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1、第1页（共 4 页） 高考模拟数学试题（全国新课标卷） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分. 共 150 分.考试时间120 分 钟 第卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1i为虚数单位 ,复数 i i 1 3 = Ai2Bi2C2iD2i 2等边三角形ABC的边长为1， 如果,BCa CAb ABc uu u rr uu u rr uuu rr 那么a bb cc a r rr rr r 等于 A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 3已知集合 4|4| 2 xxZxA， 8 1 2 1 | y NyB，
2、 记Acard为集合 A 的元 素 个数，则下列说法不正确 的是 A5cardAB3cardBC2)card(BAD5)card(BA 4一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的 侧视图的面积为 A63 B8 C83 D12 5 过抛物线 2 4yx的焦点作直线交抛物线于点 1122 ,P x yQ xy两点， 若 12 6xx， 则 PQ 中点 M 到抛物线准线的距离为 A5 B 4 C3 D2 6下列说法正确的是 A互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 C事件 A、B 中至少有一个发生的概率一定比A、B 中恰有
3、一个发生的概率大 D事件 A、B 同时发生的概率一定比A、B 中恰有一个 发生的概率小 7如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为 A 1030020 ()axaxaa x的值 B 3020100 ()ax axaa x的值 C 0010230 ()axax aa x的值 D 2000310 ()axaxaa x的值 输入 开始 01230 ,aa aax 3 3,kSa 输出S 结束 0k 0k SaSx 1kk 否 是 第2页（共 4 页） 8若 (9x 1 3 x) n（ nN*）的展开式的第 3 项的二项式系数为36， 则其展开式中的常数项 为 A252 B 252 C84 D 8
4、4 9若 S1 1 21 xdx， S 2 1 2(lnx 1)dx， S3 1 2xdx， 则 S1， S2， S 3的大小关系为 AS1 S2S3B S2 S1S3CS1S3S2D S3S1S2 10在平面直角坐标系中,双曲线 22 1 124 xy 的右焦点为F,一条过原点O 且倾斜角为锐角的 直线l与双曲线C 交于 A,B 两点。若 FAB 的面识为8 3， 则直线l的斜率为 A 13 132 B 2 1 C 4 1 D 7 7 11已知三个正数a， b， c 满足acba3， 22 5)(3bcaab， 则以下四个命题 正确的是 p1：对任意满足条件的a、b、c， 均有 b c；p2
5、：存在一组实数a、b、c， 使得 bc； p3：对任意满足条件的a、b、c， 均有 6b 4a+c；p4：存在一组实数a、b、c， 使得 6b4a+c. Ap1， p3Bp1， p4Cp2， p3Dp2， p4 12四次多项式)(xf的四个实根构成公差为2 的等差数列，则( )fx的所有根中最大根与 最小根之差是 A2 B2 3 C4 D52 第3页（共 4 页） 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答， 第 22 题 24 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题包括4 小题， 每小题 5 分. 13某种产品的广告费支出x 与销售
6、额y 之间有如下对应数据（单位：百万元） x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 t70 根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y 6.5x 17.5， 则表中t 的值 为 14已知函数ysin x( 0)在区间 0， 2上为增函数， 且图象关于点 (3 ， 0)对称，则 的取值集合为 15已知球的直径SC4， A， B 是该球球面上的两点，AB 2， ASC BSC45 ， 则棱锥 S-ABC 的体积为 16等比数列 an中，首项 a12， 公比 q3， anan1 am720(m， nN *， m n)， 则 m n 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
7、 17 （本小题满分12 分） 在ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为a,b,c,证明： （1）coscosbCcBa； （2） 2 2sin coscos 2 C AB abc . 18 （本小题满分12 分） 直三棱柱 111 CBAABC的所有棱长都为2， D 为 CC1 中点 （1）求证：直线BDAAB 11 平面； （2）求二面角BDAA 1 的大小正弦值； 19 （本小题满分12 分） 对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录： 日车流量 x 50x105x1510x2015x2520x25x 频率0.05 0.25 0.35 0.25 0.10 0 将
