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1、江苏省南通中学2018-2018 学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，恰 有一项 是符合题目要求的。 1已知,是平面，, ,a b c是直线，,abcabP若则 A.PcB.PcC.caD.c 2正三棱锥的高为3，侧棱长为7，那么侧面与底面所成二面角的大小是 A.60B.30C. 21 arccos 7 D. 21 arcsin 7 3.为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中 一周内丢弃的垃圾袋数量，结果如下（单位：个）：33，25，28，26，25，31.如果该班有
2、45 名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋 A.900 个B.1180 个C.1260 个D.1800 个 4.函数 432 ( )242f xxxx在区间 0,2上的最大值与最小值分别是 A. 1 8, 8 B. 1 ,0 8 C.8，0 D. 8 8, 9 5从单词“ equation”中选取五个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中 “ qu” 相连且顺序 不变 )的不同排列共有 A.120 个B.480 个C.720 个D.840 个 6从正四棱柱的六个面中，选取3 个面，其中有2 个面不相邻的选取种数为 A.20 B.16 C.12 D.8 7已知,是平面，,m
3、 n是直线 .下列命题中不正确 的是 A.若 mn，m，则nB. 若 m，n，则 mn C.若m，m，则D.若m，m，则 8.在（ 1+x） n 的展开式中，第10 项是二项式系数最大项，则n 的值是 A.18 B.17 或 19 C.19 D.17,18 或 19 9.某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4 次，且各次射击是否击中目标相 互之间没有影响.有下列结论 : 他第三次击中目标的概率是0.9; 他恰好击中目标3 次的概率是0.93 0.1; 他至少击中目标1 次的概率是1-0.14. 其中正确的结论是 A. B. C. D. 10.下图四个正方体中，每个正方体都标有线段
4、AB,CD. 设图中线段AB 与 CD 的夹 角分别为, ,则 A.B.C.D. 11三棱锥 P-ABC 的三个侧面两两垂直，PA=12,PB=16,PC=20. 若 P、A、B、C 四点在同一 个球面上，则此球面上A、B 两点之间的球面距离是 A.5 2B. 5C. 10 2D. 10 12三棱锥P-ABC 中，顶点P 在平面 ABC 的射影为O 满足OA+OB+OC=0，A 点在侧 面 PBC 上的射影H 是 PBC 的垂心， PA=6，则此三棱锥体积最大值是 A. 36 B. 48 C. 54 D. 72 二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共 24 分。不需要写出解答过程，请把
5、答案直 接填空在答题卷相应位置上 。 13观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿的体重在2700,3000)的频 率是. 14.若直线yx与曲线 32 3yxxax相切于原点，则a. 15. 甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 1 2 ，乙获胜的概率是 1 5 ，则乙不输的概率 是. 频率 组距 体重x（g） 3600 3900 3000 3300 2400 2700 0.0005 A B C D A B C D A B C D A B C D P C A D H O B 16.设 10210 01210 (23)(1)(1)(1)xaa xaxax， 则 01210 aaaa.
6、 17用棱长为a的正方体形纸箱放一棱长为1 的正四面体形零件，使其能完全放入纸箱内， 则此纸箱容积的最小值为. 18.编号为1，2，3，4，5 的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5 的五个座位上，则至 多有两个号码一致的坐法有种 . 三、解答题：本大题共5 小题，共66 分。请在答题卷指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 19 （本小题满分12 分） 求二项式 1532 ()x x 的展开式中， （1）常数项；（2）有理项；（3）整式项 . 20. （本小题满分12 分） 在某次考试中，甲、乙、丙三人合格（互不影响）的概率分别是 2 3 1 , 5 4 3 ，考
7、试结束后，最 容易出现几人合格的情况？ 21 （本小题满分14 分） 矩形 ABCD 中， AB=6 ， BC=23（如图 1） ，沿对角线BD 将 ABD 向上折起，使点A 移 至点 P，点 P 在平面 BCD 上的射影O 在 DC 上（如图2）. （1）求证： PD平面 PBC （2）求二面角 PDB C 的大小 （3）求直线 CD 与平面 PBD 所成角的大小 22 （本小题满分14 分） 东方庄家给游人准备了这样一个游戏，他制作了“迷尼游戏板”：在一块倾斜放置的矩形胶 合板上钉着一个形如等腰三角形的八行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1 行 2 个铁钉之间有1 个空隙，第2
8、行 3 个铁钉之间有2 个空隙，第 8 行 9 个铁钉之 间有8 个空隙（如图所示）.东方庄家的游戏规则是：游人在迷尼板上方口放入一球，每玩 一次（放入一球就算玩一次）先付给庄家2 元，小球到达号球槽，分别奖4 元、 2 元、 0 元、 -2 元.（一个球的滚动方式：通过第一行的空隙向下滚动，小球碰到第2 行居中 的铁钉后以相等的概率滚入第2 行的左空隙或右空隙，以后小球按类似的方式继续往下滚 图 1 图 2 C B D O P D C A B 动，落入第8 行的某一个空隙后，最后掉入迷尼板下方的相应球槽内）.用 ij a表示小球到达 第i行第j个空隙的路径数 （ 18,18, ,iji jN
