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1、高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1.如图，直线 l1与 l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是 A， 点 B、D 在直线 l1上(B、 D 位于点A 右侧 )， 且 |AB|=4 ， |AD|=1 ， M 是该平面上的一个动点，M 在 l1上的射影点是N， 且|BN|=2|DM|. () 建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹 C 的方程 ()过点 D 且不与 l1、l2垂直的直线l 交( )中的轨迹 C 于 E、F 两点；另外平面上的点G、 H 满足： (R);AGAD u uu ru uu r 2;GEGFGH uuu ruu u ru uu r 0.GH EF uuur uuu r
2、求点 G 的横坐标的取值范围 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x轴上， 离心率 2 3 e ， 已知点 )3,0(P 到这个椭 圆上的点的最远距离是4， 求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2 1 ba b y a x C 的一条准线方程是 , 4 25 x 其左、右顶点分别 B A D M B N l2 l1 是 A、B；双曲线 1: 2 2 2 2 2 b y a x C 的一条渐近线方程为3x5y=0. （）求椭圆C1的方程及双曲线 C2的离心率； （）在第一象限内取双曲线C2上一点 P， 连结 AP 交椭圆 C1于点 M， 连结 PB 并延长 交椭圆 C1
3、于点 N， 若MPAM . 求证： .0? ABMN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点 F（c,0）到相应准线的距离为1， 倾斜角为45 的直线 交椭圆于 A， B 两点 .设 AB 中点为 M， 直线 AB 与 OM 的夹角为 a. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tan; （2）若 20,b0）的右准线 与 2 l 一条渐近线 l交于两点 P、Q， F 是双曲线的右焦点。 （I）求证： PFl； （II ）若 PQF 为等边三角形，且直线 y=x+b 交双曲线于A， B 两点，且 30AB ， 求双曲线的方程； （III ）延长 FP 交双曲线左准线 1 l 和左支分别为点M、N，
4、若 M 为 PN 的中点，求双曲线 的离心率e。 22. 已知又曲线在左右顶点分别是A， B， 点 P 是其右准线上的一点， 若点 A 关于点 P 的对称点是M， 点 P关于点 B 的对称点是N， 且 M、N 都在此双曲线上。 （I）求此双曲线的方程； （II ）求直线MN 的倾斜角。 23. 如图， 在直角坐标系中，点 A （ -1， 0） ， B （1， 0） ， P （x， y） （ y0） 。 设 APOPBP 、 与 x 轴正方向的夹角分别为 、 、 ， 若。 （I）求点 P 的轨迹 G 的方程； （II）设过点C（0， -1）的直线 l与轨迹 G 交于不同两点M、N。问在 x 轴
5、上是否存在一点 E x00， ， 使 MNE为正三角形。若存在求出 x0 值；若不存 在说明理由。 y P A B O x 24. 设椭圆 22 22 xy C:1 ab0 ab 过点 M2 ,1 ， 且焦点为 1 F2 , 0 。 （1）求椭圆 C的方程； （2）当过点 P 4 ,1 的动直线l与椭圆 C 相交与两不同点A、B 时，在线段AB上取点 Q， 满足 AP QBAQPB u uu ruuu ruu u ruu u r gg ， 证明：点 Q 总在某定直线上。 25. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A（1， 0） 、B（0， 2） ， 点 C 满足 其中,OBOAOC 、
6、 12,且R （1）求点 C 的轨迹方程； （2）设点 C 的轨迹与双曲线 )0,0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 交于两点M、N， 且以 MN 为直径 的圆过原点，求证： 为定值 22 11 ba . 26. 设 )0, 1 (F ，M、P分别为 x 轴、 y 轴上的点，且PM ? 0PF ， 动点 N 满足： NPMN2 . （1）求动点 N的轨迹E的方程； （2）过定点 )0)(0,(ccC 任意作一条直线 l 与曲线 E交与不同的两点A、B， 问在 x 轴 上是否存在一定点 Q ， 使得直线 AQ 、 BQ 的倾斜角互补？若存在，求出 Q 点的坐标； 若不存在，请说明理由
