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1、- 1 - 整理全面高中数学知识点归纳总结 教师版高中数学必修 +选修知识点归纳 引言 1. 课程内容： 必修课程 由 5 个模块组成： 必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、 对、幂函数） 必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3：算法初步、统计、概率。 必修 4：基本初等函数 （三角函数）、平面向量、 三角恒等变换。 必修 5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 知识和基本技能的主要部分, 其中包括集 合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几 何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保 证打好基础的同时 , 进
2、一步强调了这些知 识的发生、发展过程和实际应用, 而不在 技巧与难度上做过高的要求。 此外, 基础内容还增加了向量、 算法、 概率、统计等内容。 选修课程 有 4 个系列： 系列 1：由 2 个模块组成。 选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列 2：由 3 个模块组成。 选修 21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 22：导数及其应用 , 推理与证明、 数系的扩充与复数 选修 23：计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。 系列 3：由 6 个专题组成。 选修 31：数学史选讲。
3、选修 32：信息安全与密码。 选修 33：球面上的几何。 选修 34：对称与群。 选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。 选修 36：三等分角与数域扩充。 系列 4：由 10 个专题组成。 选修 41：几何证明选讲。 选修 42：矩阵与变换。 选修 43：数列与差分。 选修 44：坐标系与参数方程。 选修 45：不等式选讲。 选修 46：初等数论初步。 选修 47：优选法与试验设计初步。 选修 48：统筹法与图论初步。 选修 49：风险与决策。 选修 410：开关电路与布尔代数。 2重难点及考点： 重点： 函数, 数列, 三角函数 , 平面向量 , 圆锥曲线 , 立 体几何 , 导数 难点： 函数
4、、圆锥曲线 高考相关考点： 集合与简易逻辑 : 集合的概念与运算、 简易逻 辑、充要条件 函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 - 2 - 直线和圆的方程：直线的方程、两直
5、线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 导数：导数的概念、求导、导数的应用 复数：复数的概念与运算 必修 1 数学知识点 第一章：集合与函数概念 1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素 , 把一些元素组成的 总体叫做 集合 。集合三要素：确定性、互异性、 无序性 。 2、 只要构成两个
6、集合的元素是一样的, 就称这 两个 集合相等 。 3、 常见集合： 正整数集合 ： * N或N, 整数集 合 ：Z, 有理数集合 ：Q, 实数集合 ： R. 4、集合的表示方法：列举法、描述法. 1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地 , 对于两个集合A、B, 如果集合 A 中任意一个元素都是集合B 中的元素 , 则 称集合 A 是集合 B 的子集 。记作BA. 2、 如果集合BA, 但存在元素Bx, 且 Ax, 则称集合A 是集合B 的真子集 . 记 作： A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集 .记作：.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A中含有 n 个元素 ,
7、则集合 A有 n 2 个子集 , 21 n 个真子集 . 1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地 , 由所有属于集合A 或集合 B 的元素 组成的集合 , 称为集合 A与 B的并集 . 记作： BA. 2、 一般地 , 由属于集合A 且属于集合B 的所有 元素组成的集合, 称为 A与 B的交集 . 记作： BA. 3、全集、补集 ？|, U C Ax xUxU且 1.2.1、函数的概念 1、 设 A 、B是非空的数集, 如果按照某种确定的 对应关系f, 使对于集合A 中的任意一个数 x, 在集合 B中都有惟一确定的数xf和它 对应 , 那么就称BAf :为集合 A 到集合 B的一个 函数
