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1、文科高考数学复习资料 第一章集合 一定义 集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不 同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。 二集合的抽象表示形式 用大写字母A， B， C 表示集合；用小写字母a， b， c 表示元素。 三元素与集合的关系 有属于， 不属于关系两种。元素 a属于集合A， 记作a A； 元素 a 不属于集合 A， 记作aA。 四几种集合的命名 有限集：含有有限个元素的集合； 无限集：含有无限个元素的集合； 空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示； 自然数集： N；正整数集：N*或 N+；整数集： Z； 有理数集： Q；实数集： R

2、。 五集合的表示方法 (一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法， 例如： a,b,c 。 注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。 (二) 描述法：有以下两种描述方式 1代号描述：【例】方程 2 x3x+2=0的所有解组成的集合，可表示为 x|x 2-3x+2=0 。 x 是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集 合中的元素符合的条件。 2文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】 大于 2 小于 5 的整 数 ；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是 什么。 (三) 韦恩图法：用图形表示

3、集合定义了两个集合之间的所有关 系。 1子集：如果属于A 的所有元素都属于B， 那么 A 就叫做 B 的子集，记作：AB， 如图 1-1 所示。图 1-1 子集有两种极限情况：(1)当 A 成为空集时，A 仍为 B 的子集； (2)当 A 和 B 相等时，A 仍为 B 的子集。 真子集：如果所有属于A 的元素都属于B， 而且中至少有一个元素不属于A， 那 么 A 叫做 B 的真子集，记作AB?或AB。 真子集也是子集，和子集的区别之处在于AB。对于同一个集合，其真子集的 个数比子集少一个。 (1)求子集或真子集的个数，由 n 各元素组成的集合， 有 2n个子集，有 2n -1 个真子集； (2

4、)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是 空集，AB的等价形式主要有：BBAABA，。 2交集： 由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作BA， 读作 A 交 B， 如图 1-2 所示。 图 1-2 图 1-3 图 1-4 3补集：由所有不属于的元素组成的集合，叫做在全集中的补集，记作 U C A， 读作 A 补，如图 1-4 所示。 德摩根公式： ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC BIUUI. 4并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作BA， 读作 A 并 B， 如图 1-3 所示。 (四)

5、 区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭 区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于 或小于等于的意思； 【例】 (2， 3)， 2,3， (2,3， 2， 3 第二章函数 一映射与函数的基本概念 (一) 映 射 A 集合中的每个元素按照某种对应法则在B 集合中都能找到唯一的元素和它对应，这 种对应关系叫做从A 集合到 B 集合的映射。A 中的元素叫做原象，B 中的相应元素叫 做象。 在 A 到 B 的映射中，从 A 中元素到B 中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。 图 2-1 是映射图 2-2 是一一映射图 2-3 不是映

6、射 ()求映射 (或一一映射 )的个数，m 个元素的集合到n 个元素的集合的映射的个数是 nm。 ()判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。 (二) 函数的概念 定义域到值域的映射叫做函数。如图 2-4。高中阶段，函数用 f(x) 来表示：即x 按照对应法则f 对应的函数值为f(x) 函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔 也用表格表示函数。 函数三要素： 定义域 A：x 取值范围组成的集合。值域 B：y 取值范围组成的集合。 对应法则f：y 与 x 的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式 函数与普通映射的区别在于： (1)两个集合必须是数集； (2)不能有剩余的象，即每个

7、函数值y 都能找到相应的自变量 x 与其对应。 图 2-4 二定义域题型 (一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式 直接考查：主要考解不等式。利用：在( )f x中( )0fx； 在 ( ) ( ) g x f x 中，( )0f x； 在log( ) a f x中，( )0f x；在tan( )f x中，( ) 2 f xk； 在 0( ) fx中，( )0f x； 在 x a与logax中0a且1a， 列不等式求解。 (二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。 三 值域题型 (一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。 常规函数有：一次函数，

8、二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对 号函数。 (二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。 解题步骤： (1)换元变形； (2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段。 (三) 分式函数求值域：四种题型 (1) cxd y axb (0)a：则 c y a 且yR。 (2)(2) cxd yx axb ：利用反表示法求值域。先反表示，再利用 x 的范围解不等 式求 y 的范围。 (3) 2 2 232 61 xx y xx ： (21)(2)21 () (21)(31)312 xxx yx xxx ， 则 1 y1 3 y且且yR。 (4)求

