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1、西华大学 2018 年专升本 考试试题 （高等数学） 二、填空题（把答案填在括号中。本大题共5 个小 题，每小题3 分，总计 15 分） 1、设(0),fa 则 0 ()(0) lim x fxf x （a） 2、设( )f x 的一个原函数是sin x，则( )xfx dx （ co ssi nxxxC ） 3、微分方程 2 563 x yyyxe的特解可设为 （ *2 () x yx axb e） 4、幂级数 0 () ! n n x n 的和函数为（ x e） 5、设 23 , 58 A 则 1 A（ 83 52 ） 二、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打， 错误的打，本大题共5 个
2、小题，每小题2 分，总 计 10 分） 1 、点( 0 ,0是曲线sinyx的拐点. ( ) 2、 直线 13 215 xyz 与平面 258 0xyz相互 垂直 . ( ) 3、如果函数( ,)zf x y在点 00 (,)xy的某一邻域 内偏导数, zz xy 都存在，则函数( , )zf x y在点 00 (,)xy处可微 . ( ) 4、 1 n n u 是常数项级数，若lim0, n n u则 1 n n u 收 敛. ( ) 5、设,A B 是同型矩阵，则 22 ()().ABABAB ( ) 三、求解下列各题 （本大题共4 小题，每小题 6 分， 总计 240 分） 1、求极限
3、sin 0 lim. x x x 解： 0 lim sinln sinsinln 00 limlim x xx xxx xx xee 1 12 000 ln limlnlimlim xxx xx xx xx eee 0 1.e 2、求不定积分sincos.xxxdx 解： 1 sincossin2 2 xxxdxxxdx 11 cos2 cos2cos2 44 xdxxxxdx 11 cos2sin2 42 xxxC 3、求定积分 ln2 0 1. x edx 解：令 1 x te，则 2 ln(1)xt， 故 ln 21 2 00 2 1 1 x t edxtdt t 22 11 22 00
4、 1 1 22 11 tt dtdt tt 1 2(arctan )2(1). 04 tt 4、设 22 (,),zxyf xy xy其中f是可微函数， 求, zz xy . 解： 22 12 (,)(2), z yf xy xyxyxff x 22 12 (,)(2). z xf xy xyxy fyf y 四、解答题（本大题共6 小题，每小题6 分，总计 36 分） 1、设 2 1 sin ,0 ( ), ,0 xx f xx axb x 在0x处可导，求 ,a b的值 . 解：因为( )fx在 0x 处可导， 故( )f x在 0x 处 连续。即 0 lim( )(0). x f xfb
5、 又 2 000 1 lim( )lim( )limsin0. xxx f xf xx x 因 此 0.b 又(0)(0)ff ， 0 ( )(0) (0)lim x f xf f x 0 0 lim, x axb a x 0 ( )(0) (0)lim x f xf f x 2 00 1 sin0 1 limlimsin0, xx x x x xx 故0.a 2 求微分方程20 x yye的通解 . 解：通解为 22 dxdx x yee edxC 22 () xxxxx eeedxCeeC 3、判断下列正项级数的敛散性. (1) 1 3( 1) 3 n n n 解：因为 3( 1)4 0
6、33 n nn ，又 1 4 3 n n 收敛（等比 级数）， 由比较审敛法得 1 3( 1) 3 n n n 收敛。 (2) 1 1 ln(1) n n 解：因为 1 ln(1) lim1 1 n n n ，又 1 1 n n 发散，由比较 审敛法的极限形式得 1 1 ln(1) n n 发散。 4 、 计 算 二 重 积 分 22 sin D xy dxdy， 其 中 2222 ( ,) |4.Dx yxy 解： 22 sinsin DD xy dxdyrrdrd 22 0 sindrrdr 2 2r 2 2cosrdr 2 2 2 coscosrrrdr 2 2 2 2()sin6.r
7、5、求()() yy L Ixedxyxe dy， 其中L是圆 周 22 2xyx从点(2,0)A到原点(0,0)O的一段 弧. 解：(,),(, yy P x yxeQ x yyxe， , yy PQ ee yx 故 PQ yx ，曲线积分与路径 无关。选择新路径AO，故 ()() yy LAO Ixedxyxe dy 0 2 (1)4.xdx 6、 当,a b取何值时， 方程组 123 23 123 234, 22, 2236 axxx xbx axxx 有唯一解、无解、有无穷多解？ 解：增广矩阵 234 (|)022 2236 a A Bb a 234 022 0232 a b 234
8、022 0030 a b b 当3b时，(|)( )23r A Br A，方程组有无 穷多个解。 当3b时，(|)()3r A Br A， 方程组有唯一解。 五、证明题（本大题共3 小题，每题5 分，总计 15 分） 1 、 设( )f x在 , a b上 连 续 且()0 ,f x又 1 ( )( ) ( ) xx ab g xf t dtdt f t ， 证明：( )0g x在 ( , )a b内有且仅有一个根. 证明：易知( )g x在 , a b上连续， 11 ( )0, ( )( ) ab ba g adtdt f tf t ( )( )0, b a g bf t dt( ) ( )
9、0g a g b， 故由零点定理得，方程( )0g x在( , )a b内至少存 在一个根。 又 1 ( )( )0, ( ) gxf x f x 故 方 程()0g x在 ( , )a b内最多有一个根。 综上所述，方程( )0g x在( , )a b内有且仅有一个 根. 2、 求证：当0x时， 有不等式ln(1). 1 x xx x 证明：设( )ln(1)fxx， 易知函数( )f x在0, x 上连续，在(0,)x内可导且 1 ( ) 1 fx x ， 由拉格朗日中值定理得：( )(0)( )f xfxf， 即( )(0) 1 x f xf ，其中0.x 又 11 1 11x ，因此ln(1). 1 x xx x 3、已知 n a是等差数列，0 n a，证明级数 1 1 n n a 发散 . 证 明 ： n a是 等 差 数 列 ，0 n a， 故 设 1 (1) ,0 n aand d。 于 是 11 1 11 (1)nn n aand ， 取 1 n v n ， 又 1 1 (1)1 l i m 1 n and d n 而 1 1 n n 发散， 由比较审敛法的极限形式得 1 1 n n a 发 散。