《全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ).pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标 ） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分， 共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1已知集合 A= x| x1 ， B= x| 3x1 ， 则（） AAB=x| x0 BAB=R CAB= x| x1DAB=? 2如图， 正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色 部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 （） ABCD 3设有下面四个命题 p1：若复数 z 满足R， 则 zR ； p2：若复数 z 满足 z 2R， 则 zR； p3：若复数
2、z1， z2满足 z1z2R， 则 z1=； p4：若复数 zR， 则 R其中的真命题为（） Ap1， p3 Bp1， p4Cp2， p3Dp2， p4 4Sn为等差数列 an的前 n 项和若 a4+a5=24， S6=48， 则an的公差为（） A1 B2 C 4 D8 5函数 f（x）在（，+）单调递减，且为奇函数若f（1）=1， 则满足 1f（x 2）1 的 x 的取值范围是（） A 2， 2B 1， 1C 0， 4 D 1， 3 6 （1+） （1+x）6展开式中 x2的系数为（） A15 B20 C30 D35 7某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角
3、形组成， 正方形的边长为 2， 俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有 若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A10 B12 C 14 D16 2 8如图程序框图是为了求出满足3n2n1000 的最小偶数n， 那么在 和两个空白框中，可以分别填入（） AA1000 和 n=n+1 BA1000 和 n=n+2 CA1000 和 n=n+1 DA1000 和 n=n+2 9已知曲线 C1： y=cosx， C2：y=sin （2x+） ， 则下面结论正确的是 （） A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍， 纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单 位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各
4、点的横坐标伸长到原来的2 倍， 纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单 位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍， 纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单 位长度，得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍， 纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单 位长度，得到曲线 C2 10已知 F为抛物线 C：y2=4x的焦点， 过 F作两条互相垂直的直线l1， l2， 直线 l1与 C交于 A、B 两点， 直线 l2与 C交于 D、E两点， 则| AB|+| DE| 的最小值为（） A16 B14 C12 D10 11设 x、y、z为正数，且 2x=3y=5z， 则（）
5、 A2x3y5z B5z2x3y C3y5z2x D3y2x5z 12 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件 为激发大家学习数学的兴趣，他 们推出了 “ 解数学题获取软件激活码 ” 的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知 数列 1， 1， 2， 1， 2， 4， 1， 2， 4， 8， 1， 2， 4， 8， 16， ， 其中第一项是 20， 接下来的两项是20， 21， 再接下来的三项是20， 21， 22， 依此类推求满足如下条 件的最小整数 N： N100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是 （） A440 B330 C220 D110 二
6、、填空题：本题共4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分 13已知向量，的夹角为 60 ， | =2， | =1， 则|+2 | = 3 14设 x， y 满足约束条件， 则 z=3x2y 的最小值为 15已知双曲线 C：=1（a0， b0）的右顶点为 A， 以 A 为圆心，b 为半径作圆 A， 圆 A 与双曲线 C的一条渐近线交于M、N 两点若MAN=60 ， 则 C的离心率为 16如图，圆形纸片的圆心为O， 半径为 5cm， 该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 OD、E 、F 为圆 O 上的点，DBC ， ECA ， FAB分别 是以 BC ， CA， AB为底边的等腰三角形 沿虚线剪
7、开后，分别以 BC ， CA ， AB为折痕折起 DBC ， ECA ， FAB ， 使得 D、 E、 F重合， 得到三棱锥当 ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： cm3）的最大值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答 17ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， 已知 ABC的面积为 （1）求 sinBsinC ； （2）若 6cosBcosC=1 ， a=3， 求ABC的周长 18 （12 分）如图， 在四棱锥 PABCD中， ABCD， 且B
8、AP= CDP=90 （1）证明：平面 PAB 平面 PAD ； （2）若 PA=PD=AB=DC， APD=90 ， 求二面角 APBC的余弦值 4 19 （12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm） 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态 下生产的零件的尺寸服从正态分布N（ ， 2） （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在（ 3 ， +3 ）之 外的零件数，求 P（X1）及 X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ 3 ， +3 ）之外的零件，就认为这条
9、生 产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸： 9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95 经计算得=9.97， s=0.212， 其中 xi为抽取 的第 i 个零件的尺寸，i=1， 2， ， 16 用样本平均数作为 的估计值， 用样本标准差 s作为 的估计值， 利用估计值判断是 否需对当天的生产过程进行检查？剔除（3+3）之外的数据，用剩下的数据估 计 和 （精确到 0.