9、 2 21 1 x y xx 的值域，当xR时，用判别式法 求值域。 2 21 1 x y xx 2 (2)10yxyxy ， 2 (2)4 (1)0yy y值域 (四) 不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截 段。 判断单调性的方法： 选择填空题首选复合函数法，其次求导数； 大题首选求导数，其 次用定义。详情见单调性部分知识讲解。 (五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反 函数定义域。 (六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形 式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。 四函数运算法则

10、 （一）指数运算法则 mnm n aaa mnm n aaa () mnmn aa () mmm a bab 运用指数运算法则，一般从右往左变形。 （二）对数运算法则 同底公式： logab ab logloglog () aaa MNMN logloglog aaa M MN N loglog n aa MnM 运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。 不同底公式： log log log m a m N N a loglog m n a a n bb m 1 log log a b b a 运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。 五函数解析式 (一) 换元法：如f(2x +

11、3)=x 2 + 3x + 5， 求 f(3-7x) ， (设 2x + 3=3-7t) 。 (二) 构造法：如 2 21 ) 1 ( x x x xf， 求 f(x)。 (三) 待定系数法：通过图像求出y=Asin( x +) + C 中系数 (四) 递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。 (五) 求原函数的反函数：先反表示，再 x、y 互换。 六常规函数的图像 常规函数图像主要有： 指数函数：逆时针旋转，对数函数：逆时针旋转， 底数越来越大底数越来越小 幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。 七 函数的单调性 (一) 定义：在给定区间范围内，如果

12、 x 越大 y 越大，那么原函数为增函数；如果x 越大 y 越小，那么原函数为减函数。 (二) 单调性题型： 1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个 区间的单调性，从而确定单调区间。 复合函数法： 2 1 1 x ： 当 0 0 时，有 2 2 xaxaaxa. 22 xaxaxa或xa. 无理不等式： (1) ( )0 ( )( )( )0 ( )( ) f x f xg xg x f xg x . (2) 2 ( )0 ( )0 ( )( )( )0 ( )0 ( ) ( ) f x f x f xg xg x g x f xg x 或. (3) 2

13、( )0 ( )( )( )0 ( ) ( ) f x f xg xg x f xg x (三)指数不等式对数不等式 不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。 (1)当1a时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x . (2)当01a时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 三 线性规划 线性规划，

14、出题现象如下： 设变量 , x y满足约束条件 1, 1, 33, xy xy xy 则目标函数4zxy的最大值为（ ) A.4 B.11 C.12 D.14 解题步骤： （1）把不等式组中的一次式看成直线， 在平面直角坐标系中画直线， 标明直线序号 （2）依据以下结论确定平面区域： ( )yf x是点在直线上方（包括直线） ( )yf x是点在直线下方（包括直线） ； ( )yf x是点在直线上方（不包括直线） ( )yf x是点在直线下方（不包括直线） （3）确定目标函数函数值的几何意义 （4） 1若目标函数值 z 表示截距， 在已知区域内平移目标函数直线， 找出使截距取最大值和最小 值的

15、端点， 求出端点坐标代入目标函数， 得出 z 的最值。 2若目标函数 z 表示距离或者距离的 平方， 精确作图， 在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线的 距离， 用距离公式直接求最值。 3 若目标函数 z 表示斜率， 精确画图， 利用求斜率取值范围结 论， 求最值。 第七章直线和圆的方程 一、直线方程 . 1）. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜 角 ，其 中 直 线 与x轴 平 行 或 重 合 时 ，其 倾 斜 角 为0，故 直 线 倾 斜 角 的 范 围 是 )0(1800. 注：当 90 或 12 xx时，直线

16、 l 垂直于x轴，它的斜率不存在. 每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线 都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2）. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地， 当直线经过两点),0(),0,(ba， 即直线在x轴，y 轴上的截距分别为) 0,0(,baba 时，直线方程是：1 b y a x . 注 ： 若2 3 2 xy是 一 直 线 的 方 程 ，则 这 条 直 线 的 方 程 是2 3 2 xy，但 若 )0( 2 3 2 xxy则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程bkxy， 当bk,均为