7、 . 27. 如图，直角梯形ABCD 中， 90DAB ， AD BC， AB=2 ， AD=2 3 ， BC=2 1 椭圆 F 以 A、B 为焦点，且经过点D， （）建立适当的直角坐标系，求椭圆 F 的方程； （）是否存在直线 l与M、F交于椭圆N 两点，且线段 CMN的中点为点 ， 若存在，求 直线l的方程；若不存在，说明理由 . C B D 28. 如图所示，B（ c， 0） ， C（c， 0） ， AH BC， 垂足为 H， 且 HCBH3 （1）若 ACAB = 0， 求以 B、 C 为焦点并且经过点A 的椭圆的离心率； （2）D 分有向线段 AB的比为 ， A、D 同在以 B、C
8、为焦点的椭圆上， 当 5 2 7 时，求椭圆的离心率e 的取值范围 29. 在直角坐标平面中， ABC的两个顶点 BA, 的坐标分别为 )0 ,1(A ， )0, 1(B ， 平面 内两点 MG, 同时满足下列条件： 0GCGBGA ； MCMBMA ；GMAB （1）求ABC的顶点C的轨迹方程； （2）过点 )0 ,3(P 的直线 l与（ 1）中轨迹交于 FE, 两点，求 PFPE 的取值范围 答案： 1.解：() 以 A 点为坐标原点，l1 为 x 轴， 建立如图所示的坐标系，则 D(1， 0)， B(4， 0)， 设 M（ x， y） ， 则 N（x， 0）. |BN|=2|DM| ，
9、|4x|=2(x1)2+y2 , 整理得 3x2+4y2=12, 动点 M 的轨迹 方程为 x2 4 + y2 3 =1 . () (R),AGAD uuu ruuu r A、D、G 三点共线，即点 G 在 x 轴上；又 2,GEGFGH uuu ruuu ruuur H 点为线段EF 的中 点；又 0,GHEF uuur uuu r 点 G 是线段 EF 的垂直平分线GH 与 x 轴的交点。 设 l：y=k(x 1)(k 0) ， 代入 3x2+4y2=12 得 (3+4k2)x2 8k2x+4k2 12=0， 由于 l 过点 D(1， 0)是椭圆的焦点， l 与椭圆必有两个交点， 设 E(
10、x1， y1)， F(x2， y2)， EF 的中点 H 的坐标为（ x0， y0） ， x1+x2= 8k2 3+4k2 ， x1x2= 4k212 3+4k2 ， x0= x1+x2 2 = 4k2 3+4k2 ， y0=k(x0 1)= 3k 3+4k2 ， 线段 EF 的垂直平分线为 y y0 = 1 k (x x0)， 令 y=0 得， 点 G 的横坐标xG = ky0+x0 = 3k2 3+4k2 + 4k2 3+4k2 = k2 3+4k2 = 1 4 3 4(3+4k2) ， k0 ， k20， 3+4k23， 0|CA|=2 ， 于是点Q 的轨迹是以点C， A 为焦点，半焦
11、距 c=1， 长半轴 a= 2 的椭圆，短半轴 , 1 22 cab 点 Q 的轨迹 E 方程是： 1 2 2 2 y x . （2）设（ x1， y1） H（x2， y2） ， 则由 1 1 2 2 2 2 kkxy y x ， 消去 y 得 )0(08, 0214) 12( 22222 kkkxkkxk 12 2 , 12 14 2 2 21 2 2 21 k k xx k kk xx 22 12121212 222 1212 22222 2 222 (1)(1) (1)1()1 (1) 24(1)1 1 212121 OF OHx xy yx xkxkkxk kx xk kxxk kkk
12、kk k kkk u uu r u uu r 2 2 2 2 222 12122 2131 1, 32142 2 2 |(1)()4(1). 21 k k k k FHkxxx xk k Q 又点 O 到直线 FH 的距离 d=1， 22 2 2(1)1 | 221 kk Sd FH k 22 1 212,3,(1), 2 tktkt令 2 2 111121 (1)(1)1)(1)1 222 Sttt ttt 22 111318 23,1 9449 t tt Q 2 312 2 1. 23t 即 62 43 S 18.解： （1）以直线 AB 为 x 轴， 线段 AB 的垂直平分线为y 轴建立