8、, 记作：Axxfy,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域 . 如果两个函数的定义域相同, 并且对应 关系完全一致 , 则称 这两个函数相等. 1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法： 设 2121 ,xxbaxx 、那么 ,)(0)()( 21 baxfxfxf在上是增函数； ,)(0)()( 21 baxfxfxf在上是减函数 . 步骤：取值作差变形定号判断 格式：解：设baxx, 21 且 21 xx, 则： 21 xfxf= (2)导数法： 设函数)
9、(xfy在某个区间内可导, 若0)(xf, 则)(xf为增函数； 若0)(xf, 则)(xf为减函数 . 1.3.2、奇偶性 1、 一般地 , 如果对于函数xf的定义域内任意 一个x, 都有xfxf, 那么就称 函数xf为偶函数 . 偶函数图象关于y轴对称 . 2、 一般地 , 如果对于函数xf的定义域内任意 一个x, 都有xfxf, 那么就 称函数xf为 奇函数 . 奇函数图象关于原点对 称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(xfy在点 0 x处的导数的几何意义： 函数)(xfy在点 0 x处的导数是曲线)(xfy在 - 3 - )(,( 00 xfxP处的切线的斜率)( 0 xf, 相应
10、的 切线方程是)( 000 xxxfyy. 2、几种常见函数的导数 C0； 1 )( nn nxx； xxcos)(sin ； xxsin)(cos ； aaa xx ln)( ； xx ee )(； ax x a ln 1 )(log ； x x 1 )(ln 3、导数的运算法则 （1） ()uvuv. （2） ()uvu vuv. （3） 2 ()(0) uu vuv v vv . 4、复合函数求导法则 复合函数( ( )yf g x的导数和函数 ( ),( )yf u ug x的导数间的关系为 xux yyu, 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的 乘积 . 解题步骤 :分层层
11、层求导作积还原. 5、函数的极值 (1) 极值定义： 极值是在 0 x 附近所有的点, 都有)(xf )( 0 xf, 则)( 0 xf是函数)(xf的极大值； 极值是在0x 附近所有的点, 都有)(xf )( 0 xf, 则)( 0 xf是函数)(xf的极小值 . (2) 判别方法： 如果在 0x 附近的左侧)( xf0, 右侧)( xf 0, 那么)( 0 xf是极大值； 如果在 0 x 附近的左侧)( xf0, 右侧)( xf 0, 那么)( 0 xf是极小值 . 6、求函数的最值 (1) 求( )yf x在( , )a b内的极值 （极大或者极小值） (2) 将( )yfx的 各 极
12、值 点 与( ),( )f af b比 较 , 其中最大的一个为最大值, 最小的一个为极小 值。 注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）； 最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质 )。 第二章：基本初等函数（） 2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地 , 如果ax n , 那么x叫做a的 n次方根。其中Nnn, 1. 2、 当n为奇数时 , aa nn ； 当n为偶数时 , aa nn . 3、 我们规定： mn m n aa 1,0 * mNnma； 0 1 n a a n n ； 4、 运算性质： Qsraaaa srsr ,0； Qsraaa rs s r , 0； Q
13、rbabaab rr r ,0,0. 2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象：1,0 aaay x 2、性质： 1a10a 图 象 -1 -4-2 0 1 -1 -4-2 0 1 性 质 (1) 定义域： R （2）值域：（0, +） （3）过定点（0, 1）, 即 x=0 时, y=1 （4）在 R 上是增函数（4）在 R上是减函数 (5)0,1 x xa; 0,01 x xa (5)0,01 x xa; 0,1 x xa 01 1 y=a x o y x - 4 - 2.2.1、对数与对数运算 1、指数与对数互化式：log x a aNxN； 2、对数恒等式： logaN aN. 3、
14、基本性质：01loga, 1loga a . 4、运算性质：当0, 0,1,0NMaa时： NMMN aaa logloglog； NM N M aaa logloglog ； MnM a n a loglog. 5、换底公式： a b b c c a log log log 0, 1,0, 1,0bccaa. 6、重要公式：loglog n m a a m bb n 7、 倒数关系： a b b a log 1 log1, 0,1, 0bbaa. 22.2、对数函数及其性质 1、记住图象：1, 0logaaxy a 2、性质： 2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象： 第三章：函数的应用 3.
