全国高考理科数学试题分类汇编：概率与统计.pdf

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1、全国高考理科数学试题分类汇编：概率与统计 一、选择题 1 （2019 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布 直方图如图，数据的分组一次为20,40 , 40,60，60,80 ,8 20,100 .若低于 60 分的人数是15 人，则该班的学生人数是 （） A45B50C55D60 【答案】B 2 （2019 年高考陕西卷（理） ）某单位有840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 42 人做问卷调查， 将 840 人按 1， 2 ， 840随机编号，则抽取的42 人中，编号落入区间 481 ， 720的人 数为（） A 11 B12 C13 D 1

2、4 【答案】B 3 （2019 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）某班级有50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女 生， 随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86， 94 ， 88， 92 ， 90 ， 五名女生的成绩分别为88， 93 ， 93 ， 88 ， 93. 下列说法一定正确的是（） A这种抽样方法是一种分层抽样 B这种抽样方法是一种系统抽样 C这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C 4 （2019 年高考湖南卷（理）某学校有男、女学生各500 名. 为了解男女学

3、生在学习兴趣与业余爱好方 面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（） A抽签法B随机数法C系统抽样法D分层抽样法 【答案】D 5 （2019 年高考陕西卷（理） ）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其 信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF( 该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 （） 1 2 D A C B E F A 1 4 B1 2 C 2 2 D 4 【答案】A 6 （2019 年高考四川卷（理） ）节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的

4、第一次闪亮相互独立， 若接通电后的4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同 时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 秒的概率是（） A 1 4 B 1 2 C 3 4 D 7 8 【答案】C 7 （2019 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他 们的模块测试成绩分为6 组:40 ， 50) ， 50， 60) ， 60， 70) ， 70， 80) ， 80， 90) ， 90 ， 100) 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600 名， 据此估 计，该模块测试成绩不少于60 分的

5、学生人数为（） A 588 B480 C450 D 120 【答案】B 8 （2019 年高考江西卷（理） ）总体有编号为01， 02， ， 19， 20 的 20 个个体组成。利用下面的随 机数表选取5 个个体，选取方法是从随机数表第1 行的第 5 列和第6 列数字开始由左到右依次选取 两个数字，则选出来的第5 个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 （） A 08 B07 C02 D 01 【答案】D 9 （2019 年高考新课标1（理）为了解某地区的中小

6、学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分 学生进行调查，事先已了解到该地区小学. 初中 . 高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女 生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（） A简单随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样D系统抽样 【答案】C 10 （2019 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）以下茎叶图记录了甲. 乙两组各五名学生在一次英 语听力测试中的成绩( 单位 : 分) 甲组乙组 9 0 9 x2 1 5 y8 7 4 2 4 已知甲组数据的中位数为15， 乙组数据的平均数为16.8， 则, x y的值分别为（） A2,5B5,5C5,8D8,8

7、【答案】C 11 （ 2019 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理） ）已知离散型随机变量 X的分布列为 X123 P 3 5 3 10 1 10 则X的数学期望EX（） A 3 2 B2C 5 2 D3 【答案】A 12 （ 2019 年高考湖北卷（理） ）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125 个同样大小的小正 方体 . 经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X， 则X的均值为EX （） A 126 125 B 6 5 C 168 125 D 7 5 【答案】B 二、填空题 13 （ 2019 年高考上海卷（理）盒子中装有编号为1， 2 ， 3 ， 4 ，

8、 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 的九个球，从中 任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_( 结果用最简分数表示) 【答案】 13 18 . 14 （2019 年高考湖北卷（理） ）从某小区抽取100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50 到 350 度之间，频率分布直方图所示. (I) 直方图中x的值为 _; (II)在这些用户中，用电量落在区间100,250内的户数为 _. 【答案】0.0044;70 15 （2019 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）抽样统计甲、 乙两位设计运动员的5 此训练成绩 ( 单 位 : 环) ， 结果如下 : 运 动 员 第 1