9、）. 求 1,iii aa的值 试判断 ij a与 (1)(1)ij a 、 (1)ij a 的关系，（38,1, ,iji i jN） ，并用, i j表示 ij a 若一小时内有80 人次玩，求这一小时庄家赢(或赔 )多少元？ 23 （本小题满分14 分） 设 12 ,x x是函数 322 ( )( ,0) 32 ab f xxxa x a bR a的两个极值点，且 12 |2.xx （I）证明： 01a ； （II）证明： 43 | 9 b； （III ）若函数 1 ( )( )2 ()h xfxa xx，证明：当 1 2,xx且 1 0x时，| ( ) |4 .h xa 江苏省南通中学
10、2018-2018 学年度第二学期期末考试 高二数学试题参考答案及评分标准 一、 选择题 1.A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.B 8.D 9.A 10.D 11.A 12.A 二、 填空题 13.0.15 14. 1 15. 7 10 16. 1 17. 2 4 18.118 三、 解答题 19.展开式的通项为： 30 5 153 6 11515 2 ( 1)()()( 2) r rrrrrr r TCxC x x （2 分） (1)设 1r T项为常数项，则 305 0 6 r r=6,即常数项为 66 715 2TC（5 分） (2) 设 1r T 项为有理项，则 3055
11、 5 66 r r为整数，r为 6 的倍数，又015,r r 可取 0，6，12 三个数，即有理项为 123 56615 1715135 2 ,2, C TxTCT x （9 分） (3) 设 1r T 项为整式项，则 3055 5 66 r r为非负整数， r 可取 0 或 6，即整式项为 566 1715 ,2Tx TC（12 分） 20. 解按以下四种情况计算概率,概率最大的就是最容易出现的情况. 三人都合格的概率 10 1 3 1 4 3 5 2 1 P（3 分） 三人都不合格的概率为 10 1 ) 3 1 1 () 4 3 1() 5 2 1 ( 2 P（6 分） 恰有两人合格的概率
12、 60 23 3 1 4 3 ) 5 2 1( 3 1 ) 4 3 1( 5 2 ) 3 1 1( 4 3 5 2 3 P（9 分） 恰有一人合格的概率 60 25 60 23 10 1 10 1 1 4 P 由此可知，最容易出现恰有人合格的情况（12 分） 21. 证： （1） PO平面 BCD 平面 PCO平面 BCD，交线为CD 又 BCCD BC平面 BCD D O C A E B 图（ 1） D E O C B P F 图（ 2） BC平面 PCD PD平面 PCD BCPD 又 BPPD BPBC=B PD平面 PBC （4 分） （2）作 OEBD 于 E 连结 PE，则 PE
13、BD，则图（ 1）中 AE BD，A、E、O 共线 PEO 为二面角PDBC 的平面角， 在 RtABD 中， AB=6 ，AD=23 ABD=30 0 ADB=60 0 则 DAE=30 0 AE=AD cos600=3=PE AO= 0 30cos AD =4 OE=1 在 RtPOE 中， cosPEO= PE OE = 3 1 PEO=arccos 3 1 二面角PDB C 的大小为arccos 3 1 . （9 分） （3）作 CFPB，F 为垂足，连结DF DP平面 PCB 平面 PBD平面 BCP CF平面 PDB CDF 就是 CD 与平面 BDP 所成的角 在 RtPBC 中
14、， BCP=90 0，BC=2 3BP=6 PC=26CF BP=BCCP CF=22在 RtCDF 中 sinCDF= CD CF = 3 2 CDF=arcsin 3 2 CD 与平面 BDP 所成的角为arcsin 3 2 （14 分） 22 （1） 1 1 iii aa（ 2 分） （2） (1)(1)(1)ijijij aaa（ 4分） 01 211221 1,1aCaC 011 322122112 aaaCCC 1011 4231322223 122 433233223 1aaaCCCC aaaCCC 211 (1)(1)(1)221 jjj ijijijiii aaaCCC（8
15、分） （3）设小球落在i号球槽的概率为(1,2,3,4) i P i 8188 17 1 264 aa P 8287 27 7 264 aa P 8386 3 7 21 264 aa P 8485 4 7 35 264 aa P（12 分） 1234 (24)(22)(20)(22) 80225PPPP 所以庄家一小时赢钱225 元。（14 分） 23. 解： （I）证明： 22 ( )fxaxbxa 12 ,x x是函数( )f x的两个极值点， 12 ,x x是( )0fx的两个根 . 1212 , b xxxxa a （2 分） 122 1212 ()1,1 2 11,0,(4) 01
16、xx xxax x aa a 又分 （II） 2 121212 2 0. | |42 b xxaxxxxa a ，得 223 44.baa（ 6 分） 设 23 ( )44g aaa，则 2 ( )8124 (23 )g aaaaa， 由( )0g a， 得 2 0 3 a, 由( )0g a，得 2 1. 3 a ( )g a在 2 (0,) 3 上是增函数，在 2 ,1 3 上是减函数； max 216 ( )() 327 g ag， 故 4 3 |. 9 b（9 分） （III ）证明： 12 ,xx是 22 ( )fxaxbxa的两个实根， 12 ( )()().fxa xxxx 12112 ( )()()2 ()()(2),h xa xxxxa xxa xxxx 2 12 12 |2| | ( )| |2|() . 2 xxxx h xa xxxxa 111 , |.xxxxxx又 1122 0,0,0.xxxx 222 2,20, |2|2,xxxxxxx 1221 |2|24.xxxxxx故| ( ) |4 .h xa（14 分）