15、1.1、方程的根与函数的零点 1、方程0xf有实根 函数xfy的图象与x轴有交点 函数xfy有零点 . 2、 零点存在性定理： 如果函数xfy在区间ba,上的图象是连续不断 的一条曲线 , 并且有0bfaf, 那么 函数xfy在区间ba,内有零点 , 即存在 bac, 使得0cf, 这个c也就是方 程0xf的根 . 3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法. 3.2.1、几类不同增长的函数模型 3.2.2、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法：先画散点图, 再用适当 的函数拟合 , 最后检验 . 必修 2 数学知识点 第一章：空间几何体 1、空间几何体的结构 常见的多面体有：棱
16、柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有： 圆柱、圆锥、圆台、球。 棱柱：有两个面互相平行, 其余各面都是四边形, 1a10a 图 象 2.5 1.5 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 0 1 1 2.5 1.5 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 0 1 1 性 质 (1) 定义域：（0, +） （2）值域： R （3）过定点（ 1, 0）, 即 x=1 时 , y=0 （4）在 （0, +）上是增 函数 （4）在（ 0, +）上是减 函数 (5)0log, 1xx a ； 0log, 10xx a (5)0log, 1xx a ； 0log,10xx a 0
17、1 1 y=logax o y x - 5 - 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这 些面所围成的多面体叫做棱柱。 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面 与截面之间的部分 , 这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影, 中心 投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投 影叫平行投影 , 平行投影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表面积与体积 圆柱侧面积；lrS2 侧面 圆锥侧面积：lrS侧面 圆台侧面积：lRlrS侧面 体积公式： hSV柱体；hSV 3 1 锥体 ； hSSSSV 下下上上台体 3 1 球的表
18、面积和体积： 32 3 4 4RVRS 球球 ，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内, 那么 这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点, 有且只有一个 平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点, 那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那 么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直 线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： 判定：平
19、面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行（简称线线平行, 则线面平 行） 。 性质：一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的 任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行 , 则线线平行）。 10、面面平行： 判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行（简称线面平行, 则面面平行）。 性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那 么它们的交线平行（简称面面平行, 则线线平行）。 11、线面垂直： 定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线, 那么就说这条直线和这个平面垂直。 判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此
20、平面垂直（简称线线垂直, 则线面垂 直） 。 性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： 定义：两个平面相交 , 如果它们所成的二面角是直二 面角, 就说这两个平面互相垂直。 判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线, 则这 两个平面垂直（简称线面垂直, 则面面垂直）。 性质：两个平面互相垂直, 则一个平面内垂直于交 线的直线垂直于另一个平面。 （简称面面垂直 , 则线 面垂直）。 第三章：直线与方程 1、倾斜角与斜率： 12 12 tan xx yy k 2、直线方程： 点斜式： 00 xxkyy 斜截式：bkxy 两点式： 121 121 yyyy xxxx 截距式：1 xy
