全国高考新课标2卷文科数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 10 页 2018 年普通高等学校招生全国统一考试新课标2 卷 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1i(2+3i)=( ) A3-2i B 3+2i C-3-2i D-3+2i 解析：选D 2已知集合A=1,3,5,7， B=2,3,4,5， 则 A B=( ) A3 B 5 C3,5 D 1,2,3,4,5,7 解析：

2、选C 3函数 f(x)= e x-e-x x 2的图像大致为 ( ) 解析：选B f(x)为奇函数，排除 A,x0,f(x)0,排除 D,取 x=2,f(2)= e 2-e-2 4 1, 故选 B 4已知向量a， b 满足 |a|=1 ， a b=-1， 则 a(2a-b)= ( ) A4 B3 C 2 D0 解析：选B a (2a-b)=2a 2-a b=2+1=3 5从 2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为 A0.6 B0.5 C 0.4 D0.3 解析：选D 5 人选 2 人有 10 种选法， 3 人选 2 人有 3 中选法。 6双曲线

3、x 2 a 2y 2 b 21(a 0， b 0) 的离心率为3， 则其渐近线方程为( ) Ay=2x By=3x C y= 2 2 x Dy= 3 2 x 解析：选A e=3 c 2=3a2 b= 2a 7在 ABC中， cos C 2= 5 5 ， BC=1， AC=5， 则 AB= ( ) A42 B30 C 29 D25 第 2 页 共 10 页 解析：选A cosC=2cos 2C 2 -1= - 3 5 AB 2=AC2+BC2-2ABBC cosC=32 AB=4 2 8为计算S=1- 1 2 + 1 3 - 1 4 + + 1 99 - 1 100， 设计了右侧的程序框图， 则

4、在空白框中应填入( ) 开始 0,0NT SNT S输出 1i 100i 1 NN i 1 1 TT i 结束 是否 Ai=i+1 Bi=i+2 C i=i+3 Di=i+4 解析：选B 9在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E 为棱 CC1的中点，则异面直线AE与 CD所成角的正切值为( ) A 2 2 B 3 2 C 5 2 D 7 2 解析：选C 即 AE与 AB所成角，设 AB=2,则 BE= 5, 故选 C 10若 f(x)=cosx-sinx在0,a是减函数，则 a 的最大值是 ( ) A 4 B 2 C 3 4 D 解析：选C f(x)= 2cos(x+ 4 ), 依据 f(

5、x)=cosx与 f(x)= 2cos(x+ 4 ) 的图象关系知a 的最大值为 3 4 。 11 已知 F1， F2是椭圆 C的两个焦点， P 是 C上的一点， 若 PF1PF2，且 PF2F1=60 0， 则 C的离心率为 ( ) A1- 3 2 B2-3 C 3-1 2 D3-1 解析：选D 依题设 | PF1|=c,| PF2|=3c, 由| PF1|+| PF2|=2a 可得 12已知 f(x) 是定义域为 (- ,+ ) 的奇函数，满足 f(1-x)= f(1+x)若 f(1)=2 ， 则 f(1)+f(2)+f(3)+ +f(50)= ( ) A-50 B0 C 2 D50 解析

6、：选C 由 f(1-x)= f(1+x)得 f(x+2)=-f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的奇函数，且 f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=f(1)+f(2)=2 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13曲线 y=2lnx 在点 (1,0)处的切线方程为_ 解析： y=2x-2 14若 x,y 满足约束条件 x+2y-5 0 x-2y+3 0 x-5 0 , 则 z=x+y 的最大值为 _ 解析： 9 第 3 页 共 1

7、0 页 15已知 tan( - 5 4 )= 1 5， 则 tan =_ 解析：由两角差的正切公式展开可得tan =3 2 16已知圆锥的顶点为S， 母线 SA ， SB 互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为30 0， 若 SAB的面积为 8， 则 该圆锥的体积为_ 解析：设母线为2a， 则圆锥高为a， 底面半径为3a, 依题 1 2 2a2a=8, a=2 V= 1 3 (2 3) 2=8 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17 （ 12

8、 分） 记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和，已知 a1=-7 ， S3=-15 （1）求 an 的通项公式； （2）求 Sn， 并求 Sn的最小值 解： （ 1）设 an的公差为d， 由题意得3 a1+3d=-15, 由 a1=-7 得 d=2. 所以 an 的通项公式为an=2n-9. （2）由（ 1）得 Sn=n 2-8n=(n-4)2-16. 所以当 n=4 时, Sn取得最小值 , 最小值为 - 16. 18 （ 12 分） 下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t

9、的两个线性回归模型根据2000 年至 2016 年的数据 （时间变量t 的值依次为1,2, ,17 ）建立模型： y =-30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1,2, ,7 ）建立模型：y =99+17.5t （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 解： （1）利用模型, 该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y =-30.4+13.519=226.1 (亿元 ). 利用模型 ,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y =9