13、直角坐标系，则 A（ c， 0） ， B（c， 0） 依题意： caPBPAPBaPA22|,|2| 点 P 的轨迹为以A、B 为焦点，实半轴为a， 虚半轴为 22 ac 的双曲线右支 轨迹方程为： )(1 22 2 2 2 ax ac y a x 。 （2）法一：设M（ 1 x ， 1 y ） ， N（ 2 x ， 2 y ） 依题意知曲线E 的方程为 )1(1 3 2 2 x y x ， l 的方程为 xy3 设直线 m 的方程为 )2(xky 由方程组 )2( 1 3 2 2 xky y x ， 消去 y 得 0344)3( 2222 kxkxk )03( 3 34 , 3 42 2 2
14、 21 2 2 21 k k k xx k k xx 直线 )2(:xkym 与双曲线右支交于不同的两点 0 21 xx 及 0 21x x ， 从而 3 2 k 由得 )2(3 44 33 2 2 2 x xx x k 解得 4 5 x 且 2x 当 x2 时，直线 m 垂直于 x 轴， 符合条件， ), 4 5 ( 1 x 又设 M 到 l 的距离为d， 则 2 |3| 11 yx d 13 2 11 xy 1 2 3 )1( 2 3 2 11 2 11 xx xxd 设 1 1 2 3 )( 2 xx xd ， ), 4 5 x 由于函数 xy 与 1 2 xy 均为区间 ), 4 5
15、的增函数 )(xd 在 ), 4 5 单调递减 )(xd 的最大值 4 3 ) 4 5 (d 又 0 1 1 2 3 )( 2 limlim xx xd xx 而 M 的横坐标 ), 4 5 ( 1 x ， ) 4 3 , 0(d 法二： xgl3: 为一条渐近线 m 位于 1 l 时，m 在无穷远，此时 0d m 位于 2 l 时， ) 4 33 , 4 5 (M ， d 较大 由 4 5 1 3 )2(3 2 2 x y x xy 点 M ) 4 33 , 4 5 ( 4 3 2 4 33 4 5 3 d 故 4 3 0d 19.解： (1) 曲线 0162 22 yxyx 表示以 )3
16、, 1( 为圆心 ,以 3 为半径的圆 , 圆上两 点 P、Q 满足关于直线 04myx 对称 ,则圆心 )3, 1( 在直线 04myx 上,代入 解得.1m (2)直线 PQ 与直线 4xy 垂直 ,所以设 PQ 方程为 bxy , ),( 11 yxP),( 22 yxQ . 将直线 bxy 与圆的方程联立得 016)4(22 22 bbxbx 由 , 0 解得 232232b . 2 16 ,4 2 2121 bb xxbxx . 又以 PQ 为直径的圆过O 点 OQOP0 2121 yyxx 解得 1b ).232,232( 故所求直线方程为 .01yx 20.解： （ 1） (3,
17、),(3,)axybxy rr ， 且 4ab rr ， 动点 ( ,)Q x y 到两个定点 12 (3,0),( 3,0)FF 的距离的和为4， 轨迹C是以 12 (3,0),( 3,0)FF 为焦点的椭圆，方程为 2 2 1 4 x y （2）设 1122 (,),(,)A x yB xy ， 直线AB的方程为 yxt ， 代入 2 2 1 4 x y ， 消去 y 得 22 58440xtxt ， 由 0得 2 5t ，且 2 1212 844 , 55 tt xxx x ， 1212 ()()y yxtxt 2 4 5 t 设点 ( , )M x y ， 由 cossinOMOAOB
18、 uuuu ruu u ruu u r 可得 12 12 cossin cossin xxx yyy 点 ( , )M x y 在C上， 2222 1212 44(cossin)4(cossin)xyxxyy 222222 11221212 (4) cos(4)sin2sincos (4)xyxyx xy y 22 1212 4(cossin)2sincos (4)x xy y 1212 42sincos (4)x xy y 1212 2sincos (4)0x xy y ， 又因为 0, 2 的任意性， 1212 40x xy y ， 2 44 5 t 2 4(4) 0 5 t ， 又 0t
19、 ，得t 10 2 ， 代入 t 10 2 检验，满足条件，故t的值是 10 2 。 21.解： (1) 不妨设 22 ,:bacx a b yl . ),.(,: 22 2 c ab c a p c a xl , F.(c,0) 设 ., 21 kPFkl的斜率为的斜率为 k2= , 22 b a b ab c c a c ab k1k2=1. 即 PFl. （2）由题 . 3 3 ,3ba a b 1 3 1 , 2 2 2 2 b y b x bxy . x2bxb2=0, 2 21 21 bxx bxx 3,305111 21 2 bbxxkAB a=1, 双曲线方程为 .1 3 2