9、次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 甲87 91 90 89 93 乙89 90 91 88 92 则成绩较为稳定( 方差较小 ) 的那位运动员成绩的方差为_. 【答案】2 16 （2019 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）利用计算机产生01 之间的均匀随机数a， 则时间 “310a”发生的概率为_ 【答案】 2 3 17 （2019 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） ）从n个正整数1,2,n中任意取出两个不同 的数，若取出的两数之和等于5的概率为 1 14 ， 则n_. 【答案】8 18 （2019 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）为了考察某校各班

10、参加课外书法小组的人数，在 全校随机抽取5 个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据. 已知样本平均数为7， 样本方 差为 4， 且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为_. 【答案】10 19 （2019 年高考上海卷（理） ）设非零常数d是等差数列 12319 ,x xxxL的公差，随机变量等可能地取 值 12319 ,x xxxL， 则方差_D 【答案】30 |Dd. 20 （ 2019 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）在区间 3,3 上随机取一个数 x ，使得 121xx 成立的概率为 _. 【答案】 1 3 21 （2019 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷

11、）现在某类病毒记作 nmY X， 其中正整数m， n(7m，9n) 可以任意选取，则nm，都取到奇数的概率为_. 【答案】 20 63 . 三、解答题 22 （2019 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）某车间共有12名工人，随机抽取6名， 他们某 日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数 . ( ) 根据茎叶图计算样本均值; ( ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优 秀工人 ; ( ) 从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率. 【答案】解:(1) 由题意可知，样本均值 171920212530 2

12、2 6 x (2)Q样本 6 名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有2 名， 可以推断该车间12 名工人中优秀工人的人数为: 2 124 6 (3)Q从该车间 12 名工人中，任取 2 人有 2 12 66C种方法， 而恰有 1 名优秀工人有 11 102 20C C 所求的概率为: 11 102 2 12 2010 6633 C C P C 23 （ 2019 年高考北京卷（理） ）下图是某市3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染，某人随机选择3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该

13、市，并停留 2 天. ( ) 求此人到达当日空气重度污染的概率; ( ) 设 X是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X的分布列与数学期望; ( ) 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?( 结论不要求证明) 【答案】解: 设 i A表示事件“此人于3 月i日到达该市”( i=1， 2 ， ， 13). 根据题意， 1 () 13 i P A， 且 () ij AAijI. (I) 设 B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则 58 BAAU， 179 2015 30 第 17 题图 所以 5858 2 ( )()()() 13 P BP AAP AP AU. (II)由题意可知，

14、 X 的所有可能取值为0， 1 ， 2 ， 且 P(X=1)=P(A3A6A7A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= 4 13 ， P(X=2)=P(A1A2A12A 13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= 4 13 ， P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 5 13 ， 所以 X的分布列为 : 012 544 131313 X P 故 X的期望 54412 012 13131313 EX. (III)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 24 （2019 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）某联欢晚会举行抽奖活动

15、，举办方设置了甲. 乙两 种抽奖方案，方案甲的中奖率为 2 3 ， 中将可以获得2 分; 方案乙的中奖率为 2 5 ， 中将可以得3 分; 未中奖则不得分. 每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑 换奖品 . (1) 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y， 求3X的概率 ; (2) 若小明 . 小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问: 他们选择何种方案抽奖，累计的得分的 数学期望较大 ? 【答案】解:( ) 由已知得: 小明中奖的概率为 2 3 ， 小红中奖的概率为 2 5 ， 两人中奖与否互不影响， 记“这 2 人的累计得分3

16、X”的事件为A， 则 A事件的对立事件为“5X”， 224 (5) 3515 Q P X， 11 ( )1(5) 15 P AP X 这两人的累计得分3X的概率为 11 15 . ( ) 设小明 . 小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 1 X， 都选择方案乙抽奖中奖的次数为 2 X， 则这 两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 1 (2)EX，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 2 (3)EX 由已知 : 1 2 (2,) 3 XB， 2 2 (2,) 5 XB 1 24 ()2 33 E X， 2 24 ()2 55 E X 11 8 (2)2() 3 EXE X， 22 12 (3)3 (