10、9+17.5 9=256.5 (亿元 ). （2）利用模型得到的预测值更可靠. 理由如下： 第 4 页 共 10 页 （）从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y =-30.4+13.5t上下 . 这说明利用2000 年至2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋 势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条 直线的附近，这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势, 利用2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y =99

11、+17.5t可以较好地描述2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋 势, 因此利用模型得到的预测值更可靠. （）从计算结果看, 相对于 2016 年的环境基础设施投资额220 亿元 , 由模型得到的预测值226.1 亿元 的增幅明显偏低, 而利用模型得到的预测值的增幅比较合理. 说明利用模型得到的预测值更可靠. 以上给出了2 种理由 ,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19 （ 12 分） 如图，在三棱锥P-ABC中， AB=BC=2 2， PA=PB=PC=AC=4 ， O 为 AC的中点 （1）证明： PO 平面 ABC ； （2）若点 M在棱 BC上，且 MC=2MB ，

12、 求点 C到平面 POM 的距离 （1）证明：因为AP=CP=AC=4， O 为 AC的中点，所以 OP AC ， 且 OP=2 3. 连结 OB.因为 AB=BC= 2 2 AC ， 所以 ABC为等腰直角三角形，且 OB AC ， OB=1 2AC=2. 由 OP 2+OB2=PB2 知 OP OB. 由 OP OB,OP AC知 OP 平面 ABC. （2）解：作CH OM ， 垂足为 H又由（ 1）可得 OP CH ， 所以 CH 平面 POM 故 CH的长为点 C到平面 POM 的距离 由题设可知OC= 1 2AC =2， CM= 2 3BC= 42 3 ， ACB=45 所以 OM

13、= 25 3 ， CH=OC MC sin ACB OM =4 5 5 所以点 C到平面 POM 的距离为 45 5 也可用等积法求 20 （ 12 分） 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为 F， 过 F 且斜率为k(k0) 的直线 l 与 C交于 A， B 两点， |AB|=8 （1）求 l 的方程； （2）求过点A， B 且与 C的准线相切的圆的方程 解： （ 1）由题意得F(1,0) ， l的方程为y=k(x-1)(k0). 第 5 页 共 10 页 设 A(x1,y1) ， B(x 2,y2) ， 由 y=k(x-1) y 2=4x 得 k 2x2-(2k2+4)x+k2=0. =16

14、k 2+160， 故 x 1+x2= 2k 2+4 k 2. 所以 |AB|= x 1+x2+2=2k 2+4 k 2+2=8 ， 解得 k=-1 （舍去）， k=1. 因此 l 的方程为y=x-1. （2）由（ 1）得 AB的中点坐标为(3,2)， 所以 AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)， 即 y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0) ， 则 y0=-x0+5 (x0+1) 2=(y 0-x0+1) 2 2 +16 解得 x0=3 y0=2 或 x0=11 y0=-6 因此所求圆的方程为(x-3) 2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2 =144. 21

15、（ 12 分） 已知函数f(x)= 1 3x 3-a(x2+x+1) （1）若 a=3， 求 f(x) 的单调区间； （2）证明： f(x)只有一个零点 解： （1）当 a=3 时， f （ x）=1 3x 3-3x2-3x-3) ， f （ x）=x 2-6x-3 2 63xx 令 f （ x）=0 解得 x=3-23或 x=3+23 当 x（， 3-23）（ 3+23， + ）时， f （ x）0； 当 x（ 3-23， 3+23）时， f （ x）0， 所以 f(x)=0 等价于 x 3 x 2+x+1 - 3a=0 设 g(x)= x 3 x 2+x+1 - 3a， 则 g （ x）=

16、x 2(x2+2x+3) (x 2+x+1)2 0， 仅当 x=0 时 g （ x）=0， 所以 g（x）在（， +）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而 f （x）至多有一个零点 又 f （3a1）=-6a+2a- 1 3=-6(a- 1 6) 2- 1 60， 故 f （x）有一个零点 综上， f （x）只有一个零点 （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 44：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在直角坐标系xOy 中， 曲线 C的参数方程为 x=2cos y=4sin （为参数） ， 直线 l 的参数方程为 x=1

17、+tcos y=2+tsin （t 为参数） （1）求 C和 l 的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2) ， 求 l 的斜率 【解析】（1）曲线 C的直角坐标方程为 x 2 4 + y 2 16=1 当 cos 0 时， l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ， 当 cos=0 时， l的直角坐标方程为x=1 第 6 页 共 10 页 （2） 将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 (1+3cos 2)t2+4(2cos +sin )t-8=0 因为曲线C截直线 l 所得线段的中点(1,2) 在 C内，所以有两个解，设为 t1，

18、 t 2， 则 t1+t2=0 又由得2cos+sin =0， ， 于是直线l 的斜率 k=tan =-2 23 选修 45：不等式选讲 （10 分） 设函数 f(x)=5-|x-a|-|x-2| （1）当 a=1 时，求不等式f(x)0 的解集； （2）若 f(x)1， 求 a 的取值范围 【解析】（1）当 a=1 时， 2x+4 x-1 2 -12 可得 f(x) 0 的解集为 x|-2x3 （2） f(x)1 等价于 |x+a|+|x-2|4 而|x+a|+|x-2|a+2| ， 且当 x=2 时等号成立故f(x)1 等价于 |a+2| 4得 a -6 或 a2， 所以 a 的取值范围是