20、2 y x （3） PFl : y= )(cx b a M( bc caa c a)( , 222 , 2 M NP x xx N（ bc caa c a)3( , 3 222 ）. 又 N 在双曲线上。 , 1) 3 ( 92 2 22 2 2 2 2 a c e b ca c a c a e= .5 22.解： （ I）点 A、B 的坐标为 A（-3， 0） ， B（3， 0） ， 设点 P、M、 N 的坐标依次为 则有 4-得， 解得 c=5 故所求方程是 （II ）由得， 所以，M、N 的坐标为 所以 MN 的倾斜角是 23.解： （ I）由已知 x0， 当x 1时， ，tantan
21、tantantantantantan y x y x y x y x y x y x1111 3101 22 xyy() 当x 1时， P 12， ， 也满足方程 所求轨迹G 方程为 3100 22 xyyx()， （II）假设存在点 E x00， ， 使 MNE为正 设直线 l方程： ykx1 代入 3100 22 xyxy()， 得： 3220 22 kxkx 48 30 2 3 0 2 3 0 22 2 2 kk k k k 36k MN 中点 F k kk3 3 3 22 ， |MNkxxx xk k k k 141 4 3 8 3 2 12 2 12 2 2 2 22 ly kk x
22、 k k E k k EF ： ， 3 3 1 3 4 3 0 22 2 EF k kk 9 3 9 3 2 2 2 2 2 在正 EMN 中， 3 2 MNEF 3 2 1 4 3 8 3 3 3 1 2 2 2 222 2 k k k kk k 4 3 8 3 313 2 2 22 2 2 k k k k k 2 3与 36k 矛盾 不存在这样的点 E x00， 使 MNE 为正 24.解： （ 1）由题意： 2 22 222 c2 21 1 ab cab ， 解得 22 a4 , b2 ， 所求椭圆方程为 22 xy 1 42 （2）解：设过P 的直线方程为： y1k x4 ， 设 00
23、 Q x , y ， 11 A x , y ， 22 B x, y 则 22 xy 1 42 ykx4k1 2222 2k1 x4k16kx32k16k20 P A B Q Ox y 4 ,1 11 x , y 22 x, y 00 x, y 2 12 2 16k4k xx 2k1， 2 12 2 32k16k2 xx 2k1 APQBAQPB u uu ruuu ruuu ruu u r ， APPB AQQB u uu ruu u r uuu ruuu r ， 即 12 1002 4x4x xxxx ， 化简得： 001212 8x4xxx2x x0 ， 22 00 22 16k4k32k
24、16k2 8x4x20 2k12k1 ， 去分母展开得： 2222 0000 16k x8x64k16k16k x4kx64k32k40 化简得： 00 2x4kkx10 ， 解得： 0 0 12x k x4 又 Q 在直线 y1k x4 上， 0 00 0 12x y1x4 x4 ， 00 y112x 即 002xy20 ， Q 恒在直线 2xy20 上。 25.解： （ 1）解：设 )2,0()0, 1 (),(,),(yxOBOAOCyxC则因为 112 2 yx y x 即点 C 的轨迹方程为x+y=1 002)( : 1 1 )2( 2222222222 2 2 2 2 abbaax
25、axab b y a x yx 由题意得得由 22 222 21 22 2 212211 , 2 :),(),( ab baa xx ab a xxyxNyxM则设 1212 2222 12221212 2222 2222 22 ,0,0 22() (1)(1)1()210 11 20,2 MNOMONx xy y aaa b x xxxxxx x baba baa b ab uuuu r u uu r 因为以为直径的圆过原点即 即为定值 26.解： （ 1）设 ),(yxN ， 则 ) 2 ,0( y P 、 )0,( xM ， ），（、 2 1) 2 ,( y PF y xPM 又 0PF
26、PM ， 0 4 2 y x ， 即 xy4 2 . （2）设直线l的方程为： )(cxky ， ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 假设存在点 )0 ,(tQ 满足题意，则 0 BQAQ kk ， )( 4 2 cxky xy ， 即 0)2(2 22222 ckxckxk ， 2 2 21 )2(2 k ck xx ， 2 21 cxx ， 又 )( )()( 0 21 1221 2 2 1 1 txtx txytxy tx y tx y kk BQAQ )()()()( 12211221 txcxktxcxktxytxy 02)(2 2121 ctxxtcxxk ， 由于 0