10、01） 附：若随机变量Z服从正态分布 N（ ， 2） ， 则 P（ 3 Z +3 ）=0.9974， 0.997416 0.9592，0.09 5 20 （12 分）已知椭圆 C：+=1（ab0） ， 四点 P1（1， 1） ， P2（0， 1） ， P3（1， ） ， P4（1，）中恰有三点在椭圆C上 （1）求 C的方程； （2）设直线 l 不经过 P2点且与 C相交于 A， B两点若直线 P2A 与直线 P2B的斜率的和为 1， 证明： l 过定点 21 （12 分）已知函数 f（x）=ae2x+（a2）exx （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范
11、围 6 选修 4-4， 坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中， 曲线 C 的参数方程为（为参数） ， 直线 l 的 参数方程为（t 为参数） （1）若 a=1， 求 C与 l 的交点坐标； （2）若 C上的点到 l 距离的最大值为， 求 a 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=x2+ax+4， g（x）=| x+1|+| x1| （1）当 a=1时， 求不等式 f（x）g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含 1， 1 ， 求 a 的取值范围 7 参考答案与试题解析 一、选择题 1 ：A解：集合 A= x| x1 ， B= x| 3x1 =
12、x| x0 ， AB=x| x0 ， 故 A 正确， D 错误； AB= x| x1 ， 故 B 和 C都错误 2B 解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1， 则正方形的 边长为 2， 则黑色部分的面积S=， 则对应概率 P= 3B解：若复数 z 满足R ， 则 zR， 故命题 p1为真命题； p2：复数 z=i满足 z2=1R， 则 z?R， 故命题 p2为假命题； p3：若复数 z1=i， z2=2i满足 z1z2R， 但 z1， 故命题 p3为假命题； p4：若复数 zR， 则 =zR， 故命题 p4为真命题 4C解： Sn为等差数列 an的前 n 项和， a4+
13、a5=24， S6=48， ， 解得 a1=2， d=4， an 的公差为 4 5D 解：函数 f（x）为奇函数 若 f（1）=1， 则 f（1）=1， 又函数 f（x）在（，+）单调递减，1f（x2）1， f（1）f（x2）f（1） ， 1x21， 解得： x 1， 3 ， 6C解： （1+） （1+x） 6 展开式中： 8 若（1+）=（1+x 2）提供常数项 1， 则（1+x）6 提供含有 x2的项， 可得展开式中 x 2 的系 数： 若（1+）提供 x 2 项， 则（1+x）6提供含有 x4的项， 可得展开式中 x2的系数： 由（1+x）6通项公式可得 可知 r=2 时， 可得展开式中
14、 x2的系数为 可知 r=4 时， 可得展开式中 x2的系数为 （1+） （1+x） 6 展开式中 x 2 的系数为： 15+15=30 7B解：由三视图可画出直观图， 该立体图中只有两个相同的梯形的面， S梯形=2（2+4）=6， 这些梯形的面积之和为62=12， 8D解：因为要求 A1000 时输出，且框图中在 “ 否” 时输出， 所以“” 内不能输入 “A 1000” ， 又要求 n 为偶数，且 n 的初始值为 0， 所以“” 中 n 依次加 2 可保证其为偶数，所以 D 选项满足要求， 9解：把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍， 纵坐标不变，得到函数 y=cos2x图象， 再 把得到
15、的曲线向左平移个单位长度， 得到函数 y=cos2 （x+）=cos （2x+）=sin （2x+） 的图象，即曲线 C2， 故选： D 10A 解：如图，l1l2， 直线 l1与 C交于 A、B两点， 直线 l2与 C交于 D、E两点， 要使| AB|+| DE | 最小， 则 A与 D， B， E关于 x轴对称， 即直线 DE的斜率为 1， 又直线 l2过点（ 1， 0） ， 9 则直线 l2的方程为 y=x1， 联立方程组， 则 y24y4=0， y1+y2=4， y1y2=4， | DE | =?| y1y2| =8， | AB|+| DE| 的最小值为 2| DE | =16， 11
16、D解：x、y、z 为正数，令 2x=3 y=5z=k1lgk0则 x= ， y=， z= 3y=， 2x=， 5z= =，= lg03y2x5z 12 A 解： 设该数列为 an ，设 bn=+ +=2 n1， （nN+） ，则 =ai， 由题意可设数列 an 的前 N 项和为 SN， 数列 bn的前 n 项和为 Tn， 则 Tn=211+221+ +2n 1=2nn2， 可知当 N 为时 （nN+） ， 数列an的前 N 项和为数列 bn的前 n 项和， 即为 2nn2， 容易得到 N100 时， n14， A 项， 由=435， 440=435+5， 可知 S440=T29+b5=2 30