8、日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立 （1）求在未来连续3 天里，有连续 2 天的日车流量都不低于10 万辆且另 1 天的日车流量 低于 5 万辆的概率； （2）用 X 表示在未来3 天时间里日车流量不低于10 万辆的天数，求 X 的分布列和数学期 第4页（共 4 页） 望 20 （本小题满分12 分） 已知椭圆C：)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦距为2且过点) 2 3 , 1( （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若椭圆 C 的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点 12 ,F F， 求该平行四边形面 积的最大值 21 （本小题满分12 分） 设函
9、数xcbxaxxfln)( 2 ， （其中cba,为实常数） （1）当1,0 cb时，讨论)(xf的单调区间； （2）曲线)(xfy（其中0a）在点)1(f1( ，处的切线方程为33xy， （）若函数)(xf无极值点且)( xf存在零点，求cba,的值； （）若函数)(xf有两个极值点，证明)(xf的极小值小于 4 3 . 请考生在22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10 分）选修41：几何证明选讲. 如图AB是圆O的一条弦，过点A作圆的切线AD， 作 BCAC， 与该圆交于点 D， 若 2 3AC，2CD. （1）求圆O的半径； （2）若
10、点E为AB中点，求证,O E D三点共线 . 23.（本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 2cos () sin2 x y 是参数， 以原点O为 极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 1 sincos . （1）求曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）求曲线 1 C上的任意一点P到曲线 2 C的最小距离，并求出此时点P的坐标 . 24.（本小题满分10 分）选修45：不等式选讲 . 设函数( )|2|fxxaa. （1） 若不等式( )6f x的解集为|23xx， 求实数a的值
11、； 第5页（共 4 页） （2） 在（1）条件下， 若存在实数n， 使得( )()f nmfn恒成立， 求实数m的取值范 围. 高考模拟数学试题（全国新课标卷）参考答案 一、选择题：本大题包括12 小题，每小题 5 分。 1-12 BDAA BBCC ABCD 二、填空题： 13. 50 14. 1 3， 2 3， 1 15. 4 3 3 16.9 三、解答题 : 17.证法一：（余弦定理法） （1） 2222222 2 coscos 222 abcacba bCcBbca abaca （2） 222222 223223222 coscos 22 2 2()2 acbbca AB acbc a
12、bab abacaa bbcbababc abc ababc 222 2 22212sin 1cos2 22 2 acbC Cababc ac cccabc ， 所以等式成立 证法二：（正弦定理法） （1）在ABC 中由正弦定理得2 sin,2 sinbRB cRC， 所以 coscos2sincos2sincos 2sin()2 sin bCcBRBCRCB RBCRAa （2）由（ 1）知coscosbCcBa，同理有coscosaCcAb 所以coscoscoscosbCcBaCcAab 即 2 (coscos )()(1cos)() 2sin 2 C cBAabCab 所以 2 2si
13、n coscos 2 C AB abc 18. 解： （1）取BC中点O， 连结AO ABC为正三角形，BCAO 111 CBAABC直棱柱 11B BCCABC平面平面且相交于BC 11B BCCAO平面 第6页（共 4 页） 取 11C B中点 1 O， 则 11/ BB OOBCOO1 以O为原点，如图建立空间直角坐标系xyzO， 则)0,0, 1(,0,2, 1,3,0,0,3, 2, 0,0 ,1 , 1,0, 0, 1 11 CBAADB 3,2 , 1,0, 1 , 2,3, 2, 1 11 BABDAB 0, 0 111 BAABBDAB， 111 ,BAABBDAB 1 AB
14、平面 1 A BD （ 2）设平面ADA 1 的法向量为zyxn,0,2,0,3, 1 , 1 1 AAAD , 1 AAnADn 02 03 y zyx 令1z得1 , 0,3n为平面ADA 1 的一个法向量 由（ 1）3,2 , 1 1 AB为平面 1 A BD的法向量 4 6 ,cos 1 ABn 所以二面角BDAA 1 的大小的正弦值为 4 10 19.解： （）设 A1表示事件“日车流量不低于 10 万辆”，A2表示事件“日车流量低于5 万辆”， B 表示事件“在未来连续3 天里有连续2 天日车流量不低于10 万辆且另 1 天车流 量低于 5 万辆”则 P(A1)0.350.250.