21、ab 一般式：0CByAx - 6 - 3、对于直线： 222111 :,:bxkylbxkyl有： 21 21 21/ bb kk ll； 1 l和 2 l相交 12 kk； 1 l和 2 l重合 21 21 bb kk ； 1 2121 kkll. 4、对于直线： 0: , 0: 2222 1111 CyBxAl CyBxAl 有： 1221 1221 21/ CBCB BABA ll； 1 l和 2 l相交 1221 BABA； 1 l和 2 l重合 1221 1221 CBCB BABA ； 0 212121 BBAAll. 5、两点间距离公式： 2 12 2 1221 yyxxPP
22、6、点到直线距离公式： 22 00 BA CByAx d 7、两平行线间的距离公式： 1 l：0 1 CByAx与 2 l：0 2 CByAx平行 , 则 22 21 BA CC d 第四章：圆与方程 1、圆的方程： 标准方程： 222 rbyax 其中 圆心为( , )a b, 半径为r. 一般方程：0 22 FEyDxyx. 其中圆 心 为(,) 22 DE , 半径为 221 4 2 rDEF. 2、直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆 222 )()(rbyax 的位置关系有三种: 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 弦长公式： 22 2drl 22 1212 1()4kxx
23、x x 3、两圆位置关系： 21O Od 外离：rRd； 外切： rRd ； 相交：rRdrR； 内切： rRd ； 内含：rRd. 3、空间中两点间距离公式： 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxPP 必修 3 数学知识点 第一章：算法 1、算法三种语言： 自然语言、流程图、程序语言； 2、流程图中的图框： 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等 规范表示方法； 3、算法的三种基本结构： 顺序结构、条件结构、循环结构 当型循环结构 直到型循环结构 顺序结构示意图： - 7 - （图 1） 条件结构示意图： IF - THEN - ELSE 格式： （图 2） IF - THE
24、N 格式： （图 3） 循环结构示意图： 当型 （WHILE 型）循环结构示意图： （图 4） 直到型 （UNTIL 型）循环结构示意图： （图 5） 4、基本算法语句： 输入语句的一般格式：INPUT “提示内容”；变量 输出语句的一般格式：PRINT “提示内容”；表达式 赋值语句的一般格式：变量表达式 （ “=”有时也用“” ）. 条件语句的一般格式有两种： IFTHEN ELSE 语句的一般格式为： IFTHEN 语句的一般格式为： 循环语句的一般格式是两种： 当型循环（ WHILE ）语句的一般格式： 直到型循环（UNTIL）语句的一般格式： IF 条件THEN 语句 1 ELSE
25、语句 2 END IF IF 条件 THEN 语句 END IF （图 3） （图 2） WHILE 条件 循环体 WEND （图4） DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 语句 n+1 语句 n 满足条件？ 语句 1 语句 2 是 否 满足条件？ 语句 是 否 满足条件？ 循环体 是 否 满足条件？ 循环体 是 否 - 8 - 算法案例： 辗转相除法结果是以相除余数为0 而得到 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： ） ： 用较大的数m除以较小的数n 得到一个商 0 S和 一个余数 0 R； ） ：若 0 R0, 则 n 为 m, n的最大公约 数；若 0 R0, 则用除数n 除以余数
26、 0 R得到一个 商 1 S和一个余数 1 R； ） ：若 1 R0, 则 1 R为 m, n的最大公约 数；若 1 R0, 则用除数 0 R除以余数 1 R得到一个 商 2 S和一个余数 2 R； 依次计算直至 nR 0, 此时所得到的1nR 即 为所求的最大公约数。 更相减损术结果是以减数与差相等而得到 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下： ） ：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。 若是 , 用 2 约简；若不是 , 执行第二步。 ） ：以较大的数减去较小的数, 接着把较小的 数与所得的差比较, 并以大数减小数。继续这个 操作 , 直到所得的数相等为止, 则这个数 （等数）就是所求
27、的最大公约数。 进位制 十进制数化为k 进制数 除 k 取余法 k 进制数化为十进制数 第二章：统计 1、抽样方法： 简单随机抽样（总体个数较少） 系统抽样（总体个数较多） 分层抽样（总体中差异明显） 注意： 在 N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本, 每个个体被抽到的机会（概率）均为 N n 。 2、总体分布的估计： 一表二图： 频率分布表数据详实 频率分布直方图分布直观 频率分布折线图便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 茎叶图： 茎叶图适用于数据较少的情况, 从中便于看出 数据的分布 , 以及中位数、众位数等。 个位数为叶, 十位数为茎 , 右侧数据按