17、确定的数值时，它表示一条确 定的直线，如果bk,变化时，对应的直线也会变化.当 b 为定植，k 变化时，它们表示 过定点（ 0，b ）的直线束 .当 k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3）. 两条直线平行： 1l 212kkl两条直线平行的条件是：1l 和2l是两条不重合的直线. 在1l 和2l的斜率 都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“ 前提 ” 都会导致结论 的错误 . （一般的结论是： 对于两条直线 21,l l， 它们在 y 轴上的纵截距是 21,b b， 则 1 l 212 kkl， 且 21 bb或 21,l l的斜率均不存在，即 2121

18、 ABBA是平行的必要不充分条件，且 21 CC） 推论：如果两条直线 21,l l的倾斜角为 21, 则 1 l 212 l. 两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：设两条直线 1 l 和 2 l的斜率分别为 1 k 和2k， 则有 1 2121 kkll这 里的前提是 21,l l的斜率都存在 . 0 121 kll， 且 2 l的斜率不存在或0 2 k， 且 1 l 的斜率 不存在 . （即0 1221BABA是垂直的充要条件） 4）. 直线的交角： 直线 1l 到2l的角（方向角） ；直线1l 到2l的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到 与 2l重合时所转动的角， 它的范围是),

19、 0(， 当90 时 21 12 1 tan kk kk . 两条相交直线 1l 与2l的夹角：两条相交直线1l 与2l的夹角，是指由1l 与2l相交所成的四 个角中最小的正角， 又称为 1 l 和 2 l所成的角，它的取值范围是 2 ,0 ， 当 90 ， 则 有 21 12 1 tan kk kk . 5). 过两直线 0: 0: 2222 1111 CyBxAl CyBxAl 的交点的直线系方程 (0)( 222111 CyBxACyBxA为参数，0 222 CyBxA不包括在内） 6）. 点到直线的距离： 点到直线的距离公式：设点),( 00 yxP，直线PCByAxl,0:到 l 的

20、距离为d ， 则有 22 00 BA CByAx d . 注： 1.两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式： 2 12 2 1221 )()(|yyxxPP. 特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离： 22 |OPxy 2.定 比 分 点 坐 标 分 式 。若 点P(x,y) 分 有 向 线 段 1212 PPPPPP u uu ruuu r 所成的比为即,其 中 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 1 , 1 2121 yy y xx x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3.直线的倾斜角（0 180） 、斜率 :tank 4.过两点 12 12

21、222111 ),(),( xx yy kyxPyxP的直线的斜率公式：. 12 ()xx 当 2121 ,yyxx（即直线和x 轴垂直）时，直线的倾斜角90， 没有斜率 王新敞 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0: 212211 CCCByAxlCByAxl， 它们之间的距离为d ， 则有 22 21 BA CC d . 注；直线系方程 1. 与直线： Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, Cm). 2.与直线： Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-A y+m=0.( m?R) 3. 过定点（ x1,y1）的直线系方程是：A(

22、 x-x1)+B( y-y1)=0 (A,B 不全为 0) 4. 过直线 l1、l2交点的直线系方程： （A1x+B1y+C1）+ ( A2x+B2y+C2）=0 (?R）注：该 直线系不含l2. 7). 关于点对称和关于某直线对称： 关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对 称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分 线. 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程）， 过两 对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方

23、程）可解得所求对称点. 注：曲线、直线关于一直线（ bxy ）对称的解法：y 换 x， x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线y=x 2 对称曲线方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 C: f(x ,y)=0 关于点 (a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. 二、圆的方程 . 1. 曲线与方程： 在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的与一个二元方程0),(yxf的实数 建立了如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. 曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点

24、),(yxM其坐标与方程0),(yxf的一种关系， 曲线上任一点),(yx是方程0),(yxf的解；反过来，满足方程0),(yxf的解所对应的点 是曲线上的点 . 注：如果曲线C 的方程是 f(x ,y)=0 ， 那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点),(baC为圆心， r为半径的圆的标准方程是 222 )()(rbyax. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是： 222 ryx. 注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程 222 )()(bbyax),(),(,bababr或圆心 与 y 轴相切的圆方程 222 )()(abya

25、x),(),(,babaar或圆心 与x轴 y 轴都相切的圆方程 222 )()(aayax),(,aaar圆心 3. 圆的一般方程：0 22 FEyDxyx . 当04 22 FED时，方程表示一个圆，其中圆心 2 , 2 ED C， 半径 2 4 22 FED r. 当04 22 FED时，方程表示一个点 2 , 2 ED . 当04 22 FED时，方程无图形（称虚圆）. 注：圆的参数方程： sin cos rby rax （为参数） . 方 程0 22 FEyDxCyBxyAx表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ：0B且0CA且 04 22 AFED. 圆的直径或方程： 已知0)()(