27、k ， 则 0 )2(2 )(222)(2 2 2 2 2121 k ck tcctcctxxtcxx 对不同的 k值恒成立， 即 0 2 )() 2 )( 22 2 k tc k ck ctc 对不同的 k值恒成立， 则 0tc ， 即ct， 故存在点 )0,(cQ 符合题意 . 27.解： （）以AB 中点为原点O， AB 所在直线为x 轴， 建立直角坐标系，如图 则 A（-1,0）B(1,0) D(-1, 2 3 ) 设椭圆 F 的方程为 )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 得 1 1 2 3 )1( 22 2 2 2 2 ba ba 得 34104174 22224 baa
28、aa 所求椭圆F 方程 1 34 22 yx （）解：若存在这样的直线l， 依题意，l 不垂直 x 轴 设 l 方程 )1( 2 1 xky 代入 012) 2 1 (4) 2 1 (8)43(1 34 222 22 kxkkxk yx 得 设 ),( 11 yxM 、 ),( 22 yxN 有 1 2 21 xx 得 2 3 2 43 ) 2 1 (8 2 k k kk 得 又 1 34 ) 2 1 , 1( 22 yx C在椭圆点 内部 故所求直线l 方程 2 2 3 xy （）解法2：若存在这样的直线l， 设 ),(),( 2211 yx、NyxM ， 有 1 34 1 34 2 1 2
29、 2 2 1 2 1 yx yx 两式相减得 0)( 3 1 )( 4 12 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 21 xx 有 21 21 21 21 4 3 yy xx xx yy 1, 2) 2 1 , 1( 2121 yyxx，MNC有中点是 得 2 3 21 21 xx yy 即 l 斜率为 2 3 又 内部在椭圆点1 34 22 yx C ， 故所求直线l 方程 2 2 3 xy 29.解： （ 1）设 ).,(,),(,),( 00MM yxMyxGyxC MBMA ， M点在线段AB的中垂线上 由已知 ( 1,0) ,(1,0) ,0 M ABx ；又 GM AB， 0 yy
30、M 又 0GCGBGA 0,0,1,1 000000 yyxxyxyx 33 , 3 00 y y y y x x M MCMB 2 2 2 2 3 00 3 10y y x y 1 3 2 2 y x 0y ，顶点C的轨迹方程为 1 3 2 2 y x 0y . (2)设直线 l 方程为： )3(xky ， ),( 11 yxE ， ),( 22 yxF 由 1 3 )3( 2 2 y x xky 消去 y 得： 03963 2222 kxkxk 3 6 2 2 21 k k xx ， 3 39 2 2 21 k k xx 而 PFPEPFPEPFPE0cos 2 2 1 2 3131xkx
31、k 2121 2 391xxxxk3 3918279 1 2 222 2 k kkk k 2 22 241 48 24 33 k kk 由方程知 39346 22 2 2 kkk 0 2 k 8 3 0k ， 0 2 k 8 3 ， 8 27 ,33 2 k 9 88 ,8PFPE . 28.解： （1）因为 HCBH3 ， 所以 H 0 2 ， c ， 又因为 AH BC， 所以设 A 0 2 y c， ， 由 0ACAB 得 0 22 00 y c cy c c， 即 22 0 4 3 cy 3 分 所以 |AB| = c cc 3 4 3 2 3 2 2 ， |AC | = c cc 4
32、 3 2 2 2 椭圆长轴 2a = |AB| + |AC| = ( 3 + 1)c，所以， 13 a c e （2）设 D (x1， y1)， 因为 D 分有向线段 AB的比为 ， 所以 1 2 1 c c x ， 1 0 1 y y ， 设椭圆方程为 2 2 2 2 b y a x = 1 (a b 0)， 将 A、D 点坐标代入椭圆方程得 1 4 2 2 0 2 b ye . 1 )1( 1 )1( )21( 4 22 2 0 2 22 b ye 由得 1 2 2 0 b y 4 2 e ， 代入并整理得 1 1 3 1 2 2 e ， 因为 5 2 7 ， 所以 2 1 3 1 2 ，e ， 又 0 e 1， 所以 3 3 e 2 2