28、照 从小到大书写, 相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计： 平均数： n xxxx x n321 ； 取 值 为 nxxx,21的 频 率 分 别 为nppp,21, 则其平均数为 nnp xpxpx 2211 ； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 方差与标准差：一组样本数据 n xxx, 21 方差： 2 1 2 )( 1 n i i xx n s； 标准差： 2 1 )( 1 n i i xx n s 注：方差与标准差越小, 说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的 稳定水平。 线性回归方程 变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； 制作散点图, 判断
29、线性相关关系 线性回归方程：abxy（最小二乘法） 1 2 2 1 n ii i n i i x ynx y b xnx aybx 注意：线性回归直线经过定点),(yx。 第三章：概率 1、随机事件及其概率： 事件：试验的每一种可能的结果, 用大写英文 字母表示； 必然事件、不可能事件、随机事件的特点； 随机事件A 的概率： 1)(0,)(AP n m AP. 2、古典概型： 基本事件： 一次试验中可能出现的每一个基本结果； 古典概型的特点： 所有的基本事件只有有限个； 每个基本事件都是等可能发生。 古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事 件共有 n 个, 事件 A 包含了其中的m 个基
30、本事件 , 则事件 A 发生的概率 n m AP)(. 3、几何概型： 几何概型的特点： （图5） - 9 - 所有的基本事件是无限个； 每个基本事件都是等可能发生。 几何概型概率计算公式： 的测度 的测度 D d AP)(； 其中测度根据题目确定, 一般为线段、 角度、面积、 体积等。 4、互斥事件： 不可能同时发生的两个事件称为互斥事件； 如 果 事 件 n AAA, 21 任 意 两 个 都 是 互 斥 事 件 , 则称事件 nAAA,21彼此互斥。 如果事件A, B 互斥 , 那么事件A+B 发生 的概率 , 等于事件A, B 发生的概率的和, 即：)()()(BPAPBAP 如果事件
31、 n AAA, 21 彼此互斥 , 则有： )()()()( 2121nn APAPAPAAAP 对立事件： 两个互斥事件中必有一个要发生, 则 称这两个事件为对立事件。 事件A的对立事件记作A )(1)(, 1)()(APAPAPAP 对立事件一定是互斥事件, 互斥事件未必是对 立事件。 必修 4 数学知识点 第一章：三角函数 1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念 . 2、 与角终边相同的角的集合： Zkk ,2 . 1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度 的角 . 2、 r l . 3、弧长公式 ：R Rn l 180 . 4、扇形面积公
32、式：lR Rn S 2 1 360 2 . 1.2.1、任意角的三角函数 1、 设是一个任意角 , 它的终边与单位圆交于 点yxP, 那么： x y xytan,cos,sin 2、 设点,A x y为角终边上任意一点, 那 么： （设 22 rxy） sin y r , cos x r , tan y x , cot x y 3、sin, cos, tan在四个象限的符 号和三角函数线的 画法 . 正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT 5、 特殊角 0, 30 , 45, 60, 90, 180, 270等的三角函数值. 0 6 4 3 2 2 3 3 4 3 2 2 sin
33、cos tan 1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系 ：1cossin 22 . 2、 商数关系 ： cos sin tan. 3、 倒数关系：tancot1 1.3 、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变 , 符号看象限”Zk） 1、 诱导公式一 ： .tan2tan ,cos2cos ,sin2sin k k k （其中：Zk） 2、 诱导公式二 ： .tantan ,coscos ,sinsin 3、诱导公式三 ： T M AO P x y - 10 - .tantan ,coscos ,sinsin 4、诱导公式四 ： .tantan ,coscos ,sinsin
34、 5、诱导公式五 ： .sin 2 cos ,cos 2 sin 6、诱导公式六 ： .sin 2 cos ,cos 2 sin 1.4.1 、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定 义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、 奇偶性、单调性、周期性. 3、会用 五点法作图 . sinyx在0, 2 x上的五个关键点为： 3 0 010-120 22 （ ， ）（ ， ， ）（ ， ， ） （ ，）（ ， ） . 1.4.3 、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象： y=tanx 3 2 2 - 3 2 - - 2 o
