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1、广西南宁市第三中学2017-2018 学年高一数学上学期期末考试试题 一、选择题（本大题12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 ） 1已知全集1,2,3,4,5,6,7,2,4,6 ,1,3,5,7UAB，则ABCU )( ) A. 2,4,6 B. 1,3,5 C. 2,4,5 D. 2,5 2函数 3 lg 21 1 x x fx x 的定义域为（） A. ,1 B. 0,1 C. 0,1 D. 0, 3三个数 20.4 2 0.4 ,log 0.4,2abc之间的大小关系是（） A. acb B. bac C. abc D. bac 4
2、已知定义在R上的奇函数fx和偶函数g x满足： x fxg xe，则（） A. )( 2 1 )( xx eexf B. )( 2 1 )( xx eexf C. )( 2 1 )( xx eexg D. )( 2 1 )( xx eexg 5函数2fxlgxx的零点所在的区间是（） A. 0,1 B. 2,3 C.1,2 D. 3,10 6已知函数)( 322)( 2 Rmmmxxxf，若关于x的方程0)(xf有实数根，且两根分别为 ,21xx则2121)(xxxx的最大值为 () A. 2 9 B. 2C. 3 D. 4 9 7已知直线21 2430m xm ym恒经过定点P,则点 P到直
3、线0443:yxl的距 离是（） A.6 B.3 C.4 D.7 8. 如下左图，正四棱锥P-ABCD的底面ABCD在球O的大圆上，点P在球面上，如果VP-ABCD 16 3 ，那 么球O的表面积是 ( ) D.18C.15B.816. A 9某几何体的三视图如上右图所示，则这个几何体的体积为（） A. 4 B. 3 26 C. 3 20 D. 8 10如下左图 , 在直三棱柱 111 ABCA B C)ABC(1面即AA中， ABAC, 21AA,22AEBC则异面直线AE与 1 AC所成的角是（） 30. A45.B60.C90.D 11 如上右图 , 在正方体 1111 ABCDA B
4、C D中 ,棱长为 1,E F、分别为11C D与AB的中点 ,1 B到平面 1 A FCE的距离为 ( ) 3 6 D. 2 3 C. 5 30 B. 5 10 . A 12如图，设圆4)2()5(: 22 1yxC, 圆25) 1()7(: 22 2yxC，点 A、B分别是圆 12 ,C C上的动点,P为 直线xy上的动点,则|PBPA的最小值为（） A. 435 B. 5 24 C. 7133 D. 7153 二、填空题（共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在答题卡上的相应位置） 13 已知圆C的方程为 (x2) 2( y1) 29， 直线 l的方程为x3y20， 则圆C上到直
5、线l距离为 710 10 的点的个数为 . 14函数 2 1 2 log23yxx的单调递减区间是_ 15如下左图，长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=4,3 1CCBC, 则平面1BDC 与平面 1111DCBA所成的锐二面角的正切值为_ 16. 设长方形的四个顶点A（0， 0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0， 1） ，( 如上右图 ) 一质点从 AB的中点 0 P 沿与 AB夹角为的方向射到BC上的点 1 P后，依次反射到CD 、DA和 AB上的点 2 P、 3 P和 4 P（入射角等于反 射角） . 若 40 PP与重合，则tan . 三、解答题：( 本大题共6小题，
6、满分70 分，必须写出详细的解题过程) 17 （本小题满分10分）已知直线l经过直线3420xy与直线220xy的交点 P. （）若直线l平行于直线0923yx，求直线l的方程 （）若直线l垂直于直线09823yx，求直线l的方程 18 （本小题满分12分）已知M为圆 22 :414450Cxyxy上任一点，且点 2,3Q （1）若,1P a a在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率 （2）求MQ的最大值和最小值 （3）若,M m n，求 2 3 m n 的最大值和最小值 19 （本小题满分12分）已知四边形ABCD为矩形， 2BCBE， 5AB，且BC平面ABE，点F为CE上的点， 且BF