17、292+251=230， 故 A 项符合题 意 B项， 仿上可知=325， 可知 S330=T25+b5=226252+251=226+4， 显然不为 2 的整数 幂， 故 B项不符合题意 C项， 仿上可知=210， 可知 S220=T20+b10=2 21202+2101=221+21023， 显然不为 2 的整数幂，故 C项不符合题意 D 项， 仿上可知=105， 可知 S110=T14+b5=2 15142+251=215+15， 显然不为 2 的整 数幂， 故 D项不符合题意 故选 A 10 方法二：由题意可知：， ， 根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为： 211， 221，
18、 231， ， 2n1， 每项含有的项数为： 1， 2， 3， ， n， 总共的项数为 N=1+2+3+ +n=， 所有项数的和为Sn：211+221+231+ +2n1=（21+22+23+ +2n）n=n=2n +12 n， 由题意可知： 2n +1 为 2 的整数幂只需将 2n 消去即可， 则1+2+（2n）=0， 解得： n=1， 总共有+2=3， 不满足 N100， 1+2+4+（2n）=0， 解得： n=5， 总共有+3=18， 不满足 N100， 1+2+4+8+（2n）=0， 解得： n=13， 总共有+4=95， 不满足 N100， 1+2+4+8+16+（2n）=0， 解得
19、：n=29， 总共有+5=440， 满足 N100， 该款软件的激活码440 二、填空题 13 2 解：向量，的夹角为 60 ， 且| =2， | =1， =+4 ? +4 =2 2+421cos60 +412 =12， |+2 | =2 145 解：由 x， y 满足约束条件作出可行域如图， 由图可知，目标函数的最优解为A， 联立， 解得 A（ 1， 1） z=3x2y 的最小值为 3121=5 11 15 解：双曲线 C：=1（a0， b0）的右顶点为 A（a， 0） ， 以 A为圆心，b 为半径做圆 A， 圆 A 与双曲线 C的一条渐近线交于M、N 两点 若MAN=60 ， 可得 A 到
20、渐近线 bx+ay=0的距离为： bcos30 =， 可得：=， 即， 可得离心率为： e= 164cm3 解：由题意，连接 OD， 交 BC于点 G， 由题意得 ODBC， OG=BC ， 即 OG 的长度与 BC的长度成正比，设 OG=x ， 则 BC=2x， DG=5x， 三棱锥的高 h=， =3， 则 V=， 令 f（x）=25x410x 5， x（0， ） ， f （x）=100x 350x4， 令 f （x）0， 即 x42x30， 解得 x2， 则 f（x）f（2）=80， V=4cm3， 体积最大值为4cm3 三、解答题 17解： （1）由三角形的面积公式可得SABC=acsi
21、nB=， 3csinBsinA=2a ， 由正弦定理可得 3sinCsinBsinA=2sinA ， sinA0， sinBsinC= ； （2）6cosBcosC=1 ， cosBcosC= ， cosBcosC sinBsinC= =， cos（B+C）=， cosA= ， 0A ， A=， =2R=2， sinBsinC=?=， 12 bc=8， a2=b2+c 22bccosA ， b2+c2bc=9， （b+c）2=9+3cb=9+24=33， b+c= 周长 a+b+c=3+ 18 （1）证明： BAP= CDP=90 ， PA AB， PD CD ， ABCD， ABPD， 又P
22、A PD=P ， 且 PA ? 平面 PAD ， PD? 平面 PAD ， AB平面 PAD ， 又 AB? 平面 PAB ， 平面 PAB 平面 PAD ； （2）解： ABCD， AB=CD ， 四边形 ABCD为平行四边形， 由（1）知 AB平面 PAD ， ABAD， 则四边形 ABCD为矩形， 在APD中， 由 PA=PD ， APD=90 ， 可得PAD为等腰直角三角形， 设 PA=AB=2a ， 则 AD= 取 AD中点 O， BC中点 E， 连接 PO 、OE， 以 O为坐标原点，分别以 OA、OE 、OP所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系， 则：D（） ， B（）
23、， P（0， 0，） ， C（） ， 设平面 PBC的一个法向量为， 由， 得， 取 y=1， 得 AB平面 PAD ， AD? 平面 PAD ， ABAD， 又 PD PA ， PA AB=A ， PD平面 PAB ， 则为平面 PAB的一个法向量， cos= 由图可知，二面角 APB C为钝角， 二面角 APB C的余弦值为 13 19解： （1）由题可知尺寸落在（ 3 ， +3 ）之内的概率为 0.9974， 则落在（ 3 ， +3 ）之外的概率为10.9974=0.0026 ， 因为 P（X=0）=（10.9974）00.9974160.9592， 所以 P（X1）=1P（X=0）=0