35、 y x 2、记住余切函数的图象： y=cotx 3 2 2 2 - - 2 o y x 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 周期函数定义 ： 对于函数xf, 如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时 , 都 有xfTxf, 那么函数xf就叫做周期函数 , 非零常数 T 叫做这个函数的周期 . 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 xysin xycosxytan 1 -1 y=cosx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3 -2 4 3 2 - o y x 1 -1 y=si
36、nx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 -2 -4-3-2 43 2 - o y x - 11 - 图象 定义域 RR , 2 |Zkkxx 值域-1, 1 -1, 1 R 最值 max min 2,1 2 2,1 2 xkkZy xkkZy 时， 时， max min 2,1 2,1 xkkZy xkkZy 时， 时， 无 周期性 2T2TT 奇偶性奇偶奇 单调性 Zk 在2 ,2 22 kk 上单调递增 在 3 2,2 22 kk 上单调递减 在2,2kk上单调递增 在2,2kk上单调递减 在 (,) 22 kk 上单调递增 对称性 Zk 对称轴方程： 2 xk 对
37、称中心 (,0)k 对称轴方程：xk 对称中心(, 0) 2 k 无对称轴 对称中心, 0)( 2 k 1.5 、函数xAysin的图象 1、对于函数： sin0,0yAxB A有：振幅A, 周期 2 T, 初相, 相位x, 频率 2 1 T f. 2、能够讲出函数xysin的图象与 sinyAxB的图象之间的平移伸缩变 换关系 . 先平移后伸缩： sinyx平移|个单位sinyx （左加右减） 横坐标不变sinyAx 纵坐标变为原来的A 倍 纵坐标不变sinyAx 横坐标变为原来的 1 |倍 平移|B个单位sinyAxB （上加下减） 先伸缩后平移： sinyx横坐标不变sinyAx 纵坐标
38、变为原来的A 倍 纵坐标不变sinyAx 横坐标变为原来的 1 |倍 平移个单位sinyAx - 12 - （左加右减） 平移| |B 个单位sinyAxB （上加下减） 3、三角函数的周期, 对称轴和对称中心 函数sin()yx, xR及函数 cos()yx, xR(A, , 为常数 , 且 A0) 的周期 2 | T；函数 tan()yx, , 2 xkkZ(A, , 为常数 , 且 A 0) 的周期 | T. 对于sin()yAx和cos()yAx来说 , 对称中心与零点相联系, 对称轴与最值点联系. 求函数sin()yAx图像的对称轴与对称中心, 只需令() 2 xkkZ与()xkkZ
39、 解出x即可 . 余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征： maxmin 2 yy A, maxmin 2 yy B. 要根据周期来求, 要用图像的关键点来求. 1.6 、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第三章、三角恒等变换 3.1.1 、两角差的余弦公式 记住 15的三角函数值： sin cos tan 12 4 26 4 26 32 3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、sincoscossinsin 2、sincoscossinsin 3、sinsincoscoscos 4、sinsincoscoscos 5、 tan
40、tan 1 tantan tan. 6、 tantan 1 tantan tan. 3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、cossin22sin, 变形 ： 1 2 sincossin2. 2、 22 sincos2cos 1cos2 2 2 sin21. 变形如下： 升幂公式： 2 2 1cos22cos 1cos22sin 降幂公式： 2 2 1 cos(1cos2 ) 2 1 sin(1cos2 ) 2 3、 2 tan1 tan2 2tan. 4、 sin21cos2 tan 1cos2sin 2 3.2 、简单的三角恒等变换 1、 注意 正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式
41、 )sin(cossin 22 xbaxbxay （其中辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定, tan b a ). 第二章：平面向量 2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量 . 2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段 , 有向线段包 含三个要素：起点、方向、长度. 2、 向量AB的大小 , 也就是向量AB的长度 （或 称模）, 记作AB uuu r ；长度为零的向量叫做零 向量 ；长度等于1 个单位的向量叫做单位向量 . 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共 - 13 -