7、平面ACE，点M为AB中点 . （1）求证：/ /MF平面DAE； （2）求直线AB与平面 ACF所 成的角的正弦值. 20 （本小题满分12分）已知定义域为 R的函数 1 21 2 x x fx a 是奇函数 . （1）求a的值； （2）证明：fx为R上的增函数； （3）若对任意的xR，不等式 2 110fmxfmx恒成立，求实数m的取值范围 . 21 （本小题满分12分）如图， 在四棱锥中， 底面ABCD为直角梯形，平面PAD底面ABCD ，Q 为 AD 的中 点， M是棱 PC 上的点， PA=PD=AD=2 ，BC=1 ，.3CD （1）求证：平面PQB平面 PAD ； （2）若 PM
8、=3MC，求二面角M-QB-C的大小 22 （本小题满分12 分）已知函数 4 ( )log (41)() x f xkx kR，且满足( 1)(1)ff （1）求 k 的值； （2）若函数( )yf x的图象与直线 1 2 yxa没有交点，求a的取值范围； （3）若函数 1 ( ) 2 2 ( )421,0,log 3 fxx x h xmx，是否存在实数m使得( )h x最小值为0？若存 在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 2018 年南宁三中高一上学期期考数学参考答案 1A 2.C 3B 4B 【解】由已知：在R上的奇函数f （x）和偶函数g（x） ， x f xgxe（ ） （ ）
9、， 所以 x fxgxe （ ） （ ），即 x f xg xe （ ） （ ）， 得 2 xx ee fx；故选 B 5C 【解】2lg222lg20f， 1lg1 1 210f，由零点定理知，fx的零点在区间1,2上所以选C 6B【解】x1x2 2m，x1x2 2m3， (x1x2) x1x2 2m(2m3) 4 2 3 4 m 9 4 . 又 4m 24(2 m3) 0，m 1 或m3. t 4 2 3 4 m 9 4 在m(， 1 上单调递增，m 1 时最大值为2； t 4 2 3 4 m 9 4 在m 3 ， ) 上单调递减，m3 时最大值为54， (x1x2) x1x2的最大值为2
10、，故选 B. 7B 【解】由直线方程212430m xm ym变形为： m23240xyxy ， 令 230 240 xy xy 解得 1 2 x y 该直线恒过定点P12，, 3 5 |483| ,d故选B. 8A解析： 设球半径为R，则正四棱锥的高为R，底面边长为2R， VP- ABCD 1 3 R(2R) 2 16 3 . R 2. S 球 4R 2 16 . 9B 【解析】由三视图可得到几何体的直观图如图所 示，该几何体是由一个四棱锥和一个三棱 锥组成，四棱锥 的底面面积为，高为，所以体积是 ；三棱锥的底 面积为，高为，故体积是，所以该几何体的体积为，故选 B. 12 C【解】依题意可
11、知, 5),1, 7(, 2),2,5(21 RCrC 112,3 ,1Cr ，如图所示： 对于直线y=x 上的任一点P，由图象可知，要使 |PBPA取 得 最 小 值 ， 则 问 题 可 转 化 为 求 7|2121PCPCrRPCPC的 最 小 值，即可看作直线y=x 上一点到两定点距离之和的 最小值减去7，由平面几何的知识易知当 1 C关于直 线 y=x 对称的点为)5 , 2(C，与P、 2 C共线时， 12 PCPC取得最小值，即直线y=x 上 一点到两定点距离之和取得最小值为.133| 2CC |PBPA的最小值为.71337|21 PCPC故选 C. 二、填空题： 132. 【解
12、】圆心 (2 ， 1) 到直线l的距离d |2 32| 1 232 7 10 10 ，而圆的半径为3, 3 710 10 7 10 10 ，圆C上到直线l距离为 710 10 的点有 2 个 141,1若写成)1 ,1(也不扣分 【解】 22 1 2 log23 ,230,13yxxxxx， 设 2 23txx，对称轴1x， 1 1 2 ， 1 2 logyt递减， 2 23txx在1,1上 递增，根据复合函数的单调性判断：函数 2 1 2 log23yxx的单调减区间为1,1， 故答案为1,1. 15 4 5 【解析】由于平面ABCD/，平面1111 DCBA所以所求 的锐二面角与二面角CD
13、BC1的大小相等， 过点 C作, 1ECEDBCE，连结于 ,1BDECEDBCE，连结于则 ECC1是二面角 1 CBDC的平面角， , 5 12 ECCDBCECBD由故. 4 5 tan 1 EC CC 所求的锐二面角的正切值为 4 5 三、解答题： 17. 【解析】由 3420 220 xy xy ，解得 2 2 x y ，则点P2,2 2 分. (I) 由于点P2,2，且所求直线l与直线0923yx平行， 可设所求直线l的方程为023myx, 将点P坐标代入得022)2(3m，解得 m=10 故所求直线l的方程为01023yx.（6 分） (II)由于点P2,2，且所求直线l与直线0