17、) 5 EXE X 12 (2)(3)Q EXEX 他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大. 25 （2019 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）一个盒子里装有7 张卡片，其中有红色卡片4 张， 编号分别为1， 2 ， 3 ， 4; 白色卡片3 张，编号分别为2， 3 ， 4. 从盒子中任取4 张卡片 ( 假设取到任何一张卡片的可能性相同). ( ) 求取出的4 张卡片中，含有编号为3 的卡片的概率 . ( ) 再取出的4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】 26 （2019 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）甲、乙、丙

18、三人进行羽毛球练习赛，其中两人 比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均 为 1 , 2 各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判 . (I) 求第4局甲当裁判的概率; (II) X表示前4局中乙当裁判的次数， 求X的数学期望 . 【答案】 27 （2019 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理） ）现有 10 道题， 其中 6 道甲类题， 4 道乙类题，张 同学从中任取3 道题解答 . (I) 求张同学至少取到1 道乙类题的概率; (II)已知所取的3 道题中有2 道甲类题， 1 道乙类题 . 设张同学答对甲类题的概率都是 3 5 ， 答对每道 乙

19、类题的概率都是 4 5 ， 且各题答对与否相互独立. 用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和 数学期望 . 【答案】 1 （2019 年高考陕西卷（理） ） 在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手 (1 至 5 号) 登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎 歌手 . 各位观众须彼此独立地在选票上选3 名歌手，其中观众甲是1 号歌手的歌迷，他必选 1 号， 不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选2 名. 观众乙和丙对5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选3 名歌手 . ( ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3 号歌手的概率 ; ( ) X表示 3 号歌手得到观众甲

20、、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望. 【答案】解:( ) 设事件 A 表示 : 观众甲选中3 号歌手且观众乙未选中3 号歌手 . 观众甲选中3 号歌手的概率为 3 2 ， 观众乙未选中3 号歌手的概率为 5 3 -1. 所以 P(A) = 15 4 5 3 -1 3 2 ）（. 因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3 号歌手的概率为 15 4 ( ) X表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则 X可取 0， 1 ， 2 ， 3. 观众甲选中3 号歌手的概率为 3 2 ， 观众乙选中3 号歌手的概率为 5 3 . 当观众甲、乙、丙均未选中3 号 歌手时，这时 X=0 ， P(X

21、 = 0) = 75 4 ) 5 3 1() 3 2 1( 2 . 当观众甲、乙、丙中只有1 人选中 3 号歌手时，这时 X=1， P(X = 1) = 75 20 75 668 5 3 ) 5 3 1( 3 2 1 () 5 3 1( 5 3 3 2 1() 5 3 1( 3 2 2 ）. 来源 :Zxxk.Com 当观众甲、乙、丙中只有2 人选中 3 号歌手时，这时 X=2， P(X = 2) = 75 33 75 12912 5 3 ) 5 3 1( 3 2 5 3 5 3 3 2 1() 5 3 1 ( 5 3 3 2 ）. 当观众甲、乙、丙均选中3 号歌手时，这时 X=3， P(X

22、=3) = 75 18 ) 5 3 ( 3 22 . X的分布列如下表: X0 1 2 3 P 75 4 75 20 75 33 75 18 15 28 75 546620 75 18 3 75 33 2 75 20 1 75 4 0E 所以，数学期望 15 28 EX 1 （2019 年高考湖南卷（理） ）某人在如图4 所示的直角边长为4 米的三角形地块的每个格点( 指纵、横的 交叉点记忆三角形的顶点) 处都种了一株相同品种的作物. 根据历年的种植经验，一株该种作物的年 收获量 Y(单位 :kg) 与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示: X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42