15、100.70， P(A2)0.05， 所以 P(B)0.70.70.05 20.049 （）X可能取的值为0， 1， 2， 3， 相应的概率分别为 027.0)7 .01 ()0( 30 3 CXP， 189.0)7 .01(7 .0)1( 21 3 CXP， 441.0)7.01(7.0)2( 22 3 CXP， 343.07. 0)3( 33 3 CXP. X 的分布列为 第7页（共 4 页） X 0123 P 0.0270.1890.4410.343 因为 XB(3， 0.7)， 所以期望 E(X)3 0.72.1. 20.解： （1）由已知可得 ，1 4 91 , 222 22 22
16、ba bac 解得 a24， b23， 所以椭圆 C 的标准方程是1 34 22 yx . （2）由已知得： 12 2F F， 由于四边形ABCD 是椭圆的内接四边形， 所以原点 O是其对称中心， 且 12 2 ABCDABF F SS Y 四边形 1211212 22 AF FAF BAF FBF F SSSS 12 2 ABAD F Fyyyy， 当直线 AD 的斜率存在时，设其方程为1yk x， 代入椭圆方程，整理得： 2222 344120kxk xk ， 由韦达定理得： 22 22 8412 , 3434 ADAD kk xxx x kk ， 22 222 22 2 2 1441 4
17、 34 ADADADAD kk yykxxkxxx x k ， 22 2 22 22 1441 89 226 16 3434 ABCDAD kk k Syy kk Y ， 当直线 AD 的斜率不存在时，易得： 33 1,1, 22 AD， 26 ABCDAD Syy Y ， 综上知，符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是 6 21. 解： （1）当1,0 cb时 x ax x axxf 121 2)( 2 ，)0(x 1 分 当0a时，0)( xf很成立，)(xf在),0(上是增函数；2 分 当0a时，令0)( xf得 a x 2 1 或 a x 2 1 （舍）3 分 令0)( xf得 a x
18、 2 1 0；令0)( xf得 a x 2 1 G O D C B A F1F2 y x 第8页（共 4 页） )(xf在上) 2 1 ,0( a 是增函数，在), 2 1 ( a 上是减函数4 分 (2) (i) x c baxxf2)( 由题得 3)1 ( 0)1 ( f f ， 即 32 0 cba ba ac ab 3 则xaaxaxxfln)3()( 2 ， x aaxax x a aaxxf 323 2)( 2 （） 由)(xf无极值点且)( xf存在零点，得0)3(8 2 aaa)0(a 解得 3 8 a， 于是 3 8 b， 3 1 c （）由 (i)知)0( 32 )( 2
19、x x aaxax xf， 要使函数)(xf有两个极值点，只要 方程032 2 aaxax有两个不等正根， 设两正根为 21, x x， 且 21 xx， 可知当 2 xx时有极小值)( 2 xf其中这里, 4 1 0 1 x 由于对称轴为 4 1 x， 所以 2 1 x 4 1 2 ， 且032 2 2 2 aaxax， 得 12 3 2 2 2 xx a 【也可用以下解法：由()知)0( 32 )( 2 x x aaxax xf， 要使函数)(xf有两个 极值点，只要方程032 2 aaxax有两个不等正根， 那么实数a应满足 0 )2(2 03 0)3(8 2 a a a aaa ， 解
20、得3 3 8 a， aa aaaa x 24 9 4 1 4 1 4 )3(8 2 2 3 3 8 a1 24 90 a 即 2 1 x 4 1 2 】 第9页（共 4 页） 所以有 22 2 22 ln)3()(xaaxaxxf 12 )ln( 3 ln3ln3)ln( 2 2 2 22 2 2 2222 2 2 xx xxx xxxxxa ) 2 1 x 4 1 ( 2 而 2 2 2 2 22 2 22 2 ) 12( )ln)(14( 3 )( xx xxxx xf， 记xxxxgln)( 2 ，)1 4 1 (x， 有0 )1)(12( )( x xx xg对 1 , 4 1 (x恒
21、成立， 又0) 1(g， 故对) 2 1 , 4 1 (x恒有)1 ()(gxg， 即0)(xg 0)( 2 xf对于 2 1 x 4 1 2 恒成立即)( 2 xf在 2 1 , 4 1 上单调递增， 故 4 3 ) 2 1 ()(f 2 fx 22解：(1) 取BD中点为 F， 连结 OF ， 由题意知， / /OFAC ，OFAC ACQ为圆 O 的切线，BC 为割线 2 CACD CB ， 由2 3,2ACCD，6,4,2BCBDBF 在 Rt OBF 中，由勾股定理得， 22 4rOBOFBF. (2) 由(1)知，/ /,OABD OABD 所以四边形 OADB 为平行四边形，又因
22、为E为AB的中点， 所以 OD 与AB交于点E， 所以,O E D三点共线 . 24.解： (1) 由( )6f x， 得626(6)axaa a， 即其解集为 |33x ax， 由题 意知( )6f x的解集为 | 23xx， 所以1a. (2) 原不等式等价于，存在实数n， 使得( )()|12 |12 | 2mf nfnnn恒成立， 即 min |12 |12 |2mnn， 而由绝对值三角不等式，|12 |12 |2nn， 从而实数4m. 23.解： (1) 由题意知， 1 C 的普通方程为 22 (1)1xy 2 C 的直角坐标方程为1yx. (2) 设(1 cos2 ,sin 2 )P， 则P到 2 C 的距离 2 |22 cos(2) | 24 d， 当 cos(2)1 4 ， 即 3 22() 4 kkZ时，d取最小值21， 此时P点坐标为 22 (1,) 22 .