14、9823yx垂直， 可设所求直线l的方程为032nyx 将点P坐标代入得023)2(2n，解得 n=-2 故所求直线l的方程为0232yx.（10 分） 18 （1） 1 3 ； （2）23 【解析】 （1） 将,1P a a代入，圆 22 :414450C xyxy， 得4a， 所以4,5P， 22 42532 10PQ， 531 423 PQ k 4 分 （2）圆 2 22 :272 2Cxy，圆心2,7C，QCRMQQCR， 4 2QC，2 26 2MQ，MQ最小值为2 2，最大值为6 2 8 分 （3）由题意知， 点 M(m,n)在圆 2 22 :272 2Cxy上，分析可得 3 2
15、n K m 表 示该圆上的任意一点与2,3Q相连所得直线的斜率，设该直线斜率为k，则其方程为 32yk x，又由 2 2723 2 2 1 kk d k ，, 014 2 kk得23k，即 2323K所以 3 2 n K m 的最小值为23，最大值为23 12 分 19 （1）见解析（ 2）. 5 10 【解析】（1） 【证明】取DE中的Q，连接QF、QA（如图 1） ，因为BF平面CAE, 所 以F为中点，/ /,QFAM QFAM, 四边形AMFQ为平行四边形，/ /AQMF，AQ 平面DAE，MF平面DAE，所以/ /MF平面DAE. （6 分） （说明：也可以用图2 的方法证明） （2
16、）如图 1，因为BF平面CAE，所以F为中点，,AFBF AF是 AB平面 AEC上的射影，所以BAF就是求的直线AB与平面 AEC所成的角，（9 分） 所以. 5 10 5 2 sin AB BF BAF（12 分） 20. 【解】（1）函数是奇函数，110ff， 可得 1 1 2 0 41aa ，解之得：2a.(2分) （2）证明： 1 21 22 x x fx 令2 x t，则 1 22 t y t 11 ? 21 t t 12 1 21t 11 21t 设 1 xR， 2 xR，且 12 xx ， 2 x t 在R上是增函数， 12 0tt ， 当 12 0tt时， 12 0tt， 1
17、 10t， 2 10t， 12 yy， 可得fx在R上是增函数 .(7分) （3）fx是奇函数， 不等式 2 110fmxfmx等价于 2 11fmxfmx fx在R上是增函数， 对任意的tR，原不等式恒成立，即 2 11mtmt对任意tR恒成立， 化简整理得： 2 20mtmt对任意tR恒成立， （1）当0m时，不等式即为20恒成立，符合题意； （2）当0m时，有 2 0 80 m mm ，即08m， 综上所述：可得实数m的取值范围为08m.(12 分) (2) 连结 QC ，作 MOQC于 O，在 RtPQC中， CM ： CP=1:4，, 2 1 4 1 QCCO MO/PQ， ，平面平
18、面ABCDMOABCDPQ, 过点 O作,NMNQBON，连结于 则 ,QBMN 故 MNO所求的二面角 M-QB-C的平面角， (8分 ) 显然 ON/BC，, 4 3 4 3 ON QC QO BC ON 又, 4 3 4 1 PQOM .30 3 3 tanMNO ON MO MNO.(12分) 22 【解】（1）( 1)(1)ff， 即 1 44 log (41)log (41)kk 444 51 2loglog 5log1 44 k 1 2 k2 分 （2）由题意知方程 4 11 log (41) 22 x xxa即方程 4 =log (41) x ax无解 , 令 4 ( )log
19、 (41) x g xx，则函数( )yg x 的图象与直线ya 无交点 444 411 ( )log41)loglog (1) 44 x x xx g xx（ 任取 1 x 、 2 xR，且 12 xx ，则 12 044 xx ， 12 11 44 xx . 12 1244 11 ()()log1log10 44 xx g xg x ， ( )g x 在,上是单调减函数. 1 11 4 x ， 4 1 ( )log10 4 x g x . a的取值范围是, 0 .7 分 【注意】如果从复合函数角度分析出单调性，也给全分。 （3）由题意 xx mxh24)(, 2 0,log 3x，令21,3 x t 2 ( )1,3ttmtt 开口向上 ，对称轴 2 m t. 当1,2 2 m m即， min ( )(1)10tm，1m 当13,62 2 m m即， 2 min ( )()0 24 mm t，0m（舍去） 当3 2 m ，6m即， min ( )(3)930,3tmm（舍去） 存在1m使得( )h x最小值为0. 12分