42、 线向量） . 规定：零向量与任意向量平行. 2.1.3 、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 . 2.2.1 、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和 平行四边形加法法则. 2、baba. 2.2.2 、向量减法运算及其几何意义 1、 与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量 . 2、 三角形减法法则和 平行四边形减法法则. 2.2.3 、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定：实数与向量a的积是一个向量, 这 种运算叫做 向量的数乘 . 记作：a, 它的长 度和方向规定如下： aa, 当0时 , a的方向与a的方向相 同；当0时, a的方向与a的方向
43、相反 . 2、平面向量共线定理：向量0aa与b共线 , 当且仅当有唯一一个实数, 使ab. 2.3.1 、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理：如果 21,e e是同一平面内的两 个不共线向量, 那么对于这一平面内任一向 量a, 有且只有一对实数 21, , 使 2211 eea. 2.3.2 、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 yxjyi xa, . 2.3.3 、平面向量的坐标运算 1、 设 2211 ,yxbyxa, 则： 2121 ,yyxxba, 2121 ,yyxxba, 11, y xa, 1221 /yxyxba. 2、 设 2211 ,yxByxA, 则： 1212 ,
44、yyxxAB. 2.3.4 、平面向量共线的坐标表示 1、设 332211 ,yxCyxByxA, 则 线段 AB中点坐标为 22 2121 , yyxx , ABC的重心坐标为 33 321321 , yyyxxx . 2.4.1 、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、cosbaba. 2、a在b方向上的投影为：cosa. 3、 2 2 aa. 4、 2 aa. 5、0baba. 2.4.2、 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 2211 ,yxbyxa, 则： 2121 yyxxba 2 1 2 1 yxa 1212 00aba bxxy y rrr r - 14 - 1221
45、 / /0ababx yx y rrrr 2、 设 2211 ,yxByxA, 则： 2 12 2 12 yyxxAB. 3、 两向量的夹角公式 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy rr rr 4、点的平移公式 平移前的点为( , )P x y（原坐标） , 平移后的 对应点为(,)Px y（新坐标）, 平移向量为 ( , )PPh k uuu r , 则 . xxh yyk 函数( )yf x的图像按向量( , )ah k r 平移后的 图像的解析式为().ykfxh 2.5.1 、平面几何中的向量方法 2.5.2 、向量在物理中的应用举例 知识链接：空
46、间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得. 下面对空间向量在立体几何中证明, 求值的应用 进行总结归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量： 若 A、B 是直线l上的任意两点, 则AB uuu r 为直 线l的一个方向向量； 与AB uu u r 平行的任意非零向量也是 直线l的方向向量 . 平面的法向量： 若向量n r 所在直线垂直于平面, 则称这个 向 量 垂 直 于 平 面, 记 作n r , 如 果 n r , 那么向量n r 叫做平面的法向量 . 平面的法向量的求法（待定系数法）： 建立适当的坐标系 设平面的法向量为( , , )nx y z r 求出平面
47、内两个不共线向量的坐标 123123 (,),(,)aa a abb b b ru r 根据法向量定义建立方程组 0 0 n a n b r r r r . 解方程组 , 取其中一组解, 即得平面 的法向量 . （如图） 2、 用向量方法判定空间中的平行关系 线线平行 设直线 12 ,ll的方向向量分别是ab rr 、, 则要证明 1 l 2 l, 只需证明a r b r , 即()akb kR rr . 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。 线面平行 （法一）设直线l的方向向量是a r , 平面的 法向量是u r , 则要证明l, 只需证明 au rr , 即0a u r r . 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面 的法向量垂直且直线在平面外 （法二） 要证明一条直线和一个平面平行, 也 可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共 线向量即可 . 面面平行 若平面的法向量为u r , 平面的法向量为 v r , 要证, 只需证u r v r , 即证 uv rr . 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 线线垂直 - 15 - 设直线 12 ,ll的方向向量分别是a