26、),(),( 21212211 yyyyxxxxyxByxA（用向量可征） . 4. 点和圆的位置关系：给定点),( 00 yxM及圆 222 )()(:rbyaxC. M在圆 C 内 22 0 2 0 )()(rbyax M在圆 C 上 22 0 2 0)()rbyax（ M在圆 C 外 22 0 2 0 )()(rbyax 5. 直线和圆的位置关系： 设圆圆 C ：)0()()( 222 rrbyax ；直线 l ： )0(0 22 BACByAx ； 圆心),(baC到直线 l 的距离 22 BA CBbAa d. rd时，l 与 C 相切； 附：若两圆相切，则 0 0 222 22 1

27、11 22 FyExDyx FyExDyx 相减为公切线方程. rd时，l 与 C 相交； 附：公共弦方程：设 有两个交点，则其公共弦方程为0)()()( 212121 FFyEExDD. rd时，l 与 C 相离 . 附：若两圆相离，则 0 0 222 22 111 22 FyExDyx FyExDyx 相减为圆心 21O O的连线的中与线方程. 0: 0: 222 22 2 111 22 1 FyExDyxC FyExDyxC 由代数特征判断：方程组 0 )()( 222 CBxAx rbyax 用代入法，得关于x（或 y ）的一元二次 方程，其判别式为， 则： l0与 C 相切； l0与

28、 C 相交； l0与 C 相离 . 注：若两圆为同心圆则0 111 22 FyExDyx，0 222 22 FyExDyx相减，不表示 直线 . 6. 圆 的 切 线 方 程 ： 圆 222 ryx的 斜 率 为 k 的 切 线 方 程 是rkkxy 2 1过 圆 0 22 FEyDxyx 上一点),( 00 yxP的切线方程为：0 22 00 00 F yy E xx Dyyxx. 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上， 则 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆 222 ryx 上一点),( 00 yxP的切线方程为 2 00 ryyxx. 若点 (x0 ,y0

29、)不在圆上， 圆心为 (a,b)则 1 )( )( 2 11 0101 R xakyb R xxkyy ， 联立求出 k 切线方程 . 7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图： ABCD 四类 共 圆 . 已 知O 的 方 程0 22 FEyDxyx又 以ABCD为 圆 为 方 程 为 2 )()(kbxyyaxxx AA 4 )()( 22 2byax R AA ，所以 BC 的方程即代，相切即为所求. 三、曲线和方程 1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系： 1） 曲线 C 上的点的坐标都是方程f(

30、x,y)=0 的解（纯粹性） ； 2） 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线C 上（完备性）。则称方程f(x,y)=0 为曲线 C 的方程，曲线 C 叫做方程f(x,y)=0 的曲线。 2.求曲线方程的方法：. A B C D(a,b) 1）直接法：建系设点，列式表标 ,简化检验 ; 2）参数法 ; 3）定义法，4）待定 系数法 . 第八章圆锥曲线 一椭圆方程 （一）椭圆的定义： 1212 2PFPFaF F 方程为椭圆； 1212 2PFPFaF F 无轨迹； 1212 2PFPFaF F以 12 ,FF为 端 点 的 线段。 （二）椭圆的方程 : 椭圆的标准方程： i. 中心在原

31、点，焦点在 x 轴上： 22 22 1(0) xy ab ab . ii. 中心在原点，焦点在 y 轴上： 22 22 1(0) yx ab ab . 一般方程： 22 1(0,0)AxByAB. 椭圆的标准参数方程：1 2 2 2 2 b y a x 的参数方程为 sin cos by ax （三）椭圆的几何性质： 顶点： A( ,0)a,B(,0)a,C(0, )b和 D(0,)b. 轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长AB = a 2 ， 短轴长CD= b 2 . 焦点： 1 F(,0)c, 2 F( ,0)c 焦距： 12 2F Fc， 222 abc . 离心率： (01) c ee

