kv 2w（k 为常数） 。当这辆汽车空车以每小时 50 千米行驶时从刹车到停车行进了10米，求载有等于自身重量的货物行驶时， 若
10、要求司机在 15 米距离内停车，并且允许司机从得到刹车指令到实施刹车时间 为 1 秒，求汽车允许的最大时速是多少？（答案精确到 1 千米/小时） （石家庄 96 年高三第二次模考） 例 21 等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2a，BC=a， BAD=45，如图所示，直线MNAD 交 AD 于 M， 交折线 ABCD 于 N，记 AM=x ，试梯形 ABCD 位于直 线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数，并写出函数的 定义域和值域。 例 22 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300 天 内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植 成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。 A D C B N H G M （I ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图二表示 的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t) ； （II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益 最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天 ）