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1、1 畅游学海敢搏风浪誓教金榜题名。决战高考，改变命运。凌风破浪击长空，擎天揽日跃龙门 二次函数与几何图形综合 类型 1 利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题 以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据“点在图象上点的坐标满足解析式” 求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求出线段长度、三角形面积 1( 牡丹江中考 ) 如图，抛物线yax 2 2xc 经过点 A(0，3) ， B(1， 0) ，请回答下列问题： (1) 求抛物线的解析式； (2) 抛物线的顶点为D，对称轴与x 轴交于点E，连接 BD ，求 BD的长 2( 延庆县一模 ) 二次函数y
2、 x 2mxn 的图象经过点 A(1，4) ，B(1，0)，y 1 2x b 经过点 B，且与二次函 数 y x 2mxn 交于点 D. (1) 求二次函数的表达式； (2) 点 N是二次函数图象上一点( 点 N在 BD上方 ) ，过 N作 NP x轴，垂足为点P，交 BD于点 M ，求 MN的最大值 3( 磴口县校级模拟) 如图，抛物线经过A(4， 0)，B(1，0) ，C(0， 2) 三点 2 (1) 求此抛物线的解析式； (2) 在直线 AC上方的抛物线上有一点D，使得D CA的面积最大，求出点D的坐标 类型 2 二次函数图象与“线段之和最短”问题 如果两条线段有公共端点，那么直接构造“
3、线段之和最短”问题解决，如果两条线段没有公共端点，那么需要通过 平移将两条线段构造得有公共端点，然后应用“线段之和最短”问题解决 4( 随州中考改编 ) 如图，已知抛物线y 2 8 (x 2)(x 4) 与 x 轴交于点A、B(点 A位于点 B的左侧 ) ，与 y 轴交于 点 C， M为抛物线的顶点 (1) 求点 A 、B、C的坐标； (2) 设动点 N(2，n)，求使 MN BN的值最小时n 的值 3 5( 广元中考改编 ) 如图，已知抛物线y 1 m (x 2)(x m)(m0)与 x 轴相交于点A，B，与 y 轴相交于点C，且点 A 在点 B的左侧 (1) 若抛物线过点G(2，2) ，求
4、实数m的值； (2) 在(1) 的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使 AH CH最小，并求出点H的坐标 6如图，抛物线y 1 2x 2bxc 与 x 轴交于 A、B两点，与 y 轴交于点C，且 OA 2，OC 3. (1) 求抛物线的解析式 (2) 点 D(2，2) 是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得 BDP 的周长最小，若存在，请 求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 4 7( 达州中考 ) 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边 OA在 y 轴的正半轴上，OC在 x 轴的正半轴上，AOC 的平分线交AB于点 D，E为 BC的中点，已知A(0，4) ，C
5、(5，0) ，二次函数y 4 5x 2 bxc 的图象抛物线经过 A，C 两点 (1) 求该二次函数的表达式； (2)F ，G分别为 x 轴， y 轴上的动点，顺次连接D，E， F，G构成四边形DEFG ，求四边形DEFG 周长的最小值 5 参考答案 1. (1) 抛物线yax 2 2xc 经过点 A(0，3) ，B(1，0) ， c3， 0a2c. 解得 a 1， c3. 抛物线的解析式为y x 22x3. (2) y x 22x3 (x 1)24，抛物线的顶点坐标为 (1 ，4) BE 2，DE 4. BD BE 2DE22 5. 2.(1) 二次函数y x 2mxn 的图象经过点 A(1
6、，4)，B(1，0) ， 4 1m n， 0 1m n. 解得 m 2， n3. 二次函 数的表达式为y x 22x3. (2) y 1 2xb 经过点 B， 1 21b0. 解得 b 1 2. y 1 2x 1 2. 设 M(m ， 1 2m 1 2) ，则 N(m ， m 2 2m 3)， MN m 22m 3( 1 2m 1 2) m 23 2 m 5 2 (m 3 4) 249 16. MN的最大值为 49 16. 3.(1) 该抛物线过点C(0， 2) ，设该抛物线的解析式为y ax 2 bx 2. 将A(4 ， 0) ， B(1 ， 0) 代入，得 16a4b20， a b20.
7、解得 a 1 2， b 5 2. 此抛物线的解析式为y 1 2x 25 2x2. (2) 设 D点的横坐标为t(0t4)，则 D点的纵坐标为 1 2t 25 2t 2. 过 D作 y 轴的平行线交 AC于 E.由题意可求得直 线 AC的解析式为y 1 2x2. E 点的坐标为 (t ， 1 2t 2) DE 1 2t 25 2t 2( 1 2t 2) 1 2t 22t. S DCA 1 2( 1 2t 22t) 4 t24t (t 2)24. 当 t 2 时， DCA面积最大 D(2， 1) 4.(1) 令 y0，得 2 8 (x 2)(x 4)0，解得 x1 2，x24；令 x0，得 y2.
8、 A( 2，0)、B(4，0)、C(0， 2) (2) 过点 A(2，0)作 y 轴的平行线l ，则点 B关于 l 的对称点B( 8，0) ，又 M(1， 9 8 2) ，连接 BM与 l 的交 点即为使MN BN值最小的点 设直 线 BM的解析式为ykxb， 则 0 8kb， 9 8 2 kb， 解得 k 1 8 2. b2. y 1 8 2 x2. 当 x 2 时， n 3 4 2. 5.(1) 抛物线过点G(2，2) 时， 1 m (2 2)(2 m)2，解得 m 4. (2) m 4， y 1 4(x 2)(x 4) 令 y0， 1 4(x 2)(x 4) 0， 解得 x 1 2，x2
9、4. 则 A(2，0) ， B(4， 0) 抛物线对称轴为直线l ：x 24 2 1. 令 x 0，则 y2，所以C(0，2) B 点与 A 点关于对称轴对称，连接 BC ，BC与直线 l 的交点便为所求点H.B(4， 0) ，C(0， 2) ，求得线段BC所在直线为y 1 2x2. 当 x1 时， y 3 2 ， H(1， 3 2) 6.(1) 由已知条件得A(2， 0) ，C(0，3) ，代入二次函数解析式，得 c3， 22bc0. 解得 b 1 2， c3. 抛物线的解析 6 式为 y 1 2 x 21 2x3. (2) 连接 AD ， 交对称轴于点P， 则 P为所求的点 设直线 AD的
10、解析式为ykxt. 由已知得 2kt 0， 2k t 2. 解得 k 1 2， t 1. 直线 AD的解析式为y 1 2x1. 对称轴为直线 x b 2a 1 2，将 x 1 2代入 y 1 2x1，得 y 5 4. P( 1 2， 5 4) 7.(1) 将 A(0， 4) 、C(5，0)代入二次函数y 4 5x 2bxc，得 205bc0， c4， 解得 b 24 5 ， c4. 故二次函数的表达式 为 y 4 5x 224 5 x4. (2) 延长 EC至 E，使 EC EC ，延长 DA至 D，使 DA DA ，连接 DE，交x 轴于 F 点，交 y 轴于 G点， GD GD ， EF EF， (DG GF EFED)最小DE DE ，由 E(5， 2)，D(4，4) ，得 D( 4，4)，E(5， 2) 由 勾股定理，得DE 2 212 5，D E（54） 2（ 42）23 13，(DGGF EF ED)最小DE DE 3135.