32、a . 二双曲线方程 （一）双曲线的定义： 1212 1212 121212 2 2 2, PFPFaF F PFPFaF F PFPFaF FFF 方程为双曲线 无轨迹 以的一个端点的一条射线 （二）双曲线的方程 双曲线标准方程： i. 中心在原点，焦点在 x 轴上： 22 22 1( ,0) xy a b ab . ii. 中心在原点，焦点在 y 轴上： 22 22 1( ,0) yx a b ab 一般方程： 22 1(0)AxCyAC. 椭圆的标准参数方程： 22 22 1 xy ab 的参数方程为 tan sec by ax （三）双曲线的几何性质 i. 焦点在x轴上：顶点： ) 0

33、,(),0,(aa ；焦点：)0,(),0,(cc； 渐近线方程：0 b y a x 或0 2 2 2 2 b y a x ii. 焦点在 y 轴上：顶点：),0(),0(aa；焦点：), 0(),0(cc； 渐近线方程：0 b x a y 或0 2 2 2 2 b x a y ， 轴：yx,为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b， 焦距 2c. 离心率 a c e . 参数关系 a c ebac, 222 . （四）常见的特殊双曲线： 等轴双曲线：双曲线 222 ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy， 离心 率2e. 共轭双曲线： 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双

34、曲线 的共轭双曲线. 2 2 2 2 b y a x 与 2 2 2 2 b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 0 2 2 2 2 b y a x . y x F1 F2 1 2 3 4 5 3 3 共渐近线的双曲线系方程：)0( 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为0 2 2 2 2 b y a x 如果双曲 线的渐近线为0 b y a x 时，它的双曲线方程可设为)0( 2 2 2 2 b y a x . 例如：若双曲线一条渐近线为xy 2 1 且过) 2 1 ,3(p， 求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：)0( 4 2 2 y x ， 代入) 2 1 ,

35、 3( 得1 28 22 yx . （五）直线与双曲线的位置关系：如下图. 区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条； 区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条； 区域： 2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条； 区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线， 合计 2 条； 区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结： 过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直 线数目可能有0、2、3、 4 条. 三抛物线方程 设0p， 抛物线的标准方程、类型及其几何性质： pxy2 2 pxy2 2 pyx

36、2 2 pyx2 2 图形 y x O y x O y x O y x O 焦点)0, 2 ( p F)0, 2 ( p F) 2 ,0( p F) 2 ,0( p F 准线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范围Ryx,0Ryx,00,yRx0, yRx 对称轴x轴 y 轴 顶点(0， 0) 离心率1e 焦半径 1 2 x p PF 1 2 x p PF 1 2 y p PF 1 2 y p PF 注：xcbyay 2 顶点 ) 24 4 ( 2 a b a bac . )0(2 2 ppxy则焦点半径 2 P xPF;)0(2 2 ppyx则焦点半径为 2 P yPF. 通径

37、为 2p， 这是过焦点的所有弦中最短的. pxy2 2 (或pyx2 2 )的参数方程为 pty ptx 2 2 2 (或 2 2 2 pty ptx )(t为参数 ). 第九章 . 立体几何 一、平面 . 1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 2. 两个平面可将平面分成3 或 4 部分 . （两个平面平行，两个平面相交） 3. 过三条互相平行的直线可以确定1 或 3 个平面 . （三条直线在一个平面内平行，三条直线不在一个平面内平行） 注：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0 或 1 个. 4. 三个平面最多可把空间分成8

38、 部分 .（X、Y、Z 三个方向） 二、空间直线 . 1. 空间直线位置分三种：相交、 平行、异面 . 相交直线共面有反且有一个公共点；平行直 线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面内 注：可能两条直线平行，也可能是点和直线等 直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 若直线a、b 异面，a 平行于平面， b 与的关系是相交、平行、在平面内. 两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. 射影不一定只有直线，也可以是其他图形 并非是从平面外一点 向这个平面所引的垂线段和斜线段 ba,是夹在两平行平面间的线段，若ba， 则ba,的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定

39、定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异 面直线 .（不在任何一个平面内的两条直线） 3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角 相等（如下图）. （二面角的取值范围180,0） （直线与直线所成角90,0） （斜线与平面成角90,0） （直线与平面所成角90,0） （向量与向量所成角)180,0 1 2 方向相同 12 方向不相同 推论： 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角） 相等 . 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 空间两条直线