24、.0408， 又因为 XB（16， 0.0026） ， 所以 E（X）=160.0026=0.0416 ； （2） （）由（ 1）知尺寸落在（ 3 ， +3 ）之外的概率为0.0026， 由正态分布知尺寸落在（ 3 ， +3 ）之外为小概率事件， 因此上述监控生产过程方法合理； （）因为用样本平均数作为 的估计值， 用样本标准差 s 作为 的估计值， 且 =9.97， s=0.212， 所以3=9.9730.212=9.334，+3=9.97+30.212=10.606， 所以 9.22?（3+3）=（9.334， 10.606） ， 因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除（3+3）之外的数据
25、 9.22， 则剩下的数据估计=10.02， 将剔除掉 9.22后剩下的 15 个数据，利用方差的计算公式代入计算可知 20.008， 所以 0.09 20解： （1）根据椭圆的对称性，P3（1，） ， P4（1，）两点必在椭圆C上， 又 P4的横坐标为 1， 椭圆必不过 P1（1， 1） ， P2（0， 1） ， P3（1，） ， P4（1，）三点在椭圆 C上 把 P2（0， 1） ， P3（1，）代入椭圆 C， 得： ， 解得 a 2=4， b2=1， 椭圆 C的方程为=1 证明： （2）当斜率不存在时，设 l：x=m， A（m， yA） ， B（m， yA） ， 14 直线 P2A 与直
26、线 P2B的斜率的和为 1， =1， 解得 m=2， 此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足 当斜率存在时，设 l：y=kx+b， （b1） ， A（x1， y1） ， B（x2， y2） ， 联立， 整理， 得（1+4k2）x2+8kbx+4b24=0， ， x1x2=， 则= =1， 又 b1， b=2k1， 此时 =64k， 存在 k， 使得 0 成立， 直线 l 的方程为 y=kx2k1， 当 x=2时， y=1， l 过定点（ 2， 1） 选修 4-5：不等式选讲 23解： （1）当 a=1时， f（x）=x 2+x+4， 是开口向下， 对称轴为 x=的二次函数， g（x）
27、=| x+1|+| x1| =， 当 x（1， +）时，令x 2+x+4=2x， 解得 x= ， g（x）在（ 1， +）上单调递增， f（x）在（ 1， +）上单调递减，此时 f（x）g（x）的解集为（ 1， ； 当 x 1， 1 时， g（x）=2， f（x）f（1）=2 当 x（，1）时， g（x）单调递减，f（x）单调递增，且 g（1）=f（1）=2 综上所述，f（x）g（x）的解集为 1， ； 15 （2）依题意得： x 2+ax+42 在 1， 1 恒成立， 即 x2ax20在 1， 1 恒成立， 则 只需， 解得 1a1， 故 a 的取值范围是 1， 1 21解： （1）由 f（
28、x）=ae 2x+（a2）exx， 求导 f （x）=2ae 2x+（a2）ex1， 当 a=0时， f （x）=2ex10， 当 xR， f（x）单调递减， 当 a0 时， f （x）=（2ex+1） （ae x1）=2a（ex+ ） （ex） ， 令 f （x）=0， 解得： x=ln， 当 f （x）0， 解得： xln， 当 f （x）0， 解得： xln， x（，ln）时， f（x）单调递减，x（ln， +）单调递增； 当 a0 时， f （x）=2a（ex+） （ex）0， 恒成立， 当 xR， f（x）单调递减， 综上可知：当 a0 时， f（x）在 R单调减函数， 当 a0 时
29、， f（x）在（，ln）是减函数，在（ln， +）是增函数； （2）若 a0 时， 由（1）可知： f（x）最多有一个零点， 当 a0 时， f（x）=ae 2x+（a2）exx， 当 x时，e2x0 ， ex0 ， 当 x时，f（x）+， 当 x， e2x+， 且远远大于 ex和 x， 当 x， f（x）+， 函数有两个零点，f（x）的最小值小于 0 即可， 由 f（x）在（，ln）是减函数，在（ln， +）是增函数， f（x）min=f（ln）=（）+（a2）ln0， 16 1ln0， 即 ln+10， 设 t=， 则 g（t）=lnt+t1， （t0） ， 求导 g （t）=+1， 由
30、g（1）=0， t=1， 解得： 0a1， a 的取值范围（ 0， 1） 选修 4-4， 坐标系与参数方程 22解： （1）曲线 C的参数方程为（为参数） ， 化为标准方程是：+y2=1； a=1 时， 直线 l 的参数方程化为一般方程是：x+4y3=0； 联立方程， 解得或， 所以椭圆 C和直线 l 的交点为（ 3， 0）和（，） （2）l 的参数方程（t 为参数）化为一般方程是：x+4ya4=0， 椭圆 C上的任一点 P可以表示成 P（3cos ， sin ） ， 0， 2 ） ， 所以点 P到直线 l 的距离 d 为： d=， 满足 tan = ， 又 d 的最大值 dmax=， 所以| 5sin（ + ）a4| 的最大值为 17， 得：5a4=17或5a4=17， 即 a=16 或 a=8