23、 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 米. (I) 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率; (II)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望. 【答案】解: ( ) 由图知，三角形边界共有12 个格点，内部共有 3 个格点 . 从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有 0， 0 ， 1 ， 1 ， 0 ， 1 ， 1 ， 0 ， 0 ， 1 ， 2 ， 1 对 格点， 共 8 对格点恰好“相近”. 所以， 从三角 形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它 们恰好“相近”的概率 9 2 312 8 P ( ) 三角形共有1

24、5 个格点 . 与周围格点的距离不超过1 米的格点数都是1 个的格点有2个，坐标分别为 (4 ， 0) ， (0 ， 4). 15 4 )51(YP所以 与周围格点的距离不超过1 米的格点数都是2 个的格点有4个， 坐标分别为 (0 ， 0) ， (1， 3) ， (2 ， 2)， (3 ， 1). 15 4 )48(YP所以 与周围格点的距离不超过1 米的格点数都是3 个的格点有6个， 坐标分别为 (1 ， 0) ， (2， 0) ， (3 ， 0)，(0 ， 1 ， ) ， (0 ， 2) ， (0 ， 3 ， ). 15 6 )45(YP所以 与周围格点的距离不超过1 米的格点数都是4

25、个的格点有3个， 坐标分别为 (1 ， 1) ， (1， 2) ， (2 ， 1). 15 3 )42(YP所以 如下表所示 : 46 15 690 15 126270192102 15 3 42 15 6 45 15 4 48 15 2 51)(YE 46)(YE. 2 （2019 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定: 在一次 摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球， 再从装有1个蓝球与2个白球 的袋中任意摸出 1个球， 根据摸出 4个球中红球与蓝球的个数， 设一 .二. 三等奖如下 : 奖级摸出红 .蓝球个数获奖金额 一等奖

26、3 红 1 蓝200 元 二等奖3 红 0 蓝50 元 三等奖2 红 1 蓝10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1) 求一次摸奖恰好摸到1 个红球的概率 ; (2) 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X的分布列与期望E X . 【答案】 X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 频数2 4 6 3 概率 P 15 2 15 4 15 6 15 3 3 （2019 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且 规定 : 取出一个红球得1 分， 取出一个黄球2分，取出蓝球得3 分. (1) 当1,2, 3cba时， 从该袋子中任取(有

27、放回，且每球取到的机会均等)2 个球， 记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和， . 求分布列 ; (2) 从该袋子中任取( 且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数. 若 9 5 , 3 5 DE， 求.:cba 【答案】解:( ) 由已知得到: 当两次摸到的球分别是红红时2， 此时 331 (2) 664 P ; 当两 次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时4， 此时 223 11 35 (4) 66666618 P ; 当两 次摸到的球分别是红黄，黄红时3， 此时 32231 (3) 66663 P ; 当两次摸到的球分别是 黄蓝， 蓝黄时5， 此时 12211 (5)

28、66669 P ; 当两次摸到的球分别是蓝蓝时6， 此 时 1 11 (6) 6636 P ;所以的分布列是 : 2 3 4 5 6 P 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 ( ) 由已知得到 :有三种取值即1， 2 ， 3 ， 所以的分布列是 : 1 2 3 P a abc b abc c abc 所以 : 222 523 3 555253 (1)(2)(3) 9333 abc E abcabcabc abc D abcabcabc ， 所以2 ,3:3: 2 :1bc aca b c. 4 （2019 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学 （理）经销商经销某种农产品，在一个销售季

29、度内， 每售出1t 该产品获利润500元， 未售出的产品，每1t 亏损300元. 根据历史资料，得到销售季度 内市场需求量的频率分布直方图，如图所示 . 经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品，以X ( 单位 :t ，150100X) 表示下一个销售季度内的市场需求量，T( 单位 : 元) 表示下一个销售季度 内销商该农产品的利润. ( ) 将T表示为X的函数 ; ( ) 根据直方图估计利润T不少于 57000 元的概率 ; ( ) 在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率 作为需求量取该区间中点值的概率( 例如 :若100,110)X， 则取