40、垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. 21,l l是异面直线，则过 21,l l外一点 P， 过点 P 且与 21,l l都平行平面有一个或没有，但与 21,l l距离相等的点在同一平面内. （ 1 L 或 2 L 在这个做出的平面内不能叫 1 L 与 2 L 平行的平 面） 三、直线与平面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. 2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条 直线和这个平面平行.（ “线线平行，线面平行”） 注：直线a与平面外一条直线平行，则a. 直线a与平面外一条直线相交，则a与平面相交 . 若

41、直线a与平面平行，则内必存在无数条直线与a平行 . 两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面或在平面上 平行于同一直线的两个平面平行或相交 平行于同一个平面的两直线相交或异面或平行 直线 l 与平面、所成角相等，则或与相交 3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个 平面相交，那么这条直线和交线平行.（ “线面平行，线线平行”） 4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平 面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 若PA，a AO ， 得a PO （三垂线定理） ， 得不出 PO . 因为a

42、 PO ， 但 PO 不垂直 OA. 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么 这两条直线垂直于这个平面.（ “线线垂直，线面垂直”） 直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂 直于这个平面 . 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 注 ：垂直于同一条直线 的两个平面平行 垂一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面 垂直于同一平面的两条直线平行 5. 垂线段和斜线段长定理：从平面外一点 向这个平面所引的垂线段和斜线段中， 射影 相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线

43、段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜 线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短. 注：垂线在平面的射影为一个点. 射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内 的射影在这个角的平分线上 四、平面平行与平面垂直. 1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个 平面平行 .（ “线面平行，面面平行”） 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. P O A a 注：一平面间的任一直线平行于另一平面. 3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第

44、三个平面相交，那么它们交线平 行.（ “面面平行，线线平行”） 4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直 于这个平面 .（ “线面垂直，面面垂直”） 注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直， 则两个二面角没有什么关系. 5.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么 在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. 推论：如果两个相交平面都垂直于第三 平面，则它们交线垂直于第三平面. 证明：如图，找 O 作 OA、 OB 分别垂直 于 21,ll， 因为OBPMOAPM

45、, 则OBPMOAPM,. 6. 两异面直线任意两点间的距离公式： cos2 222 mndnml （为锐角取加，为钝取减， 综上， 都取加则必有 2 ,0） 7. 最小角定理： 21cos coscos（ 1为最小角， 如图） 最小角定理的应用（PBN为最小角） 简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有 4 条. 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有 2 条. 成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有 3 条或者 2 条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有 1 条或者没有 . 五、棱锥、棱柱 . 1. 棱柱 . 直棱柱侧面积：ChS（

46、C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图 为矩形得出的 . 斜棱住侧面积：lCS 1 （ 1 C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用 斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的. 四棱柱 平行六面体 直平行六面体长方体 正四棱柱 正方体 . 直四棱柱 平行六面体 = 直平行六面体. 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱 正方体 底面是 平行四边形 侧棱垂直 底面 底面是 矩形 底面是 正方形 侧面与 底面边长相等 棱柱具有的性质： 棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形 ；正 棱柱的各个侧面都是全等的矩形 . 棱柱的两个底面

47、与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等 多边形 . 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注：直棱柱不能保证底面是钜形可如图 （直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直. 平行六面体： 图1 1 2 图2 P M AB O 定理一：平行六面体的对角线交于一点 ， 并且在交点处互相平分. 注：四棱柱的对角线不一定相交于一点. 定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推 论 一 ： 长 方 体 一 条 对 角 线 与 同 一 个 顶 点 的 三 条 棱 所 成 的 角 为,，则 1coscoscos 222 . 推 论 二 ： 长 方 体 一 条 对 角 线 与

48、同 一 个 顶 点 的 三 各 侧 面 所 成 的 角 为,，则 2coscoscos 222 . 注：斜四面体的两个平行的平面可以为矩形 应是各侧面都是正方形的直 棱柱才行 只能推出对角线相等，推不出底面为矩形 棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边 可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件） 2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. 注：一个棱锥可以四各面都为直角三角形. 一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱 3VShV . 正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. 注：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等 iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底 面为正多边形 . 正棱锥的侧面积： Ch 2 1 S （底面周长为C ， 斜高为 h ） 棱锥的侧面积与底面积的射影公式： cos 底 侧 S S （侧面与底面成的二面角为） 附：以知cl，bacos，为二面角bla. 则 laS 2 1 1， blS 2 1 2，