19、(- ,-62,+ ) 第 7 页 共 10 页 绝密启用前 普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 1D 2 C 3B 4B 5D 6A 7A 8 B 9C 10C 11 D 12C 二、填空题 13y=2x2 149 15 3 2 16 8 三、解答题 17解： （1）设 an 的公差为d， 由题意得3a1+3d=15 由 a1=7 得 d=2 所以 an的通项公式为an=2n9 （2）由（ 1）得 Sn=n 28n=（n4）2 16 所以当 n=4 时， Sn取得最小值，最小值为 16 18解： （1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为

20、y $ = 30.4+13.5 19=226.1 （亿元） 利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y $ =99+17.5 9=256.5 （亿元） （2）利用模型得到的预测值更可靠 理由如下： （i ） 从折线图可以看出， 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y=30.4+13.5t上下， 这说明利用2000 年至2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋 势 2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一 条直线的附近，这说明从 2010 年开始环

21、境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年 至 2016 年的数据建立的线性模型y $ =99+17.5t可以较好地描述2010 年以后的环境基础设施投资额的变 化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠 （ii ）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额220 亿元，由模型得到的预测值226.1 第 8 页 共 10 页 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更 可靠 以上给出了2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分学科 网 19解： （1）因为 AP=CP=AC=4 ， O 为 AC的中点，所以 OP

22、AC ， 且 OP=2 3 连结 OB 因为 AB=BC= 2 2 AC ， 所以 ABC为等腰直角三角形，且 OB AC ， OB= 1 2 AC=2 由 222 OPOBPB 知， OPOB 由 OP OB ， OPAC知 PO 平面 ABC （2）作 CH OM ， 垂足为 H又由（ 1）可得 OP CH ， 所以 CH 平面 POM 故 CH的长为点C到平面 POM 的距离 由题设可知OC= 1 2 AC =2， CM= 2 3 BC = 4 2 3 ， ACB=45 所以 OM= 2 5 3 ， CH= sinOC MCACB OM = 4 5 5 所以点 C到平面 POM 的距离为

23、 4 5 5 20解： （1）由题意得F（1， 0 ） ， l的方程为 y=k（x1） （k0） 设 A（x1， y1） ， B（ x2， y2） 由 2 (1) 4 yk x yx 得 2222 (24)0k xkxk 2 16160k， 故 2 12 2 24k xx k 所以 2 12 2 44 (1)(1) k ABAFBFxx k 由题设知 2 2 44 8 k k ， 解得 k=1（舍去）， k=1 第 9 页 共 10 页 因此 l 的方程为y=x1 （2）由（ 1）得 AB的中点坐标为（3， 2 ） ， 所以 AB的垂直平分线方程为 2(3)yx， 即5yx 设所求圆的圆心坐标

24、为（x0， y0） ， 则 00 2 2 00 0 5 (1) (1)16. 2 yx yx x ， 解得 0 0 3 2 x y ， 或 0 0 11 6. x y ， 因此所求圆的方程为 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy 21解： （1）当 a=3 时， f （x） = 321 333 3 xxx， f （ x）= 2 63xx 令 f （ x） =0 解得 x=3 2 3或 x=32 3 当 x（， 32 3）（323， + ）时， f （ x）0； 当 x（ 3 2 3，3 2 3 ）时， f （ x）0 故 f （x）在（， 32 3）， （3 2 3，

25、+ ）单调递增， 在（3 2 3，32 3）单调递减 （2）由于 2 10xx， 所以 ( )0f x等价于 3 2 30 1 x a xx 设( )g x = 3 2 3 1 x a xx ， 则 g （ x）= 22 22 (23) (1) xxx xx 0， 仅当 x=0 时 g （ x）=0， 所以 g（x）在 （， + ）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而 f （x）至多有一个零点学科网 又 f （3a1）= 22111 626()0 366 aaa， f （ 3a+1）= 1 0 3 ， 故 f （x）有一个零点 综上， f （x）只有一个零点 23解： （1）当1a时， 24

26、,1, ( )2, 12, 26,2. xx f xx xx 可得( )0f x的解集为 |23xx （2）( )1f x等价于 |2 |4xax 而 |2| |2|xaxa， 且当2x时等号成立故( )1f x等价于 |2 |4a 第 10 页 共 10 页 由 | 2 |4a可得6a或2a， 所以 a 的取值范围是(, 62,)U 22解： （1）曲线C的直角坐标方程为 22 1 416 xy 当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx， 当cos0时，l的直角坐标方程为1x （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 22 (13cos)4(2cossin)80tt 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2) 在C内，所以有两个解，设为 1t，2t， 则120tt 又由得 12 2 4(2cossin) 13cos tt， 故2cossin0， 于是直线l的斜率tan2k