30、105X， 且105X的概率等 于需求量落入100,110)的概率 ) ， 求利润T的数学期望 . 【答案】 5 （2019 年高考江西卷（理） ）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队. 游戏规则为 : 以 O 为起点，再从 12345678 ,AAAAAAAA( 如图 ) 这 8 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记 /频率组距 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 100 110120130140 150 需求量/xt 这两个向量的数量积为X. 若0X就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队. (1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求X的分布列

31、和数学期望. 【答案】解:(1) 从 8 个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有 2 8 28C种，0时， 两向量夹角为 直角共有8 种情形 ; 所以小波参加学校合唱团的概率为 82 (0) 287 P. (2) 两向量数量积的所有可能取值为2, 1,0,1,2时， 有两种情形 ;1时， 有 8 种情形 ;1 时， 有 10 种情形 . 所以的分布列为 : 2101 P 1 14 5 14 2 7 2 7 15223 ( 2)+( 1)01 14147714 E. 6 （2019 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理） ）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得 比赛的胜利，比赛随

32、即结束，除第五局甲队获胜的概率是 1 2 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都 是 2 3 ， 假设各局比赛结果相互独立. ( ) 分别求甲队以3:0 ， 3:1 ， 3:2胜利的概率 ; ( ) 若比赛结果为3:0 或 3:1 ， 则胜利方得3 分，对方得 0 分; 若比赛结果为3:2 ， 则胜利方得2 分、对方得1 分 . 求乙队得分 X的分布列及数学期望 . 【答案】解:( ) 记“甲队以3:0 胜利”为事件 1 A， “甲队以3:1 胜利”为事件 2 A， “甲队以3:2 胜利”为事件 3 A， 由题意，各局比赛结果相互独立， 故 3 1 28 ()() 327 P A， 22 23 22

33、28 ()() (1) 33327 P AC， 122 34 2214 ()( ) (1) 33227 P AC 所以，甲队以 3:0 ， 3:1 ， 3:2 胜利的概率分别是 8 27 ， 8 27 ， 4 27 ; ( ) 设“乙队以3:2 胜利”为事件 4 A， 由题意，各局比赛结果相互独立，所以 122 44 2214 ()(1) ( )(1) 33227 P AC 由题意，随机变量 X的所有可能的取值为 0， 1 ， 2 ， 3 ， ， 根据事件的互斥性得 1212 (0)()()()P XP AAP AP A 16 27 ， 3 4 (1)() 27 P XP A， 4 4 (2)

34、() 27 P XP A， (3)P X 1 (0)P X(1)P X(2)P X 3 27 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P16 27 4 27 4 27 3 27 所以 16443 0123 27272727 EX 7 9 7 （2019 年高考新课标1（理）一批产品需要进行质量检验，检验方案是 : 先从这批产品中任取4 件作检 验，这 4 件产品中优质品的件数记为n. 如果 n=3， 再从这批产品中任取4 件作检验，若都为优质 品，则这批产品通过检验; 如果 n=4， 再从这批产品中任取1 件作检验，若为优质品，则这批产品 通过检验 ; 其他情况下，这批产品都不能通过检验. 假设这

35、批产品的优质品率为50% ， 即取出的产品 是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 (1) 求这批产品通过检验的概率; (2) 已知每件产品检验费用为100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需 的费用记为X(单位 : 元) ， 求 X的分布列及数学期望. 【答案】设第一次取出的4 件产品中恰有3 件优质品为事件A， 第一次取出的4 件产品中全为优质品 为事件 B， 第二次取出的4 件产品都是优质品为事件C， 第二次取出的1 件产品是优质品为事件D， 这批产品通过检验为事件E， 根据题意有E=(AB)(CD)，且 AB与 CD互斥， P(E)=P(AB)+P(C

36、D)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= 324 4 111 ( )( ) 222 C+ 4 11 ( ) 22 = 3 64 ( )X 的可能取值为400， 500 ， 800 ， 并且 P(X=400)=1- 334 4 111 ( )( ) 222 C= 11 16 ， P(X=500)= 1 16 ， P(X=800)= 33 4 11 ( ) 22 C= 1 4 ， X 的分布列为 X 400 500 800 P 11 16 1 16 1 4 EX=400 11 16 +500 1 16 +800 1 4 =506.25 8 （ 2019 年高考湖北卷（理）假设每天从甲地去

37、乙地的旅客人数X是服从正态分布 2 800,50N的随机 变量 . 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900 的概率为 0 p. (I) 求 0 p的值 ;( 参考数据 : 若 2 ,XN:， 有0.6826PX， 220.9544PX，330.9974PX.) (II)某客运公司用A.B两种型号的车辆承担甲. 乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次， A.B两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600 元/ 辆和 2400 元/ 辆. 公司拟组建一个不超过21 辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车 7 辆. 若每天要以不 小于 0 p的概率运完从甲

38、地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A型 车.B型车各多少辆? 【答案】解:(I) 0 1 0.50.95440.9772 2 p (II)设配备A型车x辆，B型车y辆， 运营成本为z元，由已知条件得 21 3660900 7 , xy xy yx x yN ， 而16002400zxy 作出可行域，得到最优解5,12xy. 所以配备A型车 5 辆，B型车 12 辆可使运营成本最小. 9 （2019 年高考四川卷（理） ）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,24这24个整 数中等可能随机产生. ( ) 分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i

39、的概率(1,2,3) i P i; ( ) 甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i的频数 . 以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表( 部分 ) 乙的频数统计表( 部分 ) 当2100n时，根据表中的数据， 分别写出甲、乙所编程序各自输出 y的值为(1,2,3)i i的频率 ( 用分 数表示 ) ， 并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大; ( ) 按程序框图正确编写的程序运行3 次，求输出y的值为 2 的次数的分布列及数学期望. 【答案】解:. 变量 x 是在 1， 2 ， 3 ， 24

40、 这 24 个整数中随机产生的一个数，共有 24 种可能 . 当 x 从 1， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 ， 13 ， 15 ， 17 ， 19 ， 21 ， 23 这 12 个数中产生时，输出 y 的 值为 1， 故 1 1 2 p; 运行 次数 n 输出y 的值 为1的 频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 3014610 21001027376697 运行 次数n 输出 y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出 y的值 为3的频数 30 12117 21001051696353 当 x 从 2， 4 ， 8 ， 10 ， 14 ， 16 ， 20 ，

41、22 这 8 个数中产生时，输出 y 的值为 2， 故 2 1 3 p; 当 x 从 6， 12 ， 18 ， 24 这 4 个数中产生时，输出 y 的值为 3， 故 3 1 6 p 当 n=2100 时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为 i(i=1， 2 ， 3) 的频率如下 : 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 (3) 随机变量可能饿取值为0， 1 ， 2 ， 3. 03 0 3 128 (0) 3327 pC 12 1 3 124 (1) 339 pC 21 2 3 122 (2) 339 pC 30 3 3 121 (3) 3327 pC 故的分布列为 所

42、以 8421 01231 279927 E 即的数学期望为1 2 （2019 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不 同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系 k位 学生参加 (n和k都是固定的正整数). 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地 发给该系k位学生，且所发信息都能收到. 记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数 为x ( ) 求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; ( ) 求使()P Xm取得最大值的整数m. 输出y的值 为1的频率 输出y的值 为2的

43、频率 输出y的值 为3的频率 甲 1027 2100 376 2100 697 2100 乙 1051 2100 696 2100 353 2100 0123 p 8 27 4 9 2 9 1 27 【答案】 解: ( ) n k AP n k APA-1)()(，师的通知信息，则表示：学生甲收到李老设事件. )()(),()(APBPAPBPB师的通知信息，则表示：学生甲收到张老设事件 . 师或张老师的通知信息表示：学生甲收到李老设事件 C. 则 22 )( 2 )1(1)BP()AP(-1=P(C) n k n k n k . 所以， 2 )( 2 n k n k 老师的通知信息为学生甲收到李老师或张.